輔助方程法求變系數(shù)KdV方程組的精確解

劉韡 付紫碩 田陳

摘要：求解變系數(shù)非線性發(fā)展方程是數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)等諸多自然科學(xué)研究的重要領(lǐng)域。文中創(chuàng)建輔助方程法，可求多種常系數(shù)與變系數(shù)非線性發(fā)展方程的精確解。以變系數(shù)非線性KdV方程組為例，在僅要求變系數(shù)可積的情形下，獲得了一系列新的精確解。

關(guān)鍵詞：輔助方程法;變系數(shù)KdV方程組;精確解

中圖分類號：O175.29

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020-06-011

The exact solutions to coupled KdV equations with

variable coefficients by auxiliary equation method

LIU Wei，? FU Zishuo， TIAN Chen

（School of Science， Xi′an University of Architecture and Technology， Xi′an 710055， China）

Abstract： Solving nonlinear evolution equations with variable coefficients is an important field in mathematics， physics， mechanics and many other fields in natural sciences. An auxiliary equation method is proposed， which can be used to solve many kinds of nonlinear evolution equations with constant and variable coefficients. Taking the coupled KdV equations with variable coefficients as an example， a series of new exact solutions are obtained under the condition that only variable coefficients are required to be integrals.

Key words： auxiliary equation method; KdV equations with variable coefficients; exact solution

非線性發(fā)展方程在數(shù)學(xué)、物理、流體力學(xué)等許多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，是當(dāng)前學(xué)術(shù)界非常關(guān)注的研究課題。在求解非線性發(fā)展方程問題中，眾多學(xué)者在常系數(shù)方面做了大量的工作，形成了一系列行之有效的方法［1-9］。也有一些學(xué)者對變系數(shù)非線性發(fā)展方程展開研究，同樣取得了良好的成果［10-13］。

4 結(jié)論

本文創(chuàng)建輔助方程，借助二項(xiàng)微分式的有關(guān)性質(zhì)，應(yīng)用到含變系數(shù)非線性偏微分方程組的求解中。以變系數(shù)非線性KdV方程組為例，在對變系數(shù)f （t）、g（t）僅要求可積又各自獨(dú)立的情形下，而未如文獻(xiàn)［15］或文獻(xiàn)［16］所要求g （t）=c f （t），c為常數(shù)，或類似條件，獲得一系列新的精確解。本文所創(chuàng)建的方法方便簡潔，適用性強(qiáng)，對多種常系數(shù)與變系數(shù)非線性方程適用，如KP 方程、薛定諤方程等。

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（編 輯 張 歡）