集值優(yōu)化問題強有效元的二階Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

余 麗

(宜春學院數(shù)學與計算機科學學院, 應用數(shù)學研究中心，江西 宜春 336000)

0 引言

集值優(yōu)化問題的研究離不開有效解，近年來對有效解的研究取得了豐富的成果[1-5].另一方面，集值映射的導數(shù)被相繼引出且廣泛應用到優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件[6-10].Corley[6]在實賦范線性空間中借助切導數(shù)的性質(zhì)建立了一階Fritz John必要最優(yōu)性條件.最近，不少學者相繼研究了二階(高階)最優(yōu)性條件.Jahn等[7]引進了二階上圖導數(shù)的概念，建立了集值優(yōu)化的二階必要最優(yōu)性條件.然而，在典型的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性條件中，目標函數(shù)的導數(shù)與約束函數(shù)的導數(shù)不能分開，為此，文獻[10]引進了一種新的二階切上圖導數(shù)，并借助該導數(shù)建立了集值優(yōu)化問題弱有效元的二階最優(yōu)性條件.

1 基本概念與引理

定義1[11]設E?X，集值映射F:X→Y稱為在E上是近似C-次類凸的，如果clcone(F(E)+C)是凸的.

定義6[4]設B為C的基，N(0Y)是Y的零點鄰域基，點y∈M?Y稱為M關于錐C的強有效點，記為y∈GE(M,C)，如果?φ∈Y*, ?U,V∈N(0Y)，使得φ[clcone(M-y)∩(U-cone(V+B))]有界.

引理4[1]設Y為局部凸的拓撲向量空間，序錐C是點凸錐，且存在有界基B.如果?≠M?Y，則

GE(M,C)=GE(M+C,C)

引理5[14]Bst具有性質(zhì)： 1)Bst≠?； 2)若B是C的有界基，則Bst=intC*.

設F:X→Y,G:X→Z為集值映射，考慮下面集值優(yōu)化問題(VP)

minF(x), s.t.G(x)∩(-D)≠?,x∈X

2 二階最優(yōu)性條件

s*(y)+k*(z)≥0

(1)

?

(2)

?

(3)

(4)

?-intD(?n>N1)

(5)

由文獻[9]中定理2.1可知:

由假設φ*(x)在Ω上是近似(C×D)-次類凸的，于是clcone(φ*(Ω)+C×D)是凸的.由凸集分離定理知存在(s*,k*)∈Y*×Z*{(0Y*, 0Z*)}使得

(6)

由clcone(φ*(Ω)+C×D)為錐及(s*,k*)在其上有下界，于是

(s*,k*)(clcone(φ*(Ω)+C×D))≥0

(7)

(8)

由(0Y, 0Z)∈C×D及式(7)得(s*,k*)(φ*(Ω))≥0.即

下面證明s*∈Bst∪{0Y*},k*∈D*.當s*≠0Y*時，由式(8)得

因此

?intC*,k*∈(intD)*

(9)

由B是有界基及引理5知s*∈Bst，于是由式(9)得k*∈D*，定理得證.

k*(z″)<0

(10)

另一方面，由已知條件和s*=0Y*，結(jié)合定理1可得:

此與式(10)矛盾，故定理成立.

無界.取k>0,δ>0，令

(11)

s*(un-μn(vn+bn))→-∞

(12)

由式(11)～(12)可知存在一正整數(shù)N，使得

(?n≥N)

(13)

特別有tN>0且

(14)

(15)

且

此與式(15)矛盾，故定理得證.