考慮應(yīng)力干擾的多簇壓裂水平井產(chǎn)能分布規(guī)律

曾青冬, 佟 穎, 姚 軍

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院,山東青島 266580; 2.中國(guó)石化石油工程技術(shù)研究院,北京 100101)

水平井分段壓裂多簇射孔是低滲透油氣藏和非常規(guī)油氣藏開采的關(guān)鍵技術(shù)[1]。裂縫擴(kuò)展模型求解方法包括有限元方法[2]、擴(kuò)展有限元方法[3-5]、位移不連續(xù)法[6-8]、離散元方法[9]等,較之于有限元類方法,位移不連續(xù)法求解速度更快。壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算主要采用解析/半解析方法以及數(shù)值模擬方法[10-15]。上述產(chǎn)能計(jì)算方法中裂縫為平行直線裂縫,然而多簇裂縫同步擴(kuò)展時(shí)為非平行彎曲裂縫,因此有必要考慮縫間應(yīng)力干擾對(duì)多簇壓裂水平井產(chǎn)能分布的影響。筆者首先基于位移不連續(xù)法建立水平井多簇裂縫同步擴(kuò)展數(shù)值模型,基于此由位勢(shì)理論和疊加原理構(gòu)建多簇壓裂水平井產(chǎn)量計(jì)算方法,并分析產(chǎn)量影響因素。

1 裂縫擴(kuò)展模型

1.1 模型建立

建立如圖1所示的水平井多簇裂縫同步擴(kuò)展物理模型。假設(shè)巖體變形為線彈性,裂縫延伸符合線彈性斷裂準(zhǔn)則,考慮壓裂液井筒摩阻和射孔摩阻,各個(gè)裂縫分流量動(dòng)態(tài)變化。

圖1 水平井多簇裂縫同步擴(kuò)展物理模型Fig.1 Physical model of multi-cluster fractures propagation in horizontal well

1.1.1 壓裂液流動(dòng)

壓裂液包括在井筒和裂縫中流動(dòng),考慮井筒中流動(dòng)須滿足流量和壓力關(guān)系。其中注入量須滿足

(1)

式中,QT為總注入速率,m3/s;Qi為裂縫半翼i的注入速率,m3/s;m為裂縫條數(shù)。

考慮井筒摩阻和射孔摩阻,流體壓力須滿足

p0=pw,i+Δppf,i+Δpcf,i.

(2)

式中,p0為井筒跟部流壓,Pa;pw,i為裂縫半翼i入口處流壓,Pa;Δppf,i為裂縫半翼i射孔摩阻壓降,Pa;Δpcf,i為裂縫半翼i井筒摩阻壓降,Pa。

假設(shè)裂縫等高,忽略流體在縱向上的流動(dòng),裂縫寬度與裂縫長(zhǎng)度相比較小,因此流體在每條裂縫上可以假設(shè)為一維流動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中,q為截面流量,m3/s;w為裂縫寬度,m;μ為壓裂液黏度,Pa·s;t為注入時(shí)間,s;x為沿裂縫擴(kuò)展方向的位移,m;h為裂縫高度,m。

壓裂液流動(dòng)滿足連續(xù)性方程:

(4)

式中,ql為流體濾失速度,m/s。

方程(4)是局部守恒方程,建立全局守恒方程為

(5)

1.1.2 裂縫延伸

基于Olson[16]提出的三維修正系數(shù),考慮有限高度對(duì)二維不連續(xù)方程的影響,其表達(dá)式為

(6)

(7)

式中,σn為法向應(yīng)力,Pa;σs為切向應(yīng)力,Pa;Dn為法向位移不連續(xù)量,m;Ds為切向位移不連續(xù)量,m;C為彈性系數(shù)矩陣;G為三維修正系數(shù)。

裂縫擴(kuò)展采用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則,當(dāng)裂縫尖端綜合應(yīng)力強(qiáng)度因子超過巖石韌度時(shí)裂縫發(fā)生擴(kuò)展,且裂縫擴(kuò)展方向?yàn)?/p>

(8)

式中,θ為裂縫尖端偏轉(zhuǎn)角;KⅠ為第一類應(yīng)力強(qiáng)度因子,Pa·m1/2;KⅡ?yàn)榈诙悜?yīng)力強(qiáng)度因子,Pa·m1/2。應(yīng)力強(qiáng)度因子可采用尖端單元位移不連續(xù)量進(jìn)行求解[16]。

1.2 數(shù)值求解

對(duì)壓裂液連續(xù)性方程(4)在單元i上關(guān)于t在[t,dt]上積分,得到流體離散形式為

(9)

對(duì)流體運(yùn)動(dòng)方程(3)采用有限差分方法進(jìn)行離散,得到裂縫單元間流量的表達(dá)式為

(10)

由于流動(dòng)方程的非線性,須采用迭代方法進(jìn)行求解。選擇流體壓力pi(i=1, 2, 3,…,N),裂縫分流量Qk(k=1, 2, 3,…, 2m),井筒跟部壓力p0,時(shí)間步長(zhǎng)dt為未知量。迭代求解思路為:假設(shè)未知量迭代初值,基于流體壓力值pi利用位移不連續(xù)方程求解位移不連續(xù)量,即可得到裂縫寬度,由方程(9)可得N個(gè)方程,由方程(1)和(2)可得2m+1個(gè)方程,加上全局守恒方程(5)構(gòu)成待求量的方程組,未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等,采用牛頓迭代法即可求解上述方程組。

2 產(chǎn)能計(jì)算方法

當(dāng)水平井多簇裂縫同步擴(kuò)展時(shí),裂縫不再相互平行,裂縫呈現(xiàn)彎曲延伸形態(tài)?；诹芽p擴(kuò)展模型結(jié)果,裂縫由有限個(gè)直線段單元組成,通過疊加所有直線段單元上的位勢(shì)得到勢(shì)函數(shù),分為裂縫無限導(dǎo)流能力和有限導(dǎo)流能力兩種情形,構(gòu)建了產(chǎn)能計(jì)算方法。

當(dāng)裂縫與x軸平行時(shí),根據(jù)位勢(shì)理論,該裂縫所產(chǎn)生的勢(shì)分布[17]為

(11)

式中,Φ為裂縫產(chǎn)生的勢(shì),m2/s;C為常數(shù);qf為裂縫產(chǎn)量,m3/s;Lf為裂縫半長(zhǎng),m;h為裂縫高度,m;B為體積系數(shù);y0為裂縫中點(diǎn)縱坐標(biāo),m。

當(dāng)裂縫傾斜時(shí),如圖2(a)所示,根據(jù)坐標(biāo)變換公式,整體坐標(biāo)系下勢(shì)分布為

(12)

其中坐標(biāo)變換公式為

(13)

式中,(x′,y′)為局部坐標(biāo),m;(cx,cy)為裂縫中點(diǎn)坐標(biāo),m;θ為裂縫傾斜角,(°)。

對(duì)于任意形態(tài)的裂縫,如圖2(b)所示,圖2中裂縫僅為示意圖,將其劃分成N個(gè)單元,基于坐標(biāo)變換公式和疊加原理可得儲(chǔ)層勢(shì)函數(shù)為

(14)

式中,qf,i為裂縫單元i產(chǎn)量,m3/s;Lf,i為裂縫單元i半長(zhǎng),m。

圖2 裂縫示意圖Fig.2 Schematic diagram of fractures

在供給邊界(xe,ye),所有裂縫單元產(chǎn)生的勢(shì)函數(shù)可表示為

(15)

對(duì)于每一裂縫單元,其中點(diǎn)勢(shì)函數(shù)可表示為

m=1,2,…,N.

(16)

勢(shì)與壓力的關(guān)系式為

Φ=kp/μ.

(17)

2.1 裂縫無限導(dǎo)流能力

考慮裂縫無限導(dǎo)流能力時(shí),所有裂縫單元壓力都為井底流壓,方程(14)與(15)相減消除常數(shù)C,并將方程(17)代入左端,可得到N個(gè)方程:

(18)

當(dāng)井底流壓和供給邊界壓力已知時(shí),求解線性方程組,可求得各裂縫單元產(chǎn)量,將所有單元產(chǎn)量求和即為井產(chǎn)量。

2.2 裂縫有限導(dǎo)流能力

如圖3所示,對(duì)于任一裂縫單元j,裂縫單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xj1,yj1)和(xj2,yj2),流體由(xj1,yj1)流向(xj2,yj2)。考慮裂縫有限導(dǎo)流能力時(shí),采用達(dá)西公式表征裂縫單元節(jié)點(diǎn)壓力和流量之間的關(guān)系[18],可表示為

(19)

式中,kf為裂縫單元的滲透率,m2;bf為裂縫單元的寬度,m。

圖3 裂縫單元流體流動(dòng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of fluid flow in fracture element

(20)

至于裂縫節(jié)點(diǎn)的流入流出量,必須滿足流量守恒,因此可以簡(jiǎn)記為節(jié)點(diǎn)流量:

qm=qm|inflow=qm|outflow,m=1,2,…,Nv.

(21)

式中,Nv為裂縫單元節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

以一條裂縫為例說明產(chǎn)量計(jì)算方法。如圖4所示,水平井沿著x軸方向,裂縫與x軸交點(diǎn)為裂縫單元的節(jié)點(diǎn)。假設(shè)裂縫單元個(gè)數(shù)為N,則單元節(jié)點(diǎn)數(shù)Nv等于N+1。已知井底壓力和供給壓力,則未知量包括:單元產(chǎn)量qf,j(N個(gè))、單元節(jié)點(diǎn)流量qm(N+1個(gè))以及單元節(jié)點(diǎn)壓力pj(N+1個(gè))。

圖4 一條裂縫產(chǎn)量計(jì)算示意圖Fig.4 Schematic diagram of production calculation for one fracture

根據(jù)方程(19)可求出裂縫單元流入節(jié)點(diǎn)和中點(diǎn)的壓降方程為

(22)

方程(14)與(15)相減消除常數(shù)C,并將方程(17)代入左端,可得到N個(gè)方程為

(23)

將方程(22)和(23)裂縫單元中點(diǎn)壓力消除,可得到N個(gè)方程。根據(jù)裂縫單元壓降式(19)可得到N個(gè)方程。

此外,針對(duì)裂縫單元節(jié)點(diǎn)流量,如圖5所示裂縫單元i1和i2,裂縫節(jié)點(diǎn)為j1、j2和j3,節(jié)點(diǎn)j2的流量計(jì)算方程為

qj2=qj1+qf,i1.

(24)

裂縫尖端節(jié)點(diǎn)流量為0,因此基于式(24)可得到Nv(N+1)個(gè)方程。

圖5 裂縫單元節(jié)點(diǎn)流量計(jì)算示意圖Fig.5 Schematic diagram of flux calculation for fracture node

當(dāng)井底流壓和供給壓力已知時(shí),與水平井相交的裂縫單元節(jié)點(diǎn)壓力即為井底流壓,因此綜合上述3N+2個(gè)方程,與未知量個(gè)數(shù)相等,且為線性方程組,求解該方程組,即可求解裂縫單元產(chǎn)量,累加得到單條裂縫產(chǎn)量。采用相同方法可用于求解多簇裂縫產(chǎn)量,且根據(jù)井筒摩阻方程建立各裂縫入口節(jié)點(diǎn)壓力之間的關(guān)系,可求解得到各簇裂縫產(chǎn)量。

3 算例結(jié)果分析

3.1 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證裂縫擴(kuò)展模型和算法的正確性,將濾失系數(shù)設(shè)為0,裂縫條數(shù)為1,比較數(shù)值解與KGD模型解析解。模型其他參數(shù)取值:彈性模量E為20 GPa,泊松比ν為0.25,注入速度Q0為0.027 m3/s,裂縫高度hf為15 m,壓裂液黏度μ為0.1 Pa·s。KGD模型解析解詳見參考文獻(xiàn)[19]和[20],裂縫半長(zhǎng)對(duì)比結(jié)果如圖6所示。由圖6可知,數(shù)值解與解析解相差很小,驗(yàn)證了裂縫擴(kuò)展模型的正確性。

為驗(yàn)證產(chǎn)能計(jì)算方法的收斂性,計(jì)算對(duì)比了單一裂縫產(chǎn)量的解析解和數(shù)值解。模型參數(shù)取值:裂縫半長(zhǎng)Lf為100 m,裂縫高度hf為15 m,基巖滲透率k為0.02 μm2,流體黏度μ為6 mPa·s,體積系數(shù)B為1.2,供給半徑re為800 m,供給壓力pe為30 MPa,井底流壓pw為23 MPa。

單一裂縫產(chǎn)量數(shù)值解與解析解對(duì)比結(jié)果如圖7所示。由圖7可知,隨著裂縫單元數(shù)目增加,數(shù)值解快速收斂于解析解,且當(dāng)單元數(shù)大于10時(shí),數(shù)值解與解析解之間的相對(duì)誤差為0.04%,說明本文中計(jì)算方法正確有效。本文中數(shù)值解可用于求解多簇彎曲裂縫產(chǎn)量,此種情形下并無解析解,因此本文中的數(shù)值方法使裂縫產(chǎn)能計(jì)算更加完善,有必要進(jìn)行研究。

圖6 裂縫半長(zhǎng)數(shù)值解與解析解對(duì)比Fig.6 Contrast of numerical and analytical solution for fracture half length

圖7 單一裂縫產(chǎn)量數(shù)值解與解析解對(duì)比Fig.7 Comparison of numerical and analytical solution for single fracture production

3.2 產(chǎn)能影響因素

多簇裂縫同步擴(kuò)展時(shí),由于應(yīng)力干擾的作用,裂縫沿非平面擴(kuò)展,為此模擬不同間距時(shí)裂縫擴(kuò)展結(jié)果并計(jì)算對(duì)比了應(yīng)力干擾作用對(duì)產(chǎn)能的影響。通過裂縫擴(kuò)展模型計(jì)算得到兩簇射孔時(shí)裂縫擴(kuò)展形態(tài)，結(jié)果如圖8所示。模型參數(shù)取值:壓裂液黏度μ為0.1 Pa·s,其他參數(shù)同前文。由圖8可知,在應(yīng)力干擾作用下,兩簇裂縫相背離地?cái)U(kuò)展,且裂縫間距越小,擴(kuò)展路徑越彎曲。不考慮應(yīng)力干擾作用是指裂縫擴(kuò)展之間不存在任何互相影響,即裂縫擴(kuò)展之間也不存在競(jìng)爭(zhēng),擴(kuò)展的結(jié)果是所有裂縫都具有相同的幾何參數(shù)(裂縫長(zhǎng)度和寬度),且裂縫之間互相平行,不發(fā)生彎曲擴(kuò)展,實(shí)際條件下是不可能發(fā)生這種情況的。

基于本文中的產(chǎn)能計(jì)算方法,僅計(jì)算一段內(nèi)兩簇裂縫產(chǎn)量,假設(shè)裂縫為無限導(dǎo)流能力,應(yīng)力干擾作用對(duì)該段裂縫產(chǎn)量的影響結(jié)果如圖9所示。模型參數(shù)取值:裂縫高度hf為15 m,基巖滲透率k為0.02 μm2,流體黏度μ為6 mPa·s,體積系數(shù)B為1.2,供給半徑re為800 m,供給壓力pe為30 MPa,井底流壓pw為23 MPa。由圖9可知,考慮應(yīng)力干擾時(shí)產(chǎn)量高于不考慮應(yīng)力干擾時(shí)產(chǎn)量,這主要是因?yàn)榭紤]應(yīng)力干擾時(shí)裂縫之間相距更遠(yuǎn),流體流動(dòng)面積更大,說明裂縫擴(kuò)展過程中的應(yīng)力干擾作用有利于井產(chǎn)量的提高。

圖8 不同間距時(shí)兩簇射孔裂縫擴(kuò)展結(jié)果Fig.8 Results of two-cluster fractures propagation for different spacing

圖9 兩簇射孔應(yīng)力干擾對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.9 Effect of stress shadow on production of two-cluster perforation

同理,分析3簇射孔時(shí)裂縫擴(kuò)展結(jié)果以及應(yīng)力干擾作用對(duì)產(chǎn)量的影響,裂縫擴(kuò)展模型與產(chǎn)能計(jì)算模型參數(shù)取值與前文相同,結(jié)果分別如圖10和11所示。由圖10可知,當(dāng)間距較小時(shí),中間裂縫長(zhǎng)度和寬度將小于兩端裂縫長(zhǎng)度和寬度,說明應(yīng)力干擾作用不僅影響裂縫擴(kuò)展路徑,同時(shí)影響裂縫幾何長(zhǎng)度。圖11得到結(jié)果與圖9相同,與此同時(shí)繪制了間距為20 m時(shí)3條裂縫貢獻(xiàn)產(chǎn)量,如圖12所示。考慮應(yīng)力干擾對(duì)產(chǎn)量的影響主要作用在中間裂縫,這是因?yàn)榭紤]應(yīng)力干擾時(shí)兩端裂縫往外擴(kuò)展,中間裂縫作用的流體流動(dòng)面積增大,從而產(chǎn)量增加。

圖10 不同間距時(shí)3簇射孔裂縫擴(kuò)展結(jié)果Fig.10 Results of three-cluster fractures propagation for different spacing

計(jì)算分析裂縫間距和裂縫半長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)量的影響,結(jié)果如圖13所示。由圖13可知:裂縫間距越大,產(chǎn)量越大;裂縫半長(zhǎng)越大,產(chǎn)量越大。此外,當(dāng)增大裂縫間距時(shí),3簇射孔時(shí)產(chǎn)量增加幅度大于兩簇射孔產(chǎn)量增加幅度。而對(duì)于裂縫半長(zhǎng),3簇射孔時(shí)產(chǎn)量增加幅度與兩簇射孔產(chǎn)量增加幅度相差較小。裂縫間距對(duì)產(chǎn)量的影響程度高于裂縫半長(zhǎng)的影響程度。

圖11 3簇射孔應(yīng)力干擾對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.11 Effect of stress shadow on production of three-cluster perforation

圖12 各條裂縫產(chǎn)量結(jié)果Fig.12 Result of production for each fracture

根據(jù)裂縫擴(kuò)展模型,還可以得到裂縫寬度分布,從而得到裂縫導(dǎo)流能力。基于此計(jì)算對(duì)比了3簇射孔時(shí)裂縫無限導(dǎo)流能力和有限導(dǎo)流能力情況下產(chǎn)量結(jié)果,如圖14所示。由圖14可知,考慮裂縫有限導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量略低于考慮裂縫無限導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量。

在實(shí)際生產(chǎn)過程中,裂縫閉合應(yīng)力增大,導(dǎo)致裂縫導(dǎo)流能力降低,有學(xué)者對(duì)此開展了實(shí)驗(yàn)并擬合了曲線[21],得出表達(dá)式為

FC=10-2.758(σh-p)+0.219 1FCi.

(25)

式中,FC為當(dāng)前裂縫導(dǎo)流能力,μm2·m;FCi為初始裂縫導(dǎo)流能力,μm2·m;σh為水平最小主應(yīng)力,Pa;p為流體壓力,Pa。

基于裂縫擴(kuò)展模型求解得到的裂縫寬度,裂縫單元的導(dǎo)流能力可由立方定律計(jì)算得到,其滲透率計(jì)算公式為

(26)

式中,kf為裂縫滲透率,m2;wf為裂縫寬度,m。

圖13 裂縫間距和裂縫半長(zhǎng)對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.13 Effects of fracture spacing and fracture half-length on production

圖14 裂縫導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.14 Effect of fracture conductivity on production

儲(chǔ)層水平最小主應(yīng)力為38.6 MPa,計(jì)算對(duì)比了裂縫恒定導(dǎo)流能力和變導(dǎo)流能力情形下產(chǎn)量變化,如圖15所示。由圖15可知,考慮裂縫變導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量降低,而且隨著生產(chǎn)壓差增大,產(chǎn)量降低幅度增大,這是因?yàn)樯a(chǎn)壓差增大時(shí),裂縫導(dǎo)流能力快速下降,但總體上產(chǎn)量相差不太明顯,主要是由于基巖滲透率與裂縫滲透率相比很小,基巖往裂縫竄流量小,產(chǎn)量很大程度也取決于基巖滲透性。

圖15 裂縫變導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.15 Effect of variable fracture conductivity on production

4 結(jié) 論

(1)多簇裂縫同步擴(kuò)展時(shí),應(yīng)力干擾作用不僅影響裂縫擴(kuò)展路徑,而且還影響裂縫幾何參數(shù),導(dǎo)致裂縫擴(kuò)展之間存在競(jìng)爭(zhēng)性。

(2)裂縫擴(kuò)展過程中的應(yīng)力干擾作用有利于提高產(chǎn)量,主要原因在于應(yīng)力干擾作用可使裂縫間距更大,獲得更大的流動(dòng)面積。

(3)隨著裂縫間距和裂縫半長(zhǎng)增大,產(chǎn)量增大,且裂縫間距對(duì)產(chǎn)量的影響程度高于裂縫半長(zhǎng)的影響程度。

(4)考慮裂縫有限導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量低于考慮裂縫無限導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量,且考慮裂縫變導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量低于考慮裂縫恒定導(dǎo)流能力時(shí)產(chǎn)量。