關(guān)于非線性系統(tǒng)辨識(shí)的恢復(fù)力曲面法和希爾伯特變換法

袁天辰 ， 楊 儉， 陳立群

(1. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院， 上海 201620； 2. 上海大學(xué) 理學(xué)院力學(xué)系， 上海 200444;3. 上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所， 上海 200072；4. 上海大學(xué) 上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200072)

非線性系統(tǒng)辨識(shí)受到越來越多的研究者的關(guān)注，通過系統(tǒng)辨識(shí)可以獲得結(jié)構(gòu)在大幅振動(dòng)下的精確模型，這些方法主要分為頻域方法和時(shí)域方法兩大類。典型的非線性系統(tǒng)的頻域辨識(shí)方法有Volterra和Wiener級(jí)數(shù)[1]、多尺度法MMS[2]和諧波平衡法HBM[3]。與頻域方法相比，時(shí)域方法需要的數(shù)據(jù)量較少，但容易受到數(shù)據(jù)噪聲的干擾[4]。時(shí)域方法中的恢復(fù)力曲面法(或稱為力-狀態(tài)映射法)[5]和基于希爾伯特變換的辨識(shí)方法[6-7]不需要事先確定非線性恢復(fù)力的形式，是純粹的非參數(shù)識(shí)別方法，在系統(tǒng)辨識(shí)的過程中得到較廣泛的應(yīng)用。

恢復(fù)力曲面法通過構(gòu)建恢復(fù)內(nèi)力、速度和位移之間的三維點(diǎn)集，利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合恢復(fù)力曲面或者利用截面法分離出其中的彈性恢復(fù)力和阻尼恢復(fù)力?；谙柌刈儞Q的辨識(shí)方法，利用系統(tǒng)的自由振動(dòng)或受迫振動(dòng)響應(yīng)，通過解析信號(hào)得到待辨識(shí)系統(tǒng)剛度和阻尼函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)建響應(yīng)信號(hào)的包絡(luò)幅值和待識(shí)別系統(tǒng)剛度或阻尼函數(shù)之間的關(guān)系，達(dá)到辨識(shí)系統(tǒng)非線性剛度或阻尼函數(shù)的目的。然而該方法在辨識(shí)強(qiáng)非線性系統(tǒng)時(shí)，會(huì)受到響應(yīng)信號(hào)中高階諧波的干擾。由Braun等[8]提出的希爾伯特振動(dòng)分解(Hilbert Vibration Decomposition, HVD)可以有效解決這一問題。鄧楊等[9]提出了基于參數(shù)化時(shí)頻分析的非線性振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法，改進(jìn)了希爾伯特變換方法易受實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)噪聲干擾的缺點(diǎn)。Feldman[10]基于仿真數(shù)據(jù)對比了恢復(fù)力曲面法和希爾伯特變換法的區(qū)別，研究指出如果利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合辨識(shí)結(jié)果，其模型系數(shù)的物理意義并不明確，且可能造成較大的累計(jì)誤差。本文基于均勻薄板和壓電雙晶薄板的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步研究了兩種方法在形成位移-剛度數(shù)據(jù)機(jī)制上的區(qū)別。結(jié)果表明，在有噪聲的實(shí)驗(yàn)情況下，希爾伯特變換法能夠得到更為平滑和精確的位移-剛度數(shù)據(jù)，在數(shù)值上更為穩(wěn)定。

在通過非參數(shù)方法辨識(shí)得到系統(tǒng)的非線性特性曲線之后，就可以利用一個(gè)預(yù)設(shè)的函數(shù)模型(例如多項(xiàng)式函數(shù))去擬合系統(tǒng)辨識(shí)得到結(jié)果，系統(tǒng)辨識(shí)問題也就轉(zhuǎn)化為模型的參數(shù)估計(jì)問題，這一過程最常用的方法是最小二乘法。閆蓓等[11]提出一種帶有投票機(jī)制的改進(jìn)最小二乘法，成功剔除了異常值。以上研究成果均沒有涉及對擬合目標(biāo)數(shù)據(jù)選擇的問題，Worden等在擬合時(shí)均選用位移-彈性或阻尼恢復(fù)力數(shù)據(jù)。本文從均勻薄板和壓電雙晶薄板的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)問題出發(fā)，針對辨識(shí)數(shù)據(jù)的擬合問題，提出以位移-剛度函數(shù)為目標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，提高了小位移下數(shù)據(jù)擬合的精度。此外，還發(fā)現(xiàn)位移-剛度函數(shù)能比位移-恢復(fù)力函數(shù)更好的展現(xiàn)系統(tǒng)的非線性特性，為函數(shù)模型的選擇提供更多參考和依據(jù)。

1 實(shí)驗(yàn)裝置

本文對兩種薄板進(jìn)行了系統(tǒng)辨識(shí)，如圖1所示：一種為均勻的黃銅薄板，厚度為0.2 mm；另一種為黃銅薄板和壓電陶瓷圓片組成的雙晶板，其中壓電陶瓷的厚度為0.2 mm、直徑為40 mm。兩種薄板均由內(nèi)徑為56 mm的鋼環(huán)夾緊，構(gòu)成固定邊界，中心均配有質(zhì)量為74.4 g的倒錐形質(zhì)量塊。在實(shí)驗(yàn)中，鋼環(huán)安裝于激振臺(tái)的臺(tái)面上，臺(tái)面加速度和中心質(zhì)量塊加速度由動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集儀記錄。

2 系統(tǒng)非參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的數(shù)據(jù)擬合

2.1 恢復(fù)力曲面法的辨識(shí)過程

(1)

(a) 均勻薄板

(b) 壓電雙晶薄板

(2)

(3)

(4)

2.2 均勻薄板的辨識(shí)與數(shù)據(jù)擬合

實(shí)驗(yàn)中，均勻薄板裝置受到60 Hz的正弦基礎(chǔ)激勵(lì)，激勵(lì)幅值在5 s內(nèi)從0自由地增加到2g。中心質(zhì)量振動(dòng)速度和位移時(shí)間歷程通過數(shù)值積分得到，并應(yīng)用低通濾波去除趨勢項(xiàng)的干擾。采用恢復(fù)力曲面法辨識(shí)得到均勻薄板的位移-彈性恢復(fù)力如圖2(a)中的散點(diǎn)所示。以彈性恢復(fù)力數(shù)據(jù)為擬合的目標(biāo)，以三次多項(xiàng)式為函數(shù)模型，得到擬合曲線如圖2(a)中的實(shí)線所示，其三次多項(xiàng)式系數(shù)見表1中“均勻薄板恢復(fù)力”行。其中，k1為線性項(xiàng)，k2表示系統(tǒng)的對稱性，k3為立方非線性項(xiàng)。結(jié)果顯示系統(tǒng)主要是含有三次立方剛度非線性，并具有輕微的平方項(xiàng)，可能是由裝配中的輕微誤差引起的。圖2(a)中的點(diǎn)劃線為彈性恢復(fù)力的線性部分k1。

表1 多項(xiàng)式擬合結(jié)果

圖2(b)中的散點(diǎn)為利用公式fs(x)/x得到的位移-剛度離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)線是利用表1中“均勻薄板恢復(fù)力”行的k1、k2和k3系數(shù)繪制得到的擬合曲線，點(diǎn)劃線為線性項(xiàng)k1。結(jié)果顯示，在小位移處的擬合曲線和數(shù)據(jù)散點(diǎn)相差較大，線性剛度與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也有明顯偏離。該現(xiàn)象在圖2(a)中的位移-彈性恢復(fù)力曲線中沒有體現(xiàn)，然而在圖2(b)中位移-剛度曲線中卻非常明顯。重新以位移-剛度數(shù)據(jù)為目標(biāo)，同樣以三次多項(xiàng)式為函數(shù)模型，擬合結(jié)果如圖2 (b)中的虛線所示。其三次多項(xiàng)式系數(shù)見表1中“均勻薄板剛度”行。從圖中可以看出小位移處的準(zhǔn)確性得到了提高。在數(shù)據(jù)擬合過程中采用是是最小二乘法，其殘差Q的公式為

(5)

式中，yei是三次多項(xiàng)式的計(jì)算值，yi是待擬合的數(shù)據(jù)。當(dāng)yei和yi均接近0時(shí)(例如恢復(fù)力接近0時(shí))，無論估計(jì)是否準(zhǔn)確，其殘差Q可能依然很小，由此造成了擬合失真。因此，在擬合辨識(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮對位移-剛度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以提高準(zhǔn)確性。

由圖4可以看出,系統(tǒng)的頻率偏差值維持在±0.2 Hz之內(nèi),能夠使柴儲(chǔ)混合電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行,由此證明所提出的負(fù)荷頻率協(xié)調(diào)控制策略能夠保證系統(tǒng)頻率穩(wěn)定運(yùn)行。

(a) 彈性恢復(fù)力-位移辨識(shí)結(jié)果

(b) 剛度-位移辨識(shí)結(jié)果

2.3 壓電雙晶薄板的辨識(shí)與數(shù)據(jù)擬合

下面通過壓電雙晶薄板的例子，進(jìn)一步展示位移恢復(fù)力數(shù)據(jù)和位移-剛度數(shù)據(jù)在非線性系統(tǒng)辨識(shí)中的區(qū)別。采用與均勻板相同的質(zhì)量配重和實(shí)驗(yàn)流程，壓電雙晶薄板裝置受到110 Hz的正弦基礎(chǔ)激勵(lì)，激勵(lì)幅值在5 s內(nèi)從0自由地增加到3.5g。圖片3(a)中的散點(diǎn)為位移-彈性恢復(fù)力的辨識(shí)結(jié)果，從曲線形狀來看，表現(xiàn)出一種硬剛度特性，類似于圖2中的均勻薄板，其三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果如圖3(a)中實(shí)線所示，其三次多項(xiàng)式系數(shù)見表1中“壓電雙晶薄板恢復(fù)力”行。然而，圖3(b)所顯示的位移-剛度曲線卻表現(xiàn)出更加復(fù)雜的非線性特性：當(dāng)位移較小時(shí)，剛度數(shù)值較大，隨著位移的增大剛度值迅速減?。唤又?，隨著位移的繼續(xù)增大，剛度值又緩緩上升。由此可見，通過研究位移—?jiǎng)偠群瘮?shù)曲線，可以比位移-彈性恢復(fù)力曲線展現(xiàn)更多細(xì)節(jié)。對于圖3(b)所示的非線性特性，即便增加多項(xiàng)式階數(shù)，也無法準(zhǔn)確擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，反而會(huì)引起嚴(yán)重的龍格現(xiàn)象，可見多項(xiàng)式函數(shù)已經(jīng)不適合此類系統(tǒng)。本文在文獻(xiàn)[12]提出的雙曲正切模型的基礎(chǔ)上，提出了含有立方項(xiàng)的改進(jìn)函數(shù)形式

fs(x)=k1x+k3x3+αs[tanh(βsx+γs)-

tanh(γs)]

(6)

利用最小二乘法，得到式(6)中的各項(xiàng)系數(shù)為k1=2.566 5×104，k3=4.926 0×1010，βs=7.847 4×104，γs=0.033 4，其結(jié)果如圖3(b)中的虛線所示。可見這類函數(shù)能較好表征這類復(fù)雜的非線性剛度。這種軟硬特性共存的情況已經(jīng)被作者在之前的研究中通過頻響曲線加以證實(shí)[13]，在物理結(jié)構(gòu)上是由于壓電陶瓷層和黃銅基板之間膠水所產(chǎn)生的軟化作用，造成了薄板剛度在小位移處降低，當(dāng)位移較大時(shí)，薄板的中面應(yīng)力又造成剛度上升。

(a) 彈性恢復(fù)力-位移辨識(shí)結(jié)果

(b) 剛度-位移辨識(shí)結(jié)果

由以上兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，剛度-位移曲線能夠展現(xiàn)系統(tǒng)非線性的更多細(xì)節(jié)，并有助于選擇合適的函數(shù)進(jìn)行逼近并提高曲線擬合精度。然而，觀察基于恢復(fù)力曲面法得到的位移-剛度散點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)位移極小時(shí)，剛度散點(diǎn)有不規(guī)則的振蕩現(xiàn)象出現(xiàn)。這是由于在恢復(fù)力曲面法中，位移-剛度數(shù)據(jù)是通過fs(x)/x得到的，由于實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)不可避免的存在噪聲，導(dǎo)致數(shù)據(jù)發(fā)生不規(guī)則的振蕩。下章介紹的基于希爾伯特變換法可以克服以上問題。

3 希爾伯特變換法與恢復(fù)力曲面法的比較

3.1 希爾伯特變換法的辨識(shí)過程

(7)

式中：cn是非線性阻尼函數(shù)，kn是非線性剛度函數(shù)，則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(1)改寫為

(8)

在系統(tǒng)質(zhì)量m和外激勵(lì)F已知的情況下，非線性剛度函數(shù)的辨識(shí)公式為

(9)

(10a)

(10b)

該方法的重要特點(diǎn)是可以直接得到剛度函數(shù)knEOE(AdEOE)，有助于提高剛度函數(shù)的數(shù)據(jù)質(zhì)量。而位移-彈性恢復(fù)力則可以通過公式fs(x)=AdEOE×knEOE(AdEOE)計(jì)算得到。

3.2 系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果比較

直接利用3.1節(jié)中實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)，進(jìn)行希爾伯特變換法的辨識(shí)。首先，利用HVD分解將振動(dòng)位移信號(hào)分解為2個(gè)分量(N=2)。圖4顯示了對兩種薄板的振動(dòng)位移各分量的三維時(shí)-頻響應(yīng)。其中，深色實(shí)線是第一個(gè)分量(i=1)的包絡(luò)線；淺色實(shí)線是第二個(gè)分量(i=2)的包絡(luò)線。該空間曲線在時(shí)間-頻率平面上的投影，則展示了該信號(hào)的瞬時(shí)頻率變化規(guī)律。第一個(gè)分量的瞬時(shí)頻率是外激勵(lì)頻率，是系統(tǒng)響應(yīng)的基頻。對于均勻薄板來說，除了微小幅值處的噪聲區(qū)域，第二分量的瞬時(shí)頻率是基頻的3倍；對于壓電雙晶薄板來說，第二個(gè)分量的瞬時(shí)頻率則有先減小再增大的現(xiàn)象，這顯示壓電雙晶薄板可能含有其他非線性特性。

(a) 均勻薄板

(b) 壓電雙晶薄板

根據(jù)3.1節(jié)中的辨識(shí)過程，分別對以上兩種薄板的進(jìn)行辨識(shí)計(jì)算，位移-剛度函數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如圖5中的實(shí)線所示，淺色的散點(diǎn)為恢復(fù)力曲面法所得到的結(jié)果。經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)，希爾伯特變換法的辨識(shí)結(jié)果，基本不存在小位移處的振蕩問題，小位移處的曲線也更加平滑，有利于函數(shù)逼近。

在數(shù)據(jù)利用方面，希爾伯特變換法要優(yōu)于恢復(fù)力曲面法。以均勻圓薄板的辨識(shí)為例：實(shí)驗(yàn)中采樣率為10 240 Hz，共采集數(shù)據(jù)47 464點(diǎn)。在希爾伯特變換法中，在去除由于HVD變換造成的端點(diǎn)失真數(shù)據(jù)之后，有效辨識(shí)數(shù)據(jù)尚有26 964點(diǎn)；在恢復(fù)力曲面法中，提取完成后的辨識(shí)數(shù)據(jù)則僅有559點(diǎn)。產(chǎn)生以上結(jié)果的原因是：恢復(fù)力曲面法采用截面原理產(chǎn)生位移-彈性恢復(fù)力數(shù)據(jù)對，只利用了速度為零時(shí)的數(shù)據(jù)，其他數(shù)據(jù)則被棄之不用，造成了數(shù)據(jù)利用率低下。而希爾伯特變換法的所有數(shù)據(jù)均參與位移-剛度數(shù)據(jù)的構(gòu)成(其中的端點(diǎn)效應(yīng)可以通過數(shù)據(jù)延拓來克服)，所以希爾伯特變換法產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量要大大高于恢復(fù)力曲面法。

(a) 均勻薄板

(b) 壓電雙晶薄板

4 結(jié) 論

本文基于均勻薄板和壓電雙晶薄板的非線性辨識(shí)實(shí)驗(yàn)，比較了恢復(fù)力曲面法和希爾伯特變換法在函數(shù)逼近的準(zhǔn)確性、數(shù)據(jù)處理精度和數(shù)據(jù)利用率方面的區(qū)別，得到以下結(jié)論：

(1) 位移-剛度函數(shù)比位移-彈性恢復(fù)力函數(shù)更能準(zhǔn)確展現(xiàn)辨識(shí)得到的系統(tǒng)非線性特性，并能提高小位移幅值處函數(shù)逼近的精度。

(2) 基于希爾伯特變換的辨識(shí)方法，能更加準(zhǔn)確得到位移-剛度函數(shù)，尤其在小位移處可以明顯減少數(shù)據(jù)的不規(guī)則振蕩。

(3) 基于希爾伯特變換的辨識(shí)方法，數(shù)據(jù)利用率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于恢復(fù)力曲面法，這在數(shù)據(jù)總量受限的情況下將非常有益。