差分進(jìn)化改進(jìn)微電網(wǎng)負(fù)荷頻率混合H₂/H_∞魯棒控制

李洪躍 王錫淮 肖健梅

摘?要：針對(duì)外部擾動(dòng)及系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)引起微電網(wǎng)負(fù)荷頻率波動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了混合H2/H∞魯棒控制器對(duì)系統(tǒng)負(fù)荷頻率進(jìn)行控制。建立了包含電池的柴油發(fā)電機(jī)組二次頻率控制模型，引入低通濾波器，使電池對(duì)系統(tǒng)高頻擾動(dòng)信號(hào)具有較好的抑制能力。以誤差平方的積分最小作為系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)，在綜合H2范數(shù)表征的系統(tǒng)性能和H∞范數(shù)表征的魯棒性能下，設(shè)計(jì)具有多目標(biāo)約束條件的混合H2/H∞魯棒控制器。采用差分進(jìn)化算法對(duì)控制器加權(quán)函數(shù)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，使控制器在滿足約束條件下達(dá)到最優(yōu)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出方法在滿足系統(tǒng)魯棒性能的基礎(chǔ)上，同時(shí)具備較好的控制輸出，保證微電網(wǎng)頻率在外部功率擾動(dòng)和系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)情況下具有較好的動(dòng)態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：負(fù)荷頻率控制;多目標(biāo)優(yōu)化;混合H2/H∞魯棒控制;魯棒性能;差分進(jìn)化

DOI：10.15938/j.emc.2019.11.015

中圖分類號(hào)：TM?761

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2019）11-0118-09

收稿日期：?2017-11-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61573240）

作者簡(jiǎn)介：李洪躍（1990—），男，博士研究生，研究方向?yàn)槲㈦娋W(wǎng)負(fù)荷頻率控制;

王錫淮（1961—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模、控制與優(yōu)化;

肖健梅（1962—），女，碩士，教授，研究方向?yàn)橹悄芸刂?、粗糙集理論?/p>

通信作者：李洪躍

Differential?evolution?algorithm?improving?for?microgrid?load?frequency?mixed?H2/H∞?robust?control

LI?Hongyue，?WANG?Xihuai，?XIAO?Jianmei

（Logistics?Engineering?College，?Shanghai?Maritime?University，?Shanghai?201306，?China）

Abstract：

In?order?to?suppress?the?frequency?fluctuation?caused?by?the?power?unbalance?or?parameters?perturbation?in?the?microgrid?system，?which?is?composed?of?multisources，?a?mixed?H2/H∞?robust?controller?with?multiobjective?constraint?was?researched.?Firstly，?the?state?space?function?was?established?of?the?secondary?frequency?control?model，?including?the?diesel?generator?and?battery.?In?order?to?suppress?the?external?disturbance，?a?low?pass?filter?was?designed?to?separate?the?high?frequency?signal?to?battery.?Secondly，?the?minimized?integral?squared?error?is?defined?as?the?objective?function，?and?a?mixed?H2/H∞?robust?controller?with?multiobjective?constraint?was?designed?synthesize?the?H2norm，?which?is?characterized?by?the?system?performance，?and?the?H∞norm?was?designed，?which?characterized?the?robust?performance.?Furthermore，?in?order?to?obtain?the?optimal?controller，?the?differential?evolution?algorithm?was?used?to?optimize?the?weighting?function?coefficient.?Finally，?the?simulation?results?show?that?the?proposed?method?has?better?control?output?while?satisfying?the?robust?performance?of?the?system.?The?reasonableness?and?correctness?of?the?proposed?method?are?verified.

Keywords：load?frequency?control;?multiobjective?optimization;?mixed?H2/H∞?robust?performance;?robust?control;?differential?evolution?algorithm

0?引?言

隨著大規(guī)模可再生能源（風(fēng)能、光伏等）及儲(chǔ)能裝置（電池、儲(chǔ)能飛輪等）的應(yīng)用，其并網(wǎng)運(yùn)行或與傳統(tǒng)發(fā)電方式組成的微電網(wǎng)系統(tǒng)，成為當(dāng)前提高能源利用率，降低能源消耗的重要方式[1-5]。由于可再生能源輸出功率的不穩(wěn)定性、負(fù)荷側(cè)用電量的改變或系統(tǒng)參數(shù)變化等原因，會(huì)引起微電網(wǎng)系統(tǒng)功率不平衡，導(dǎo)致系統(tǒng)頻率發(fā)生波動(dòng)。電網(wǎng)頻率作為微電網(wǎng)穩(wěn)定運(yùn)行的重要指標(biāo)，要求電力系統(tǒng)具備頻率發(fā)生偏移時(shí)能夠自動(dòng)恢復(fù)到基準(zhǔn)值的能力。由此，設(shè)計(jì)負(fù)荷頻率控制器，保證微電網(wǎng)系統(tǒng)頻率穩(wěn)定是至關(guān)重要的。

微電網(wǎng)運(yùn)行過程中引起系統(tǒng)頻率偏移的不確定性擾動(dòng)主要分為2種：一是具有高頻特性的未建模擾動(dòng)，如外部原因?qū)е碌南到y(tǒng)功率擾動(dòng)，或控制信號(hào)在系統(tǒng)傳遞過程中出現(xiàn)的時(shí)間滯后;二是具有低頻特性的模型參數(shù)攝動(dòng)，如設(shè)備老化或環(huán)境等因素，使得建立的數(shù)學(xué)模型參數(shù)與真實(shí)系統(tǒng)不匹配。上述2種不確定性可能同時(shí)或者分別作用于系統(tǒng)，導(dǎo)致供電側(cè)與用電側(cè)功率不匹配。針對(duì)這個(gè)問題，相關(guān)專家做了大量的研究工作。PID控制由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，成為最先使用的控制器。為了增強(qiáng)PID控制器魯棒穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[6-8]通過考慮多目標(biāo)約束優(yōu)化控制器參數(shù)，但對(duì)于可能出現(xiàn)的參數(shù)攝動(dòng)，不能保證滿意的魯棒性能。文獻(xiàn)[9-10]采用模糊控制方法進(jìn)行微電網(wǎng)二次頻率控制。由于模糊控制采用模糊語(yǔ)言對(duì)已知信息進(jìn)行輸入輸出描述，因此該方法對(duì)系統(tǒng)可能出現(xiàn)的擾動(dòng)具有較好的抗干擾能力，但該方法的模糊性不能保證所設(shè)計(jì)控制器的控制精度。文獻(xiàn)[11-12]采用模型預(yù)測(cè)控制，文獻(xiàn)[13-14]采用滑?？刂疲墨I(xiàn)[15]采用虛擬同步發(fā)電機(jī)技術(shù)，雖然對(duì)微電網(wǎng)系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的擾動(dòng)都具有較好的抑制作用，但是其魯棒性往往都是以仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，從理論角度沒有進(jìn)行詳細(xì)說明。

由于微電網(wǎng)負(fù)荷頻率控制是一個(gè)非線性時(shí)變系統(tǒng)，具有較高的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能要求，為此基于魯棒控制理論的H∞及μ綜合方法被用于設(shè)計(jì)二次頻率控制器，對(duì)抑制外部功率擾動(dòng)和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)引起的頻率波動(dòng)都取得了較理想的控制效果[16-19]。以上所設(shè)計(jì)的魯棒控制器只關(guān)注H∞范數(shù)表示的魯棒性能指標(biāo)，而對(duì)系統(tǒng)的控制輸入量沒有進(jìn)行考慮。在仿真實(shí)驗(yàn)中，通常會(huì)由于控制輸入量過大而達(dá)到飽和值，文獻(xiàn)[20]提出通過引入H2范數(shù)與H∞范數(shù)，獲得控制器較好的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性能。為此論文在其基礎(chǔ)上引入H2范數(shù)性能指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)輸入量進(jìn)行約束。同時(shí)H∞控制器設(shè)計(jì)的成功與否與權(quán)函數(shù)的選擇有很大關(guān)系，權(quán)函數(shù)參數(shù)的確定需要設(shè)計(jì)人員具備深厚的控制理論基礎(chǔ)或豐富的工程經(jīng)驗(yàn)。文獻(xiàn)[21-22]采用遺傳算法和粒子群算法進(jìn)行加權(quán)函數(shù)參數(shù)的選擇，但是這2種算法分別存在易早熟、易發(fā)散等缺點(diǎn)，往往因過早收斂而陷入局部最優(yōu)解。

由此，論文在H∞魯棒穩(wěn)定性指標(biāo)基礎(chǔ)上，同時(shí)考慮H2系統(tǒng)性能指標(biāo)設(shè)計(jì)基于混合H2/H∞的微電網(wǎng)二次頻率控制器。為了使控制器具有較好的控制性能，采用收斂速度快，魯棒性強(qiáng)的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法進(jìn)行控制器加權(quán)函數(shù)參數(shù)的尋優(yōu)操作，確定加權(quán)函數(shù)。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提出方法的合理性。

1?負(fù)荷頻率控制模型的建立

微電網(wǎng)供電側(cè)由柴油發(fā)電機(jī)組、儲(chǔ)能電池、風(fēng)力發(fā)電機(jī)和光伏發(fā)電組成，柴油發(fā)電機(jī)組作為傳統(tǒng)發(fā)電方式承擔(dān)供電側(cè)大部分輸出功率?？紤]到風(fēng)力發(fā)電和光伏發(fā)電輸出功率受天氣情況變化而具有隨機(jī)不確定性，可以視作為系統(tǒng)中不確定功率擾動(dòng)。由于功率在電池中是雙向流動(dòng)的，通過對(duì)電池進(jìn)行充放電控制，使電池參與柴油發(fā)電機(jī)組的調(diào)頻控制。系統(tǒng)的總功率滿足以下公式

ΔPg+ΔPb+ΔPw+ΔPs=ΔPd（1）

式中：ΔPg為柴油發(fā)電機(jī)組輸出功率;ΔPb為電池輸出功率;ΔPw為風(fēng)機(jī)輸出功率;ΔPs為光伏發(fā)電功率;ΔPd為用電側(cè)需求功率。當(dāng)系統(tǒng)由于不確定性擾動(dòng)導(dǎo)致式（1）左右兩邊功率不匹配時(shí)，需要通過設(shè)計(jì)的二次頻率控制器對(duì)柴油發(fā)電機(jī)組和電池進(jìn)行協(xié)調(diào)控制，改變調(diào)速機(jī)調(diào)速特性調(diào)整柴油發(fā)電機(jī)組和電池出力，使系統(tǒng)功率恢復(fù)平衡。柴油發(fā)電機(jī)組的二次頻率控制線性模型如圖1所示。

圖中，ΔXg為調(diào)速機(jī)輸出，Tg為調(diào)速機(jī)時(shí)間常數(shù)，Td為原動(dòng)機(jī)時(shí)間常數(shù)，Tb為電池時(shí)間常數(shù)，Tw為風(fēng)機(jī)時(shí)間常數(shù)，Ts為光伏發(fā)電時(shí)間常數(shù)。ΔSw為風(fēng)力變化，ΔSs為太陽(yáng)能變化，ΔPl為擾動(dòng)功率，R為一次調(diào)頻下垂系數(shù)，Δf為系統(tǒng)頻率偏差，M表示電力系統(tǒng)慣性系數(shù)，D表示電力系統(tǒng)阻尼系數(shù)。ΔuG為柴油發(fā)電機(jī)組控制信號(hào)，ΔuB為電池控制信號(hào)，C0為電池容量初試狀態(tài)，Cmin與Cmax分別表示電池容量的下限和上限。

文獻(xiàn)[23-24]研究了電池參與柴油發(fā)電機(jī)組的調(diào)頻過程，但是沒有給出控制信號(hào)在柴油發(fā)電機(jī)組和電池之間的具體分配方式。論文通過在調(diào)速機(jī)前設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，將得到的控制器輸出信號(hào)與柴油發(fā)電機(jī)組輸出信號(hào)的差作為電池的控制信號(hào)，如圖2所示。

圖中，Δu為控制器得到的系統(tǒng)輸入信號(hào)，?LPF為設(shè)計(jì)的低通濾波器（lowpass?filter，LPF）。通過低通濾波器，可使得高頻誤差通過電池進(jìn)行調(diào)節(jié)，減少原動(dòng)機(jī)的調(diào)頻次數(shù)，有利于其盡可能的工作在最佳區(qū)域。

通過圖2可以寫出電池參與柴油發(fā)電機(jī)組二次調(diào)頻過程的線性狀態(tài)空間方程：

x·=Ax+B1u+B2w

y=Cx（2）

式中：x表示系統(tǒng)狀態(tài)變量;u表示系統(tǒng)控制輸入;w表示系統(tǒng)擾動(dòng);y表示系統(tǒng)輸出;A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;B1為系統(tǒng)輸入矩陣;B2為系統(tǒng)擾動(dòng)矩陣;C為系統(tǒng)輸出矩陣。進(jìn)一步考慮系統(tǒng)由于參數(shù)攝動(dòng)引起的模型不確定性，式（2）改寫為：

x·=（A+ΔA）x+（B1+ΔB1）u+B2w

y=Cx（3）

式中：x=[ΔXg，ΔPg，ΔPb，ΔPw，ΔPs，Δf]，y=Δf;

A=-1Tg0000-1TgR1Td-1Td000000-1Tb000000-1Tw000000-1Ts001M1M1M1M-DM;

B1=1Tg01Tb000;B2=0000000001Tw0001Ts000-1M;w=ΔSwΔSsΔPl。

式中：ΔA和ΔB1分別表示參數(shù)攝動(dòng)引起的系數(shù)不確定塊，并假設(shè)ΔA、ΔB1與B2是范數(shù)有界的。針對(duì)式（3）表示的不確定系統(tǒng)，設(shè)計(jì)具有約束的魯棒控制器，使其滿足通過誤差平方的積分（integral?square?error，ISE）作為系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)：

minJ=∫tsim0Δf2（t）dt

s.t.SOCmin≤SOC≤SOCmax

Pming≤Pg≤Pmaxg（4）

式中：tsim表示仿真時(shí)間。其約束條件不僅要滿足電池SOC和發(fā)電機(jī)輸出功率在允許的范圍內(nèi)，同時(shí)還要滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)的魯棒控制器同時(shí)滿足H∞穩(wěn)定性指標(biāo)和H2系統(tǒng)性能指標(biāo)，兩者在魯棒控制器的設(shè)計(jì)過程中給出。

2?混合H2/H∞控制器的設(shè)計(jì)

2.1?H∞性能指標(biāo)

標(biāo)準(zhǔn)形式的H∞優(yōu)化問題如圖3所示。

圖中，w表示作用于被控對(duì)象上的所有外部輸入，u表示控制器作用于被控對(duì)象上的控制輸入，y表示系統(tǒng)輸入，z表示穩(wěn)定性能要求的加權(quán)輸出。G（s）表示廣義被控對(duì)象，K表示設(shè)計(jì)的魯棒控制器?；诨旌响`敏度原理求解標(biāo)準(zhǔn)控制問題的魯棒控制器，圖3轉(zhuǎn)換為混合靈敏度控制，如圖4所示。

圖中，P表示被控對(duì)象，W1，W2，W3分別為待設(shè)計(jì)的加權(quán)函數(shù)，z=[z1，z2，z3]T表示系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。從輸入w到輸出評(píng)價(jià)z的傳遞函數(shù)Tzw為

Tzw=W1SW2RW3T（5）

式中：S=（I+PK）-1表示靈敏度函數(shù);T=PK（I+PK）-1表示補(bǔ)靈敏度函數(shù);R=K（I+PK）-1表示控制靈敏度函數(shù)。從w到z1的H∞函數(shù)‖W1S‖SymboleB@

表示系統(tǒng)對(duì)低頻擾動(dòng)的抑制能力;從w到z2的H∞函數(shù)‖W3T‖SymboleB@

表示魯棒穩(wěn)定性對(duì)高頻擾動(dòng)的抑制能力。H∞標(biāo)準(zhǔn)問題就是求解一個(gè)真實(shí)有理控制器K，使w到z的傳遞函數(shù)陣的H∞范數(shù)為最小，而極小化的約束條件是K鎮(zhèn)定G。

minK?stabilize?G‖Tzw‖SymboleB@

<γ（6）

不失一般性，γ=1。

系統(tǒng)滿足魯棒性能的充分必要條件為

‖|W1S|+|W3T|‖SymboleB@

<1（7）

根據(jù)不等式：

|W1S|+|W3T|≤2|W1S|2+|W3T|2（8）

根據(jù)：

|W1S|2+|W3T|2=σ-W1SW3T（9）

式中：σ-表示最大奇異值上確界。由此可得：

‖|W1S|+|W3T|‖SymboleB@

<2W1SW3TSymboleB@

（10）

通過推導(dǎo)過程，引入控制靈敏度函數(shù)H∞范數(shù)指標(biāo)，則式（6）表示的H∞控制器優(yōu)化性能指標(biāo)可以表示為

W1SW2RW3TSymboleB@

≤12（11）

通過式（11）約束的H∞性能指標(biāo)，在保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的前提下，降低控制器在處理由系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)引起的低頻擾動(dòng)時(shí)的保守性。

2.2?H2性能指標(biāo)

從H∞范數(shù)定義可以看出，H∞范數(shù)是在頻域范圍內(nèi)，遍歷所有ω中G（jω）的所有奇異值中的最大值，表示了信號(hào)增益的界。而信號(hào)的能量通常用H2范數(shù)表示，系統(tǒng)G的H2范數(shù)定義為

‖G‖2=12π∫SymboleB@

-SymboleB@

|G（jω）|2dω12（12）

從式中可以看出，系統(tǒng)的H2范數(shù)是用系統(tǒng)輸入為高斯白噪聲時(shí)輸出的均方根表示的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的大小。H∞控制通過引入H2性能指標(biāo)，則圖3結(jié)構(gòu)進(jìn)一步改寫為圖5所示。

圖中，zSymboleB@

表示系統(tǒng)的H∞性能指標(biāo)輸出，z2表示通過H2范數(shù)優(yōu)化的性能指標(biāo)輸出。則系統(tǒng)從輸入w到輸出z2的傳遞函數(shù)為Tz2w，系統(tǒng)的H2優(yōu)化目標(biāo)表示為

minJ2=‖Tz2w‖2（13）

綜合H∞性能指標(biāo)，圖5表示的混合H2/?H∞控制問題為，在‖TzSymboleB@

w‖SymboleB@

≤12的約束下，使得‖Tz2w‖2最小。

2.3?加權(quán)函數(shù)結(jié)構(gòu)

從H2范數(shù)和H∞范數(shù)的定義可以看出，加權(quán)函數(shù)參數(shù)選取的是否合理，對(duì)系統(tǒng)能否達(dá)到所要求的性能指標(biāo)是至關(guān)重要的?！琖1S‖SymboleB@

代表系統(tǒng)的性能要求;‖W3T‖SymboleB@

代表系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性要求。設(shè)計(jì)加權(quán)函數(shù)W1，W2，W3的結(jié)構(gòu)和系數(shù)取值范圍如下：

1）W1=k1s+a1s+b1，其中k1∈[10-3，103]，a1∈[10-3，103]，b1∈[10-3，103];

2）W2可選為標(biāo)量：W2=k2，其中k2∈[10-3，103];

3）W3=k3s+a3s+b3，a3，b3∈[10-3，103]，k3∈[10-3，103]。

其中，k1，k2，k3，a1，a3，b1，b3為待選取參數(shù)。

3?基于自適應(yīng)差分進(jìn)化的參數(shù)選取

3.1?標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法

由于差分進(jìn)化（differential?evolution，DE）算法具有待定參數(shù)少，不易陷入局部最優(yōu)和收斂速度快的特點(diǎn)，成為求解非線性、多極值和多維復(fù)雜函數(shù)的一種有效魯棒的方法。其標(biāo)準(zhǔn)過程主要包括4步：

1）生成初始種群。在n維空間里隨機(jī)產(chǎn)生滿足約束條件的種群個(gè)體。

xij（0）=randij（xUij-xLij）+xLij（14）

式中：xUij表示第j個(gè)染色體的上界;xLij表示第j個(gè)染色體的下界;randij（0，1）表示生成（0，1）之間隨機(jī)小數(shù)。

2）變異操作。從當(dāng)前種群中隨機(jī)選取3個(gè)個(gè)體xp1，xp2和xp3，然后將3個(gè)個(gè)體中的任意2個(gè)形成的差值通過縮放因子F縮放后加到第3個(gè)個(gè)體上，得到目標(biāo)個(gè)體的變異形態(tài)，其過程表示為

hij（t+1）=xp1j（t）+F（xp2j（t）-xp3j（t））（15）

3）交叉操作。交叉操作的目的是增加種群的多樣性，采用二項(xiàng)式交叉方式，操作為：

vij（t+1）=hij（t+1），rand?lij≤CR

xij（t），rand?lij>CR（16）

式中：CR表示交叉概率。

4）選擇操作。經(jīng)過變異和交叉后產(chǎn)生的試驗(yàn)向量，將于目標(biāo)向量進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，以確定哪一個(gè)向量進(jìn)入下一代。其操作過程為：

xi（t+1）=vi（t+1），f（xti）≤f（vti）

xij（t），f（xti）>f（vti）（17）

3.2?自適應(yīng)參數(shù)設(shè)置

從步驟1到步驟4看出，標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的搜索性能對(duì)參數(shù)具有一定的依賴性。在傳統(tǒng)的差分進(jìn)化算法中，通常將變異因子與交叉因子取為固定值，這樣在有限的情況下很難保證獲得全局最優(yōu)解，限制了算法的搜索效率。為此，論文采用自適應(yīng)的策略，使控制參數(shù)在進(jìn)化的過程中能夠根據(jù)不同迭代次數(shù)得到的適應(yīng)度函數(shù)值變化。

1）群體規(guī)模。群體規(guī)模MG選為固定值，選取范圍一般為[20，50]。MG越大，獲得最優(yōu)解的概率越大，但是計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)。

2）迭代代數(shù)。最大迭代代數(shù)GT越大，最優(yōu)解越精確，但同時(shí)增加計(jì)算時(shí)間。

3）變異因子。變異因子是決定種群多樣性和和算法收斂速度的重要參數(shù)，通常取為固定值[0.3，0.6]。論文采用自適應(yīng)策略調(diào)整變異因子F：

F=（Fmax-Fmin）GT-GtGT+Fmin（18）

式中，F(xiàn)max為設(shè)置的變異因子最大值;Fmin為設(shè)置的變異因子最小值;GT為最大迭代次數(shù);Gt為當(dāng)前迭代次數(shù)。從式中可以看出，當(dāng)在算法初期時(shí)F取值較大，有利于種群的多樣性，隨著迭代次數(shù)的增加，F(xiàn)逐漸變小，有利于提高算法的收斂速度的計(jì)算精度。

4）交叉因子。交叉因子CR決定種群個(gè)體的交叉程度，CR越小，則種群多樣性越小，CR越大則會(huì)因群體差異度越大導(dǎo)致收斂過慢，通常取為固定值[0.6，0.9]。論文采用自適應(yīng)策略調(diào)整交叉因子CR：

CR=（CRmax-CRmin）GtGT+CRmin（19）

式中：CRmax為設(shè)置的交叉因子最大值;CRmin為設(shè)置的交叉因子最小值;GT為最大迭代次數(shù);Gt為當(dāng)前迭代次數(shù)。通過變異因子和交叉因子的自適應(yīng)調(diào)整，可以保證種群多樣性和算法的收斂速度取得平衡。

3.3?基于DE的控制器求解步驟

基于自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的混合H2/?H∞魯棒控制器的求解步驟如下：

1）定義算法參數(shù)，算法初始化，生成初試種群。

2）利用當(dāng)前迭代次數(shù)生成的個(gè)體作為魯棒控制器的加權(quán)函數(shù)參數(shù)，得到符合性能指標(biāo)要求的H2/?H∞魯棒控制器。

3）根據(jù)式（4）計(jì)算當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)，和適應(yīng)度值，對(duì)所有個(gè)體的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，得到最優(yōu)個(gè)體。

4）按照自適應(yīng)參數(shù)選擇過程，執(zhí)行變異、交叉和選擇操作，生成新的種群。

5）Gt=Gt+1，返回步驟2。

6）算法滿足終止條件，終止操作，得到最優(yōu)解。

4?實(shí)驗(yàn)仿真

4.1?控制器性能驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)過程中，在Matlab/SIMULINK環(huán)境中，搭建如圖2所示的微電網(wǎng)負(fù)荷頻率控制模型，其參數(shù)取值如表1所示。

自適應(yīng)差分進(jìn)化算法參數(shù)取值如表2所示。其計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法、遺傳算法[21]及粒子群優(yōu)化[22]進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

從圖中看出，經(jīng)過100次的迭代計(jì)算，自適應(yīng)差分進(jìn)化算法大約在第10次已經(jīng)接近收斂，標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法大約在第20次接近收斂。而粒子群優(yōu)化算法及遺傳算法的收斂時(shí)間都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過差分進(jìn)化算法，并且從圖中可以看出兩者都陷入了局部最優(yōu)。說明所用算法具有較高的工作效率及較為精確的計(jì)算結(jié)果。

經(jīng)過迭代計(jì)算后，加權(quán)函數(shù)分別為：

W1=2.479s+839192.8s+1（20）

W2=5.84（21）

W3=29.93s+0.0020.01s+1（22）

加權(quán)函數(shù)與靈敏度函數(shù)的幅頻特性曲線如圖7所示，上方子圖表示加權(quán)函數(shù)W1的倒數(shù)與靈敏度函數(shù)S的幅頻特性，下方字圖表示加權(quán)函數(shù)W3與補(bǔ)靈敏度函數(shù)T的幅頻特性。從圖中可以看出，W1的倒數(shù)的幅頻特性曲線位于靈敏度函數(shù)S的幅頻特性曲線上方，且W3的幅頻特性曲線同樣位于補(bǔ)靈敏度函數(shù)T的幅頻特性曲線上方，滿足式（23）～式（24），說明所設(shè)計(jì)的加權(quán)函數(shù)滿足魯棒穩(wěn)定性與魯棒性能。

|S（jω）|<1|W1（jω）|（23）

|T（jω）|<1|W3（jω）|（24）

將優(yōu)化得到的加權(quán)函數(shù)帶入系統(tǒng)中進(jìn)行控制器求解，所得控制器傳遞函數(shù)為

K（s）=

p0s6+p1s5+p2s4+p3s3+p4s2+p5s+p6q0s7+q1s6+q2s5+q3s4+q4s3+q5s2+q6s+q7

式中：p0=254.3;p1=2.609×104;p2=1.917×106;p3=1.863×108;p4=1.329×108;p5=1.527×109;p6=1.632×107;q0=1;q1=372.8;q2=7.078×104;q3=6.455×106;q4=2.655×108;q5=4.011×109;q6=1.031×109;q7=3.27×106。

計(jì)算得到的系統(tǒng)范數(shù)性能指標(biāo)如表3所示。從表中看出，混合H2/H∞控制的無窮范數(shù)與傳統(tǒng)H∞控制的無窮范數(shù)都滿足式（11）的性能要求，同時(shí)混合H2/H∞的H2范數(shù)達(dá)到最小。雖然前者方法的無窮范數(shù)大于后者，但是利用H∞方法求解控制器只為得到一條全通解，達(dá)到所要求的性能和魯棒穩(wěn)定性，并不看重范數(shù)性能指標(biāo)值的大小[25]。

4.2?實(shí)驗(yàn)仿真

在搭建的負(fù)荷頻率控制模型中，對(duì)所得到的控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證。首先假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行過程中，由于天氣變化引起供電側(cè)風(fēng)機(jī)和光伏輸出功率的改變，導(dǎo)致系統(tǒng)功率不平衡。假設(shè)擾動(dòng)功率ΔPl=0.1p.u.，電池初始容量SOC0=0.5，SOCmin=0.1，SOCmax=0.9。

圖8表示論文所設(shè)計(jì)方法與經(jīng)典PID控制方法的系統(tǒng)輸出響應(yīng)，控制器系數(shù)設(shè)置為Kp=0.000?5，Ki=0.75。圖中實(shí)線表示H2/H∞控制方法，點(diǎn)實(shí)線表示PID控制方法。從圖中可以看出，在相同的擾動(dòng)條件下，基于H2/H∞的魯棒控制器具有更好的輸出響應(yīng)特性。論文所設(shè)計(jì)方法的輸出頻率最大超調(diào)量約為0.015?Hz，在大約5?s的時(shí)間內(nèi)就已經(jīng)收斂。而PID控制下的系統(tǒng)頻率波動(dòng)最大為0.05?Hz，穩(wěn)定時(shí)間約為20?s。從圖中可以看出，H2/H∞的控制性能都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于經(jīng)典PID控制。

圖9表示綜合考慮H2范數(shù)性能指標(biāo)和H∞范數(shù)穩(wěn)定性指標(biāo)的混合H2/?H∞控制輸出響應(yīng)，與單獨(dú)考慮H∞范數(shù)穩(wěn)定性指標(biāo)的H∞控制器的輸出響應(yīng)對(duì)比。從圖中可以看出，基于2種性能指標(biāo)的控制器得到的系統(tǒng)輸出響應(yīng)基本相同，混合H2/?H∞控制的輸出響應(yīng)在穩(wěn)定時(shí)間和系統(tǒng)超調(diào)量上優(yōu)于H∞控制，但是其優(yōu)勢(shì)可以忽略不計(jì)，這說明兩者同時(shí)滿足H∞范數(shù)的穩(wěn)定性指標(biāo)，達(dá)到較好的魯棒穩(wěn)定性與魯棒性能。圖9中第3圖表示2種控制器下得到的控制信號(hào)，從圖中可以看出，混合H2/H∞控制的控制信號(hào)幅值明顯小于H∞控制。這說明基于H2和H∞范數(shù)的控制器，可以明顯降低控制信號(hào)的幅值，避免由于控制輸入u太大而達(dá)到飽和值，由于考慮H2范數(shù)的設(shè)計(jì)目標(biāo)，使u的幅值大幅度減小。

假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)分別攝動(dòng)10%、20%和30%，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)如圖10所示。從圖中可以看出，當(dāng)參數(shù)攝動(dòng)10%時(shí)，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)與標(biāo)稱系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變化不大。當(dāng)參數(shù)攝動(dòng)20%時(shí)，其頻率響應(yīng)的超調(diào)量增加了約0.002?Hz，穩(wěn)定時(shí)間延長(zhǎng)了約0.5?s。當(dāng)參數(shù)攝動(dòng)增加到30%時(shí)，系統(tǒng)頻率響應(yīng)超調(diào)量增加了約0.005?Hz，穩(wěn)定時(shí)間延長(zhǎng)到8?s左右，但是其仍然具有較好的穩(wěn)定性能。從原動(dòng)機(jī)的輸出響應(yīng)看，在參數(shù)攝動(dòng)情況下，其動(dòng)態(tài)輸出一直變化不大，保持穩(wěn)定運(yùn)行，而電池的輸出功率變化較大，并且在參數(shù)攝動(dòng)達(dá)到30%時(shí)，在穩(wěn)定過程中仍然具有小范圍的波動(dòng)，這是由于設(shè)計(jì)的低通濾波器將參數(shù)攝動(dòng)時(shí)的產(chǎn)生的功率波動(dòng)通過電池進(jìn)行調(diào)節(jié)，盡可能的保證原動(dòng)機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，減少其變負(fù)荷運(yùn)行有利于提高原動(dòng)機(jī)燃油效率，減少?gòu)U氣排放。

圖11表示由于天氣原因?qū)е碌娘L(fēng)機(jī)發(fā)電機(jī)與光伏發(fā)電輸出功率在±0.01p.u.范圍內(nèi)隨機(jī)變化，在前500?s時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)沒有接入儲(chǔ)能電池，在后500?s時(shí)間內(nèi)接入電池，分別在PID控制與混合H2/H∞控制下，系統(tǒng)頻率響應(yīng)。從圖中看出，在沒有接入電池時(shí)，由于風(fēng)機(jī)發(fā)電機(jī)和光伏發(fā)電輸出功率擾動(dòng)的影響，系統(tǒng)頻率波動(dòng)范圍為±0.02?Hz，而接入電池的系統(tǒng)，在相同擾動(dòng)情況下，其頻率波動(dòng)范圍明顯減小，說明電池儲(chǔ)能的引入，更好的保證系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性能。而從整體看出，系統(tǒng)無論是否引入電池，混合H2/H∞對(duì)擾動(dòng)的抑制能力都明顯優(yōu)于PID控制。實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了論文所提出方法的正確性和合理性。

5?結(jié)?論

本文以多能源發(fā)電的微電網(wǎng)作為研究對(duì)象，研究了在儲(chǔ)能單元參與下的柴油發(fā)電機(jī)組二次調(diào)頻控制。在綜合考慮H2范數(shù)表征的系統(tǒng)性能指標(biāo)和H∞范數(shù)表征的魯棒性能指標(biāo)下，設(shè)計(jì)混合H2/H∞魯棒控制器。采用具有自適應(yīng)性質(zhì)的差分進(jìn)化算法對(duì)控制器的加權(quán)函數(shù)參數(shù)進(jìn)行選取，使控制器在多目標(biāo)約束的條件下達(dá)到最優(yōu)。通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提出方法在滿足系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的基礎(chǔ)上，具有較好的控制輸出性能。下一步將對(duì)模型的非線性特性和控制器降階上做進(jìn)一步研究。

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（編輯：姜其鋒）