基于組合學(xué)的繭絲落緒分拆模擬與分析

黃繼偉， 寧晚娥， 張 鋒， 左保齊

(1. 廣西科技大學(xué) 生物與化學(xué)工程學(xué)院， 廣西 柳州 545006； 2. 蘇州大學(xué) 紡織與服裝工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215006； 3. 現(xiàn)代絲綢國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室(蘇州)， 江蘇 蘇州 215123)

繅絲是將若干蠶繭的繭絲離解并合成一定規(guī)格生絲的加工過(guò)程[1]。在此過(guò)程中，受蠶繭本身的品質(zhì)、繅絲前處理和繅絲工藝技術(shù)等因素的影響，1根完整的繭絲通常被分拆成若干解舒絲段參與并合成生絲[2-4]，且這種繭絲的分拆程度和規(guī)律對(duì)繅絲的產(chǎn)質(zhì)耗存在顯著影響，包括解舒率、解舒絲長(zhǎng)和落緒次數(shù)等能反映繭絲分拆程度的指標(biāo)，在繅絲工藝研究中被廣泛地關(guān)注[5]，而這些指標(biāo)的概率分布及統(tǒng)計(jì)特征作為可揭示繭絲分拆規(guī)律的工具已被深入地研究和報(bào)道[6-8]。其中，白倫等[9-11]將1根連續(xù)的繭絲離散化，假設(shè)繭絲上的落緒只可能發(fā)生在有限的等間距的離散點(diǎn)上，進(jìn)一步地探討了繭絲長(zhǎng)和解舒絲長(zhǎng)的關(guān)系，給出了相關(guān)的概率分布及其統(tǒng)計(jì)特征，并設(shè)計(jì)出了模擬生成解舒絲段的方法。這種方法被廣泛地應(yīng)用于計(jì)算機(jī)模擬繅絲中，成為推動(dòng)計(jì)算機(jī)模擬繅絲及繅絲系統(tǒng)工程研究的重要基礎(chǔ)[12-14]。然而，基于解舒絲長(zhǎng)概率分布模擬生成解舒絲段的方法，并不能直觀地反映繅絲中1根完整繭絲分多段多次參與生絲并合的情況。

本文在繭絲離散化落緒點(diǎn)模型的基礎(chǔ)上，將繭絲上的1個(gè)落緒節(jié)點(diǎn)子集與1種落緒分拆模式對(duì)應(yīng)，并計(jì)算出1根繭絲所有落緒分拆模式的概率，進(jìn)而利用逆變換取樣法對(duì)該繭絲所有落緒分拆模式進(jìn)行隨機(jī)抽樣，實(shí)現(xiàn)了對(duì)1根完整繭絲的落緒分拆模擬，該方法直接將1根完整的繭絲分拆成若干解舒絲段，完整保留了1根繭絲的所有數(shù)據(jù)信息，更加直觀反映繅絲中1根完整繭絲分多段多次參與生絲并合，從而更加直觀和易于理解，以期為計(jì)算機(jī)模擬繅絲提供新的解舒絲段模擬和生成解決方案。

1 繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率

1粒蠶繭是由1根繭絲纏繞而成，若以一定長(zhǎng)度搖取繭絲，可將繭絲在其長(zhǎng)度方向上分成若干等長(zhǎng)的絲段，這些絲段被稱為“纖度絲”，將這些纖度絲依次稱量換算后可得一系列線密度值，稱為繭絲線密度序列[15]。繭絲線密度序列實(shí)質(zhì)上是對(duì)連續(xù)的繭絲在其長(zhǎng)度方向上的離散化，用來(lái)反映繭絲線密度在其長(zhǎng)度方向上的變化情況。總體上，繭絲線密度序列符合“細(xì)-粗-細(xì)，最末處最細(xì)”的變化模式。

關(guān)于繭絲線密度序列的統(tǒng)計(jì)特征，白倫等[16-17]、費(fèi)萬(wàn)春[18]和胡征宇等[19]進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并提出了多種繭絲線密度序列模擬生成方法，這些方法可為計(jì)算機(jī)模擬繅絲提供無(wú)盡的“原料繭絲”數(shù)據(jù)，是計(jì)算機(jī)模擬繅絲系統(tǒng)設(shè)計(jì)的前提和基礎(chǔ)。然而實(shí)際繅絲中，處于繅絲狀態(tài)的繭絲可能發(fā)生斷裂，即產(chǎn)生落緒現(xiàn)象，導(dǎo)致1根完整的繭絲實(shí)質(zhì)上是被分拆成若干絲段參與并合成生絲的。也就是說(shuō)，繭絲線密度序列并不能直接作為計(jì)算機(jī)模擬繅絲的“原料”使用，需要將繭絲線密度序列在長(zhǎng)度方向上分拆成合理長(zhǎng)度的解舒絲段才可使用，這就引出了繭絲線密度序列分拆的問(wèn)題。

以繭絲線密度序列為基礎(chǔ)，建立繭絲落緒節(jié)點(diǎn)落緒率模型是完成繭絲線密度序列分拆的前提，前人對(duì)此已有深入的研究和報(bào)道[19-20]，概括如下。

1)假設(shè)1根繭絲按一定單位長(zhǎng)度(即纖度絲長(zhǎng)度)被分為M個(gè)纖度絲(M可看作是用正整數(shù)表示的繭絲長(zhǎng))，而落緒只可能發(fā)生在纖度絲的端點(diǎn)上，除繭絲首末兩端點(diǎn)外，繭絲上共有M-1個(gè)端點(diǎn)，這些端點(diǎn)被稱為落緒節(jié)點(diǎn)。圖1示出繭絲長(zhǎng)M=16(纖度絲長(zhǎng)為56.25 m，繭絲實(shí)際長(zhǎng)度為56.25 m×16=900 m)的繭絲線密度曲線、落緒節(jié)點(diǎn)及其落緒率。

圖1 繭絲落緒節(jié)點(diǎn)及其落緒率Fig.1 Dropping nodes and probability of bave

2)對(duì)于繭絲上落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率pM，i，用一開(kāi)口向上的二次曲線模型計(jì)算獲得。

pM,i=kMi-a2+b(1≤i≤(M-1))

(1)

式中：a為繭絲上落緒率最小的節(jié)點(diǎn)序號(hào)；b為繭絲上最小的落緒率(如圖1所示)；kM為模型系數(shù)。

3)記繭絲上落緒節(jié)點(diǎn)的平均落緒率為β，即：

(2)

由式(2)可求得：

(3)

β與莊口繭絲的解舒率有關(guān)。若1個(gè)蠶繭莊口的解舒率為J，莊口平均粒繭落緒次數(shù)為ZM，則

(4)

圖2為解舒率J分別是10%、30%、50%、70%、90%時(shí)的落緒節(jié)點(diǎn)落緒率曲線圖。

圖2 不同解舒率的繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率曲線圖Fig.2 Dropping probability of bave dropping nodes with different reelability percent parameters

4)設(shè)存在一個(gè)值C=b/β,則C被稱為落緒均一度，用以表征蠶繭的煮熟程度，蠶繭煮熟程度越好，C值越接近1，各節(jié)點(diǎn)落緒率越趨于均等。

圖3示出C值分別是0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.0時(shí)的落緒節(jié)點(diǎn)落緒率曲線。

圖3 不同落緒均一度值的繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率曲線圖Fig.3 Dropping probability of bave dropping nodes with different dropping uniformity parameters

5)設(shè)繭絲最小落緒率的位置a與M的比值為ρ=a/M。則ρ可用來(lái)表征繭絲落緒部位分布的類型，根據(jù)文獻(xiàn)[20]，將繭絲落緒部位分布類型分為3種，分別定義如下：

① 0≤ρ<0.4，落緒部位分布為J型。

② 0.4≤ρ<0.6，落緒部位分布為U型。

③ 0.6≤ρ≤1，落緒部位分布為L(zhǎng)型。

圖4示出ρ分別是0.187 5，0.375 0，0.562 5，0.750 0，0.937 5時(shí)的落緒節(jié)點(diǎn)落緒率曲線。

圖4 不同落緒部位參數(shù)的繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率曲線圖Fig.4 Dropping probability of bave dropping nodes with different dropping position parameters

根據(jù)前述假設(shè)，式(1)、(3)可變換為

pM,i=kM(i-ρM)2+Cβ

(5)

(6)

6)若繭絲上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的落緒率為pM,i，則該節(jié)點(diǎn)上不落緒的概率為

qM,i=1-pM,i

(7)

2 繭絲落緒分拆模型及模擬實(shí)現(xiàn)

2.1 基于組合學(xué)的繭絲落緒分拆模型

假設(shè)有一個(gè)繭絲線密度序列，其長(zhǎng)度為M，則其落緒節(jié)點(diǎn)數(shù)為M-1。將這些落緒節(jié)點(diǎn)依次編號(hào)，可得到一個(gè)落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)列表1,2,…,i,…,M-1。該列表可被看作是一個(gè)元素不重復(fù)的順序排列的集合[22]。從該集合中任取一子集，則該子集的所包含的序號(hào)可表示繭絲在繅絲時(shí)出現(xiàn)落緒的斷點(diǎn)。例如：子集{t,k}可表示繅絲時(shí)繭絲分別在落緒節(jié)點(diǎn)t和k處發(fā)生了落緒，其他落緒節(jié)點(diǎn)均未發(fā)生落緒。這里，將落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)列表集合的一個(gè)子集所對(duì)應(yīng)的落緒分拆情況稱為一種落緒分拆模式。

根據(jù)前述的繭絲落緒節(jié)點(diǎn)落緒率模型，每個(gè)落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)均有一個(gè)落緒率與之對(duì)應(yīng)，即一種落緒模式產(chǎn)生的概率是被唯一確定的。例如：子集{t,k}所表示的事件概率為

(8)

這里將落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)列表1,2,…,i,…,M-1所形成的集合，稱為母集。若計(jì)算其所有子集所對(duì)應(yīng)的落緒模式發(fā)生概率，可知道其和為1。即1根繭絲上所有可能的落緒模式的概率和為1。這里用一些特例和簡(jiǎn)單情況為例進(jìn)行說(shuō)明，見(jiàn)表1所示。

表1 繭絲落緒分拆的簡(jiǎn)單實(shí)例Tab.1 Some simple examples of bave dropping partition

由表1可知，只要知道發(fā)生落緒的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的序號(hào)，即可求出這種分拆模式所對(duì)應(yīng)的分拆概率，而所有分拆模式的概率和為1。

對(duì)于某繭絲長(zhǎng)M，其落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)列表1,2,…,i,…,M-1是確定的，該列表的所有子集也是確定的，因此，可以求出繭絲長(zhǎng)為M時(shí)的所有的落緒模式以及每種落緒模式所對(duì)應(yīng)的概率。根據(jù)這個(gè)概率分布，利用逆變換的方法[23]進(jìn)行隨機(jī)取樣即可生成一種落緒模式，完成繭絲的分拆。

2.2 繭絲落緒分拆模擬系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)步驟

1)生成繭絲線密度序列，獲取繭絲線密度序列的長(zhǎng)度值M和序列中線密度值最小位置的索引序號(hào)a(根據(jù)二次函數(shù)落緒率模型的假設(shè)，該位置即為繭絲上落緒率最小的節(jié)點(diǎn))，計(jì)算線密度最小位置的索引序號(hào)a與線密度序列長(zhǎng)度M的比值ρ。對(duì)于繭絲線密度序列的生成，可根據(jù)需要，選擇階梯式自回歸模型[16]、二次曲線解析模型[17]、時(shí)變參數(shù)自回歸模型[18]或擬合模型[19]進(jìn)行模擬生成。

2)設(shè)置莊口解舒率J，繭絲落緒均一度參數(shù)C，根據(jù)繭絲落緒率模型，計(jì)算模型系數(shù)、所有繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率和繭絲落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)列表。

3)以繭絲落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)列表為母集，計(jì)算產(chǎn)生其所有子集，根據(jù)繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率，計(jì)算每個(gè)子集所對(duì)應(yīng)的落緒分拆模式的概率，基于此，構(gòu)建出以落緒分拆模式為枚舉型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)。

4)基于繭絲所有落緒分拆模式及其概率值，利用逆變換的方法[24]，隨機(jī)生成一種落緒分拆模式，完成繭絲線密度序列的分拆。

5)若只針對(duì)1根繭絲進(jìn)行重復(fù)分拆，只需利用逆變換的方法反復(fù)對(duì)所有落緒分拆模式進(jìn)行抽樣即可。若需要針對(duì)1組繭絲進(jìn)行分拆，則需要對(duì)該組繭絲中的每根繭絲重復(fù)步驟1)～4)。

3 繭絲落緒分拆模擬與統(tǒng)計(jì)分析

3.1 1根繭絲所有落緒模式的統(tǒng)計(jì)分析

以繭絲長(zhǎng)M=16為例，分別設(shè)置不同的解舒率J，落緒均一度C和落緒部位參數(shù)ρ等參數(shù)，對(duì)于每種參數(shù)配置情況，首先計(jì)算產(chǎn)生其所有落緒分拆模式(即生成一個(gè)繭絲落緒節(jié)點(diǎn)集合的子集)及每種落緒分拆模式的概率，然后統(tǒng)計(jì)解舒絲長(zhǎng)(一段連續(xù)未發(fā)生落緒的繭絲個(gè)數(shù))和落緒次數(shù)的分布情況。

圖5示出C=0.8，ρ=0.1875，分別設(shè)置莊口解舒率J為10%、30%、50%、70%、90%的統(tǒng)計(jì)情況。

圖5 不同解舒率參數(shù)時(shí)所有落緒模式的落緒次數(shù)和解舒絲長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)情況Fig.5 Statistical overview of dropping times (a) and reelability length (b) of all dropping patterns at bave node dropping probabilities with different reelability percent parameter

由圖5可知，隨著莊口解舒率J的增加，繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率逐漸變小，這是落緒率模型所決定的。同時(shí)，隨著莊口解舒率J的增加，最大概率的落緒次數(shù)逐漸向0次偏移，即解舒率越大，繭絲發(fā)生落緒的次數(shù)越少，這也是與事實(shí)相符合的。進(jìn)一步地，隨著莊口解舒率J的增加，解舒絲長(zhǎng)越長(zhǎng)，這與落緒次數(shù)的結(jié)論可形成相互印證。

圖6示出J=70%，ρ=0.187 5，分別設(shè)置落緒均一度C值為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.0時(shí)的統(tǒng)計(jì)情況。

圖6 不同落緒均一度參數(shù)時(shí)所有落緒模式的落緒次數(shù)和解舒絲長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)情況Fig.6 Statistical overview of dropping times (a) and reelability length (b) of all dropping patterns at bave node dropping probabilities with different dropping uniformity parameters

由圖6可知，隨著落緒均一度C值的增加，繭絲落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率逐漸趨于均等，當(dāng)C=1.0時(shí)，所有節(jié)點(diǎn)的落緒率完全一致。同時(shí)，隨著落緒均一度C值的增大，在落緒次數(shù)幾乎不發(fā)生變化，這與落緒次數(shù)受解舒率J所決定的事實(shí)相符合。進(jìn)一步地，隨著落緒均一度C值的增大，在解舒絲長(zhǎng)的概率趨勢(shì)從內(nèi)凹逐漸變?yōu)槠街薄?/p>

圖7示出當(dāng)J=70%，C=0.8時(shí)，分別設(shè)置落緒部位ρ為0.187 5、0.375 0、0.562 5、0.750 0、0.937 5時(shí)的統(tǒng)計(jì)情況。

圖7 不同落緒部位參數(shù)時(shí)所有落緒模式的落緒次數(shù)和解舒絲長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)情況Fig.7 Statistical overview of dropping times (a) and reelability length (b) of all dropping patterns at bave node dropping probabilities with different dropping position parameters

由圖7可知，隨著落緒部位ρ的增加，最大落緒率位置逐漸向大序號(hào)的落緒節(jié)點(diǎn)移動(dòng)，這是由落緒率模型所決定的。落緒次數(shù)與不同落緒均一度C值時(shí)的情況相同，并未發(fā)生太大的變化。隨著落緒部位ρ的增大，解舒絲長(zhǎng)的概率趨勢(shì)的凹度先增大再減小。

關(guān)于解舒絲長(zhǎng)的分布，白倫等[11]基于有序分拆模型，推導(dǎo)出解舒絲長(zhǎng)與繭絲長(zhǎng)的關(guān)系式，見(jiàn)式(10)～(12)。通過(guò)計(jì)算對(duì)比，其與本文方法所得結(jié)果基本一致。

(10)

(11)

(12)

3.2 對(duì)1根繭絲進(jìn)行反復(fù)落緒分拆的模擬

為驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，在此以繭絲長(zhǎng)16為例，對(duì)其進(jìn)行反復(fù)的落緒分拆模擬，模擬計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)述如下。

1)設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，包括解舒率J、落緒均一度C和落緒部位ρ。

2)對(duì)繭絲長(zhǎng)為16的繭絲，根據(jù)所設(shè)置的系統(tǒng)參數(shù)和繭絲落緒節(jié)點(diǎn)落緒率模型，計(jì)算繭絲上所有落緒節(jié)點(diǎn)的落緒率。

3)以繭絲落緒節(jié)點(diǎn)序號(hào)為母集，生成其所有子集，并計(jì)算所有子集對(duì)應(yīng)的落緒模式及其概率。

4)根據(jù)所計(jì)算的所有子集對(duì)應(yīng)的落緒模式及其概率，運(yùn)用逆變換法進(jìn)行隨機(jī)抽樣，最后，統(tǒng)計(jì)該抽樣的落緒次數(shù)和解舒絲長(zhǎng)分布情況。

圖8示出當(dāng)解舒率J=10%、30%、50%、70%、90%，落緒均一度C=0.8，落緒部位ρ=0.187 5，抽樣100萬(wàn)次時(shí)，落緒次數(shù)和解舒絲長(zhǎng)的分布情況。

圖8 繭絲長(zhǎng)為一定值時(shí)的隨機(jī)分拆模擬結(jié)果Fig.8 Result of random partition simulation at fixed length of bave. (a) Number of bave dropping times; (b) Non-broken filament length

由圖8可知，繭絲長(zhǎng)一定時(shí)，通過(guò)變換解舒率參數(shù)J獲得的落緒次數(shù)及解舒絲長(zhǎng)的分布完全模擬出了該繭絲的所有落緒模式時(shí)的情況，通過(guò)改變落緒均一度C，落緒部位參數(shù)ρ，同樣可獲得與該繭絲長(zhǎng)時(shí)的所有落緒模式的相似情況，在此不再贅述。這個(gè)結(jié)果說(shuō)明模擬系統(tǒng)是穩(wěn)定的，模擬方法是可行的。

3.3 繭絲長(zhǎng)為正態(tài)分布時(shí)的落緒分拆模擬

對(duì)于同一莊口的蠶繭，其繭絲長(zhǎng)符合正態(tài)分布，現(xiàn)對(duì)此事實(shí)情況進(jìn)行模擬，并分析落緒次數(shù)和解舒絲長(zhǎng)的分布情況，過(guò)程如下。

1)設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，包括解舒率J、落緒均一度C和落緒部位ρ。

2)設(shè)置繭絲長(zhǎng)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差參數(shù)，生成一組符合正態(tài)分布的繭絲長(zhǎng)數(shù)據(jù)。

3)對(duì)于每個(gè)繭絲長(zhǎng)數(shù)據(jù)，參照3.2節(jié)所述的步驟，隨機(jī)抽樣1次，并保存結(jié)果。

圖9示出當(dāng)繭絲長(zhǎng)符合均值為16，標(biāo)準(zhǔn)差為3時(shí)的正態(tài)分布，解舒率J=70%，落緒均一度C=0.5，落緒部位ρ=0.187 5時(shí)，隨機(jī)生成20 000根繭絲的分拆統(tǒng)計(jì)情況。

圖9 繭絲長(zhǎng)為正態(tài)分布時(shí)的隨機(jī)分拆模擬結(jié)果Fig.9 Result of random partition simulation at normal distributed length of bave. (a) Number of bave dropping times;(b) Non-broken filament length

由圖9所示的結(jié)果與白倫等[25]推導(dǎo)出的解舒絲長(zhǎng)分布一致，這說(shuō)明該繭絲落緒分拆模型與解舒絲段模擬生成方法是正確的。其完全適用于計(jì)算機(jī)模擬繅絲和實(shí)際制絲工程中原料繭性質(zhì)與繅絲指標(biāo)之間的關(guān)系研究。

4 結(jié) 論

本文在離散化繭絲落緒點(diǎn)模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用組合學(xué)理論，通過(guò)將落緒節(jié)點(diǎn)集合的子集與落緒模式對(duì)應(yīng)，使繭絲分拆轉(zhuǎn)化為獲取落緒節(jié)點(diǎn)集合的子集，并利用離散隨機(jī)變量分布的逆變換取樣法，完成繭絲分拆的隨機(jī)取樣，實(shí)現(xiàn)繭絲的分拆。通過(guò)對(duì)1根繭絲所有落緒模式的統(tǒng)計(jì)分析、1根繭絲進(jìn)行多次落緒分拆的模擬和繭絲長(zhǎng)為正態(tài)分布時(shí)的繭絲落緒分拆模擬，確認(rèn)該模型及方法符合繅絲過(guò)程的實(shí)際情況，且與前人的研究結(jié)果基本一致。而模型所提出的將1根完整繭絲一次性分拆的思路也更符合繅絲中1根完整繭絲分多段多次參與生絲并合的實(shí)際情況。

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