含脈沖作用下連續(xù)切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定

景 麗, 關(guān)勝楠

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

自20世紀(jì)60年代以來(lái),現(xiàn)代控制理論已經(jīng)在工業(yè)生產(chǎn)、軍事科學(xué)以及航空航天等許多方面都取得了成功的應(yīng)用。在1966年,文獻(xiàn)[1]中首次提出了混雜狀態(tài)連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng),從此混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)成為了控制領(lǐng)域中的研究課題之一[2]。

近年來(lái),從控制理論到控制工程對(duì)切換系統(tǒng)研究的興趣不斷提高。切換系統(tǒng)由一系列的連續(xù)子系統(tǒng)或離散子系統(tǒng)及作用在各個(gè)子系統(tǒng)之間的切換規(guī)則組成。切換系統(tǒng)有著廣泛的實(shí)際背景,在各種控制系統(tǒng)中均有切換的存在,比較常見(jiàn)的有自動(dòng)擋機(jī)動(dòng)車控制系統(tǒng)、交通智能控制系統(tǒng)、大電網(wǎng)控制系統(tǒng)、火箭發(fā)射系統(tǒng)等[3]。

目前切換系統(tǒng)的成果很多,在穩(wěn)定性方面主要考慮漸近穩(wěn)定性。所謂漸進(jìn)穩(wěn)定是指在時(shí)間無(wú)窮的范圍內(nèi)從任意狀態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)都漸進(jìn)收斂于原點(diǎn)。更需要研究系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)行為,即有限時(shí)間穩(wěn)定。也就是指:在某一給定的時(shí)間間隔內(nèi),對(duì)于給定的系統(tǒng)初始狀態(tài),其狀態(tài)軌跡始終保持某一給定的范圍內(nèi)。線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的分析主要應(yīng)用統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)、分段Lyapunov函數(shù)等方法進(jìn)行。相關(guān)研究顯示,如果線性切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定,則子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣可以互換,整個(gè)線性切換系統(tǒng)都是漸進(jìn)穩(wěn)定的。有限時(shí)間穩(wěn)定比漸近穩(wěn)定的研究更有優(yōu)越性。

總的來(lái)說(shuō),目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)切換系統(tǒng)圍繞切換系統(tǒng)的建模、分析與控制3方面做了不同程度的較有意義的研究,其中切換系統(tǒng)各種穩(wěn)定性分析與魯棒控制是研究較多的問(wèn)題之一。通過(guò)國(guó)內(nèi)外學(xué)者做出的大量研究,基本形成一個(gè)初步的理論研究框架,但存在很多復(fù)雜問(wèn)題尚待解決,比如目前對(duì)于切換線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的研究成果比較豐富,但切換非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的研究依然比較少,尤其時(shí)滯切換非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的研究成果就更少了。

在實(shí)際應(yīng)用中,脈沖作用是不可避免的,這無(wú)疑惡化了系統(tǒng)的性能,甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。對(duì)于脈沖系統(tǒng)的研究早在20世紀(jì)60年代V.D.Milinam和A.D.Myshkis就已經(jīng)做過(guò)一些工作,之后又有學(xué)者們運(yùn)用Lyapunov函數(shù)方法對(duì)脈沖系統(tǒng)進(jìn)行了研究[4]。在外部脈沖的影響下,如何保證切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性并給出判定條件成為現(xiàn)有文獻(xiàn)的重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容。

脈沖系統(tǒng)和切換系統(tǒng)則因在諸如通訊網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)、機(jī)器人行走控制系統(tǒng)以及采樣數(shù)字控制系統(tǒng)等中的廣泛應(yīng)用而得到大量關(guān)注。脈沖系統(tǒng)是指系統(tǒng)的狀態(tài)瞬時(shí)發(fā)生變化,這種變化通常用狀態(tài)跳躍來(lái)描述。典型的脈沖系統(tǒng)如:昆蟲數(shù)量控制系統(tǒng)、化學(xué)作用系統(tǒng)、金融系統(tǒng)等。在電力系統(tǒng)等實(shí)際系統(tǒng)中,脈沖跳變和切換機(jī)制又時(shí)常同時(shí)存在[5]。關(guān)于非連續(xù)脈沖隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定問(wèn)題在文獻(xiàn)[6]中被提出;文獻(xiàn)[7]分析了不確定脈沖隨機(jī)系統(tǒng)的采樣魯棒H∞濾波的問(wèn)題。實(shí)際中還有這樣的系統(tǒng),當(dāng)某些狀態(tài)發(fā)生瞬時(shí)跳躍時(shí),系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)也隨之發(fā)生變化,如生命醫(yī)學(xué)中研究如何有效控制某些傳染病的流行,比較有效的方法是,在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給某些病人注射疫苗,以達(dá)到最佳控制效果,不同的接種率可能導(dǎo)致不同的控制結(jié)果。顯然接種率是一個(gè)脈沖量。這樣的系統(tǒng)稱為切換的脈沖系統(tǒng)或具有脈沖作用的切換系統(tǒng)。在過(guò)去的十幾年中,脈沖系統(tǒng)的發(fā)展極大地吸引了國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的研究興趣[8]。

然而,具有狀態(tài)跳變的切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定的相關(guān)研究較少。例如文獻(xiàn)[9]中給出了線性脈沖切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,并且利用Laypunov直接法來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)能使脈沖切換系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的一個(gè)線性切換反饋控制器和一個(gè)脈沖反饋控制器。文獻(xiàn)[10]中對(duì)脈沖切換系統(tǒng)的能控性和能觀性做出了研究,文獻(xiàn)[11]研究了脈沖切換系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題,以及帶時(shí)滯的脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究。因此,探討具有脈沖作用的切換系統(tǒng)(連續(xù)切換系統(tǒng)、離散切換系統(tǒng))的有限時(shí)間穩(wěn)定就顯得十分重要[12]。

本文主要分析含脈沖作用下連續(xù)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性,應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論,并運(yùn)用MATLAB線性矩陣不等式等進(jìn)行研究。

1 預(yù)備知識(shí)

給定一連續(xù)時(shí)間脈沖切換系統(tǒng)

定義1(切換系統(tǒng)的切換信號(hào)定義)[13]

對(duì)于任意給定的初始時(shí)間τ0及初始值x0,x0=x(τ0),與切換信號(hào)σ對(duì)應(yīng)的切換序列:

s=x0(i0,τ0)(i1,τ1)(i2,τ2)…(ik,τk)…

定義2(連續(xù)切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定)

給定3個(gè)常數(shù)c1,c2,Tf(c10),一個(gè)正定矩陣R,一個(gè)切換信號(hào)σ(t)。若xT(0)Rx(0)≤c1?xT(t)Rx(t)≤c2,?t∈[0,Tf),則稱系統(tǒng)關(guān)于(c1,c2,Tf,R,σ)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

引理1 給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E,其中Y是對(duì)稱的,則Y+DFE+ETFTDT<0,對(duì)所有滿足FTF≤I的矩陣F成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε>0,使得Y+εDDT+ε-1ETE<0[14]。

引理2 對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱σ(t)矩陣A,都存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T,使TTAT=T-1AT成對(duì)角形。

2 主要結(jié)果

成立,那么系統(tǒng)是關(guān)于(c1,c2,Tf,R,σ)在脈沖作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中,Ei為脈沖矩陣,發(fā)生于子系統(tǒng)切換時(shí)刻。另外,

證明 選擇如下形式的Lyapunov函數(shù)

F(t)沿著切換系統(tǒng)的軌跡對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),得

將上式在[tk,t]上進(jìn)行積分得

V(x(t))=Vσ(tk)(x(t))

系統(tǒng)在切換時(shí)刻脈沖作用產(chǎn)生,當(dāng)時(shí)刻t=tk時(shí)有

其中

(4)

(5)

由引理2,可得

則式(5)可寫為

則有

(6)

其中

重復(fù)上述過(guò)程,可以推出

當(dāng)t=tk-1時(shí),

當(dāng)t=tk時(shí),

因?yàn)閂(x(t))

所以

又因?yàn)?/p>

重復(fù)上述過(guò)程,可以推出

V(x(t))<(b′)k+1eα(t-t0)V(x(t0))=(b′)k+1eαTfV(x(t0))

(7)

可得Pi≥λ1I,Pi≤λ2I。從而有

結(jié)合式(7)～式(9)及xT(0)Rx(0)≤c1,可得

證畢。

3 數(shù)值仿真

考慮連續(xù)時(shí)間切換系統(tǒng),其參數(shù)為

仿真參數(shù)選擇如下:

c1=0.1,c2=10,Tf=50,α=0.01,ε=0.1

由定理可求出系統(tǒng)切換的平均駐留時(shí)間τa=41.975 5 s。設(shè)初始條件為(x1,x2)=(0.2,0.1),應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行仿真,得到切換系統(tǒng)的相軌跡(圖1)及切換系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定(圖2),由2圖可以看出相應(yīng)的系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

圖1 切換系統(tǒng)的相軌跡Fig.1 Phase trajectories of switched systems

圖2 切換系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定Fig.2 Finite time stabilization of switched systems

4 結(jié) 論

本文研究了在含脈沖作用下連續(xù)時(shí)間切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性的問(wèn)題[16],利用構(gòu)造V函數(shù)和平均駐留時(shí)間方法得到了在脈沖影響下,系統(tǒng)仍是有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。以本文的方法為基礎(chǔ),可以研究含脈沖作用離散時(shí)間切換系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的問(wèn)題。