重力姿軌耦合效應引起的太陽能電站軌道共振

劉玉亮，鄔樹楠，張開明，吳志剛

1. 大連理工大學 航空航天學院，大連 116024 2. 大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024

空間太陽能電站(Space Solar Power Station, SSPS)的概念是由美國科學家Peter Glaser博士于1968年提出[1]。其工作原理可概述為：通過放置在地球軌道上的超大型太陽能電池陣列收集太陽能，并將其轉(zhuǎn)換成微波傳輸?shù)降孛?，之后再將微波轉(zhuǎn)換成電能供用戶使用。相比于地面太陽能發(fā)電系統(tǒng)，SSPS具有發(fā)電效率高，不受晝夜和天氣的影響等優(yōu)點[2]。

與傳統(tǒng)衛(wèi)星相比，SSPS具有超大型的結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)尺寸常達至千米甚至幾十千米的量級[2-6]，這個特點使得重力姿軌耦合效應對其軌道運動和姿態(tài)運動帶來的影響將不能再忽略不計。實際上，衛(wèi)星在軌運行過程中的軌道運動和姿態(tài)運動是通過重力梯度弱耦合在一起的；這種耦合效應的大小與衛(wèi)星的質(zhì)量分布，特征尺寸及其指向有關(guān)[7]。傳統(tǒng)衛(wèi)星因具有較小的結(jié)構(gòu)尺寸，在關(guān)于其軌道運動和姿態(tài)運動的研究中常忽略它們之間的重力姿軌耦合效應。這種做法也應用在一些關(guān)于SSPS軌道運動和姿態(tài)運動的研究中[8-13]。但對于SSPS這種具有超大型結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星而言，應當重新分析重力姿軌耦合效應帶來的影響。

目前，在關(guān)于SSPS在軌運行中重力姿軌耦合效應的研究中，國內(nèi)外的學者已取得了一些初步的成果?；贖amilton體系，鄧子辰[14]，文奮強[15]，魏乙[16]等建立起了不同構(gòu)型SSPS在軌運行過程中的重力姿-軌-結(jié)構(gòu)振動耦合動力學方程，并通過數(shù)值仿真結(jié)果分析了其在軌動力學特性，但上述工作并沒有研究重力姿-軌-結(jié)構(gòu)振動耦合效應對其軌道，姿態(tài)，及其結(jié)構(gòu)振動帶來的影響。通過對耦合動力學方程進行線性化處理，Ishimura和Higuchi[17]研究了一種繩系SSPS在軌運行過程中軌道，姿態(tài)和結(jié)構(gòu)振動之間的重力耦合動力學特性；研究結(jié)果表明該耦合作用對其軌道運動影響較小，可忽略不計。此外，通過借鑒天體力學領(lǐng)域中的一些方法和成果[18-19]，一些學者采用了相似的方法對SSPS在軌運行過程中的重力姿-軌-結(jié)構(gòu)耦合動力學特性進行了分析[20-22]。其研究思路可大致概括為：首先將SSPS的結(jié)構(gòu)簡化成板或者梁的形式；之后將其受到的重力，重力梯度力矩和結(jié)構(gòu)振動受到的廣義重力進行級數(shù)展開，保留至有限項，進而得到一組具有較高計算精度但同時具有強非線性特性的動力學方程；最后通過數(shù)值仿真結(jié)果來評估重力姿軌耦合效應對其姿態(tài)運動，軌道運動和結(jié)構(gòu)振動帶來的影響。

然而，上述關(guān)于SSPS重力姿軌耦合效應的研究中，大都是僅僅通過數(shù)值仿真的方法進行研究[7,14-16,18-22]，并沒有從動力學方程上揭示其內(nèi)部的耦合機理。此外，由于上述研究中所建立動力學方程強非線性的特點，其所獲得的仿真結(jié)果也往往具有隨機性。其主要原因為：對于強非線性方程，其數(shù)值仿真結(jié)果常常與方程中變量的初值有關(guān)，而在上述研究中變量初值的選取是隨意的。因此，為了更好地了解SSPS在軌運行過程中重力姿軌耦合效應帶來的影響，有必要從解析的角度對其耦合動力學方程進行分析。先前一些學者的工作為可我們的研究提供參考[23-25]。

本文將重點研究任意相控陣天線式[6]SSPS在地球引力場中的重力姿軌耦合問題，并采用解析法與數(shù)值仿真相結(jié)合的方法對其耦合動力學特性進行研究。本文大致脈絡如下：首先，通過Hamilton原理推導出SSPS的重力姿軌耦合動力學方程；之后，通過解析法對動力學方程進行分析；最后，進行數(shù)值仿真與分析，并給出本文的結(jié)論。

1 太陽能電站動力學方程建立

1.1 坐標系與假設

為了便于描述SSPS在空間中的運動，本小節(jié)將給出一些坐標系和符號的定義。這里忽略結(jié)構(gòu)柔性振動帶來的影響，將任意相控陣天線式SSPS簡化為剛體，且只考慮軌道平面內(nèi)的運動，如圖1所示。Oe和O分別為地球質(zhì)心和SSPS的質(zhì)心。OeXeYe和OXoYo分別為慣性坐標系和軌道坐標系。OXbYbZb為SSPS的固聯(lián)坐標系，其中，OXb、OYb和OZb均為慣性主軸，且共同構(gòu)成右手坐標系。R為O相對于Oe的位置矢量。ρ為SSPS上任一質(zhì)量微元dm相對于其質(zhì)心O的位置矢量。r為dm相對于Oe的位置矢量，且滿足：r=R+ρ。φ為OXb軸相對于OXo軸的轉(zhuǎn)角，同時也是SSPS姿態(tài)運動的俯仰角。θ為位置矢量R相對于OeXe軸的轉(zhuǎn)角。

圖1 SSPS姿態(tài)運動和軌道運動示意圖Fig.1 Schematic of orbital and attitude motions of SSPS

1.2 動力學方程

在本節(jié)中，將通過Hamilton原理推導出SSPS在地球引力場中的重力姿軌耦合動力學方程。

SSPS在軌運行過程中所具有的動能可表示為

(1)

在地球引力場中，質(zhì)量微元dm所具有的引力勢能可表示為

(2a)

(2b)

[(1-3sin2φ)Ixx+(1-3cos2φ)Iyy+Izz]

(3)

將式(1)和式(3)代入到Hamilton原理中：

(4)

可得到SSPS在地球引力場中運動時的重力姿軌耦合動力學方程為

(5a)

(5b)

(5c)

2 動力學特性分析

在本節(jié)中，將采用解析法對式(5a),式(5b)和式(5c)進行處理，進而分析SSPS在軌運行過程中的重力姿軌耦合動力學特性。

R=R0+ΔR

(6a)

(6b)

式中：ΔR和Δn分別為重力姿軌耦合效應作用下，SSPS的軌道半徑和軌道角速度相比于圓形軌道的偏差。

(7a)

(7b)

C1=R0Δn(t0)+2n0ΔR(t0)

(7c)

(7d)

式中：t0為起始時間，在本文中設t0=0。將式(7b) 和式(7d)中的sin 2φ和cos 2φ兩項進行Fourier級數(shù)展開：

(8a)

(8b)

將式(8a)和式(8b)代入式(7b)和式(7d)，可得ΔR和Δn的解析解形式如下所示：當Tφ≠2iπ/n0(i=1,2,3,…)時，其解析解為

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

當Tφ=2kπ/n0(k=1,2,3,…)時，其解析解為

(10a)

(10b)

式中:ΔRp1、Δnp1、ΔRp2和Δnp2均表示方程中的周期變化的項；C2、C3為常數(shù)。

從式(9a)、式(9b)、式(10a)和式(10b)中還可以看出，當C2≠0和C3≠0時，ΔR和Δn中將存在常數(shù)項，這就意味著SSPS的實際軌道半徑和實際軌道角速度將會產(chǎn)生相對于圓形軌道半徑R0和軌道角速度n0的恒定偏差；由于Δn中存在常數(shù)項，SSPS的位置將會產(chǎn)生相對于圓形軌道的線性漂移，即Δθ將會隨著時間線性增加(或減小)。當C3=0時，即滿足條件：

(11)

SSPS的位置漂移將會消失。從式(11)中可以看出，當SSPS的姿態(tài)運動規(guī)律確定時，通過選擇適當?shù)腃1，即Δn(t0)和ΔR(t0)的值，即可消除重力姿軌耦合效應引起的位置漂移。設SSPS的姿態(tài)運動為角速度為n0的恒定轉(zhuǎn)動，φ的初始值為φ0=0 rad，將上述參數(shù)代入式(11)，并設Δn(t0)=0 rad/s(或ΔR(t0)=0 km)，可得

圖2 存在恒定對地指向誤差時線性模型SSPS的軌道動力學行為Fig.2 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by the linear model when there exists a constant earth-pointing error in the pitch angle

(12a)

(12b)

不同軌道初始條件下，ΔR和Δθ隨時間的變化規(guī)律如圖3所示。其中，情況1所對應軌道運動初值為：ΔR(t0)=(2Izz-2.5Ixx+0.5Iyy)/(4mR0)，Δn(t0)=0 rad/s；情況2所對應軌道運動初值為：ΔR(t0)=0 km，Δn(t0)=0 rad/s。從圖3中可以看出，當SSPS的姿態(tài)運動規(guī)律已知時，通過合理地選擇軌道運動的初始條件即可消除重力姿軌耦合效應引起的位置漂移。

圖3 不同軌道初始條件下線性模型 SSPS的軌道動力學行為Fig.3 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by linear model corresponding to different initial conditions of orbital motion

圖4 共振發(fā)生時線性模型SSPS的軌道動力學行為Fig.4 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by linear model when resonance in orbital motion occurs

3 重力梯度穩(wěn)定式空間太陽能電站

為了節(jié)約運行成本，SSPS的主體結(jié)構(gòu)常被設計成重力梯度穩(wěn)定式的[3-4,6]。接下來將討論無外界作用力下，重力梯度穩(wěn)定式SSPS的姿態(tài)和軌道動力學特性。相比于SSPS受到的重力梯度力矩，重力姿軌耦合效應對其姿態(tài)運動產(chǎn)生的干擾為小量[20-22]。設外界作用力矩τ=0，且先忽略重力姿軌耦合效應帶來的影響，其姿態(tài)運動方程為

(13)

式中：kz=(Ixx-Iyy)/Izz。

在本文中僅考慮姿態(tài)運動為擺動的情況，設φ0=0 rad，則式(13)的解為[26]

(14a)

(14b)

(15)

將式(14a)代入sin 2φ和cos 2φ，并進行Fourier級數(shù)展開可得

(16a)

(16b)

式中：k=1,2,3…；從式(16a)和式(16b)可以看出，由于Jocobian橢圓函數(shù)特殊的性質(zhì)[23]，sin 2φ的Fourier級數(shù)中僅含有奇次項諧波分量，而cos 2φ的Fourier級數(shù)中則僅含有偶次項諧波分量。由第2節(jié)的分析可知，由于A0=0，故在此種運動模式下，ΔR和Δn中將不存在隨時間線性增長的項。此外，當Ixx≠Iyy，且滿足條件：Ts=2kπ/n0(k=1,2,3，…)，Ak≠0或Bk≠0時，SSPS的軌道運動將會產(chǎn)生共振。將式(16)與式(15) 進行聯(lián)合可得

(17)

圖5 不同初始姿態(tài)角下K(d)的值Fig.5 Values of K(d)corresponding to different values of initial pitch angles

從式(17)可以看出，當SSPS的初始姿態(tài)條件d和其質(zhì)量分布特性參數(shù)kz滿足一定條件時，其軌道運動將會產(chǎn)生共振。然而，當k取值較大時，共振常不易發(fā)生；其主要原因有3個：① 當k取值較大時，式(16a)和式(16b)所對應的共振分量的幅值很小，幾乎為零；② 對于固定kz，越大的共振周期對應的初始姿態(tài)角φ0越大；由圖5可知，φ0越大，其擺動周期對φ0的變化越敏感，這就意味著由微小的外界擾動(如上述分析中所忽略的重力姿軌耦合效應帶來的擾動)引起的φ0微小變化將會引起擺動周期很大的變化，進而會抑制共振的產(chǎn)生；③ 對于很小的kz，其所對應的重力梯度力矩也會很小(如式(13)所示)。此時，重力姿軌耦合效應產(chǎn)生的干擾力矩將會對其姿態(tài)運動產(chǎn)生較大影響，從而會抑制共振的產(chǎn)生。

從圖6中可以看出，當SSPS的初始姿態(tài)角較小時，其共振情況所對應的kz約為kz=1/3，kz=1/12 及kz=1/27。其原因為：當d取值較小時，即SSPS的姿態(tài)運動為小角度的擺動時，K(d)≈0.5π，將其代入式(17)可得小角度擺動時軌道運動共振所對應的kz為

(18)

由于重力梯度穩(wěn)定的衛(wèi)星常常在平衡位置附近做小角度的擺動，因此在對SSPS的質(zhì)量分布特性參數(shù)kz進行設計的過程中，應當盡量避開式(18) 中所對應的kz的值。

圖6 共振條件下不同kz對應的初始姿態(tài)角φ0Fig.6 Values of initial φ0 corresponding to different values of kz under the resonance condition

圖7 不同kz下線性模型SSPS的軌道動力學行為Fig.7 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by linear model corresponding to different values of kz

4 數(shù)值仿真與分析

為了驗證第2節(jié)和第3節(jié)中分析的正確性，本節(jié)將采用未簡化后的方程組(式(5a)，式(5b)和式(5c))進行仿真，并與第2節(jié)和第3節(jié)的仿真結(jié)果進行對比。當SSPS存在恒定的對地指向誤差時的軌道動力學特性如圖8所示，其中，仿真初值與圖2相同。

從圖8中可以看出，ΔR和Δn的變化規(guī)律與變化范圍均與圖2相同，說明了第2節(jié)中理論分析的正確性。

不同軌道初始條件下，SSPS的軌道動力學特性如圖9所示，其中，仿真條件和初值與圖3相同。從圖9中可以看出，兩種情況下，ΔR和Δn的變化規(guī)律與變化范圍與圖3大致相同，但略有區(qū)別，其微小的差別是由忽略的高階非線性項導致的。

圖8 存在恒定對地指向誤差時非線性 模型SSPS的軌道動力學行為Fig.8 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by the nonlinear model when there exists a constant earth-pointing error in the pitch angle

圖9 不同軌道初始條件下非線性模型 SSPS的軌道動力學行為Fig.9 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model corresponding to different initial conditions of orbital motion

當SSPS的姿態(tài)角φ以0.5n0的恒定姿態(tài)角速度旋轉(zhuǎn)時(即滿足共振條件時)的軌道動力學特性如圖10所示。其中，仿真的初始條件與圖4相同。從圖10中可以看出，ΔR和Δn的變化規(guī)律和變化范圍與圖4差別較大，其主要原因是隨著ΔR的增加，圖4中所忽略的高階非線性項將會改變式(7a)的共振頻率，進而會抑制共振的發(fā)生。相似的分析已在第2節(jié)中進行了說明。

當僅考慮SSPS受到的保守力，且其質(zhì)量分布特性參數(shù)kz取不同的值時，其軌道動力學特性如圖11所示，其姿態(tài)動力學特性如圖12所示。其中，仿真的初始條件與圖7相同。

圖10 共振發(fā)生時非線性模型SSPS的軌道動力學行為Fig.10 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model when resonance in orbital motion occurs

圖11 不同kz下非線性模型SSPS的軌道動力學行為Fig.11 Orbital dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model corresponding to different values of kz

圖12 不同kz下非線性模型SSPS的姿態(tài)動力學行為Fig.12 Attitude dynamic behaviors of SSPS computed by nonlinear model corresponding to different values of kz

從圖11和圖12可以看出，當kz=0.9和kz= 1/12時，ΔR和Δn的變化規(guī)律和變化范圍與圖7相同；其姿態(tài)運動也均為等幅振動，說明了第3節(jié)中分析的正確性。其中，當kz=1/12時未發(fā)生共振的原因為：式(16a)和式(16b)中的共振分量幅值很小，幾乎為零，且此時SSPS受到的重力梯度力矩較小，其姿態(tài)運動周期易受到重力姿軌耦合效應的影響，進而抑制了共振的產(chǎn)生。此外，從圖11和圖12中還可以看出，當kz=1/3時，ΔR和Δn的變化規(guī)律和變化范圍與圖7差別較大，其主要原因為：隨著ΔR的增加，其姿態(tài)運動的周期將會受到軌道運動的影響而產(chǎn)生變化(如式(5c)所示)，進而會抑制共振的發(fā)生。而且從圖12中還可以看出，當kz=1/3時，姿態(tài)運動的振動幅值產(chǎn)生了周期性的變化，其主要原因是由于當僅存在保守力時，重力姿軌耦合效應會引起軌道運動和姿態(tài)運動之間的周期性能量交換。在起始時刻，SSPS姿態(tài)運動擺動周期為共振周期，軌道運動產(chǎn)生共振，能量從姿態(tài)運動向軌道運動進行轉(zhuǎn)移，由于總能量恒定，故姿態(tài)運動能量變小，即振幅減??；隨著ΔR振幅的增加，重力姿軌耦合效應產(chǎn)生的干擾力矩會改變姿態(tài)運動擺動周期，進而軌道運動共振會受到抑制，能量又從軌道運動向姿態(tài)運動進行轉(zhuǎn)移，如此循環(huán)往復。類似的現(xiàn)象也存在于Mohan等[25]的分析中。

5 結(jié) 論

通過采用解析的方法研究了任意相控陣天線式空間太陽能電站在軌運行過程中重力姿軌耦合作用對其姿態(tài)運動和軌道運動的影響，并進行了數(shù)值仿真，研究結(jié)果表明：

1) 當空間太陽能電站的姿態(tài)運動滿足一定規(guī)律時，軌道運動將會產(chǎn)生共振。

2) 重力姿軌耦合效應會引起軌道運動的長期漂移，通過選擇合適的軌道運動初始條件可以消除漂移；而且，當空間太陽能電站存在恒定的對地指向誤差時，重力姿軌耦合效應還會引起軌道運動的發(fā)散。

3) 當空間太陽能電站只受到保守力作用，且kz=(Ixx-Iyy)/Izz=1/3時，其中，Izz為俯仰軸轉(zhuǎn)動慣量，Ixx和Iyy為另外兩軸轉(zhuǎn)動慣量；小角度擺動下，重力姿軌耦合效應將會引起軌道運動產(chǎn)生共振，且姿態(tài)運動的振幅也將產(chǎn)生周期性變化，軌道運動和姿態(tài)運動之間存在周期性的能量交換。