四則運(yùn)算法則在極限運(yùn)算中的應(yīng)用探究

李波 劉乃偉 侯汝臣 王廣富

摘要：文章通過對(duì)極限運(yùn)算過程中經(jīng)常出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)大多都是因?yàn)閷?duì)極限四則運(yùn)算法則條件的忽略或理解不到位所致，通過例題解析分析這些錯(cuò)誤的根源及其與四則運(yùn)算法則條件的關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：極限運(yùn)算;四則運(yùn)算法則;復(fù)合運(yùn)算法則

中圖分類號(hào)：G642.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2019）50-0213-02

一、引言

極限是高等數(shù)學(xué)微積分理論的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)微積分的重要工具，熟練掌握極限的計(jì)算方法和技巧是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)。關(guān)于極限運(yùn)算的法則歸納起來(lái)主要有兩個(gè)：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則，另外還有很多關(guān)于極限計(jì)算的方法，如無(wú)窮小的相關(guān)性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小量代換、迫斂準(zhǔn)則、洛必達(dá)法則、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用等。在這些法則和方法中，四則運(yùn)算法則最簡(jiǎn)單，最容易理解，也最容易被忽視。在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生做極限計(jì)算題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些低級(jí)的錯(cuò)誤或者模棱兩可。比如，極限運(yùn)算中哪一部分函數(shù)可以運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)直接代入值計(jì)算，哪些又不可以;又如，等價(jià)無(wú)窮小量代換時(shí)，什么時(shí)候可以代換，什么情況下不能代換。很多情況下，學(xué)生會(huì)被告知或自己總結(jié)出某種規(guī)律，比如乘除、加減等，以方便計(jì)算極限時(shí)按模式套入應(yīng)用，但這種方法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，總有其本質(zhì)原因。經(jīng)仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的根本是忽略了四則運(yùn)算法則的應(yīng)用條件及其適用范圍。如果我們計(jì)算極限時(shí)更嚴(yán)謹(jǐn)一些，仔細(xì)分析每一步計(jì)算的因果關(guān)系，這些錯(cuò)誤是完全可以避免的，也不用死記硬背一些所謂的模式或套路。

二、四則運(yùn)算法則及其條件分析

首先我們分別給出數(shù)列和函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則。

（一）數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則

對(duì)于應(yīng)用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限，有兩個(gè)前提條件是必須要引起重視的：一是極限的存在性，二是項(xiàng)數(shù)的有限性。也就是說(shuō)，必須事先確保每一部分的極限都存在，這樣才能對(duì)相應(yīng)的數(shù)列或函數(shù)的極限運(yùn)算運(yùn)用四則運(yùn)算法則，而且參與四則運(yùn)算的數(shù)列或函數(shù)必須為有限項(xiàng)。事實(shí)上，從后來(lái)的級(jí)數(shù)理論我們知道，對(duì)于無(wú)窮多項(xiàng)和極限，是否能將極限運(yùn)算與無(wú)窮多項(xiàng)和的運(yùn)算互換要用到函數(shù)的一致收斂性，這一點(diǎn)是非常關(guān)鍵的，不能做簡(jiǎn)單的推廣。

三、例題解析

我們對(duì)一些經(jīng)典的極限運(yùn)算題目進(jìn)行解答分析，在此過程中，可以發(fā)現(xiàn)四則運(yùn)算法則是如何被應(yīng)用的，如果某些重要的前提條件被忽視會(huì)發(fā)生怎樣的錯(cuò)誤。

【解析】本題為數(shù)列的極限計(jì)算題，為n項(xiàng)和的極限，每一項(xiàng)的極限均為0。但需要注意的是，當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列和式的項(xiàng)數(shù)也趨于無(wú)窮大，四則運(yùn)算法則的條件是不適用的。如果錯(cuò)誤的運(yùn)用四則運(yùn)算法則，按如下方法計(jì)算：

結(jié)論顯然就錯(cuò)了。本題正確的做法可以采用夾逼準(zhǔn)則，其正確結(jié)果應(yīng)為1。

本題也是忽略了兩個(gè)函數(shù)商的極限運(yùn)算法則的條件，即分母函數(shù)的極限不能為0。因此，第二步就已經(jīng)錯(cuò)了，不能運(yùn)用法則。正確的方法應(yīng)是運(yùn)用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：無(wú)窮?。ǚ橇悖┑牡箶?shù)是無(wú)窮大，分母的函數(shù)（x-2） 在x→1的過程中為無(wú)窮小量，分子的極限為非零常數(shù)，故極限為無(wú)窮大量。

要弄清這個(gè)問題，我們需要確定兩個(gè)關(guān)鍵條件：一是等價(jià)無(wú)窮小量代換的條件，二是四則運(yùn)算法則應(yīng)用的前提條件。關(guān)于無(wú)窮小量代換，定理中要求是相乘或相除的兩個(gè)無(wú)窮小量可以進(jìn)行代換，或者是對(duì)無(wú)窮小量整體進(jìn)行代換，而此處是減法運(yùn)算，顯然不滿足條件。另外，由于分母極限為零，商的運(yùn)算法則不成立，極限運(yùn)算無(wú)法直接整體作用于sinx和tanx。如果將分母函數(shù)改為極限不為零，假設(shè)為cosx，則可應(yīng)用四則運(yùn)算法則做如下計(jì)算：

能否做等價(jià)無(wú)窮小量代換，關(guān)鍵要看極限運(yùn)算能否直接作用于該函數(shù)，而能否直接作用于該函數(shù)，四則運(yùn)算法則的應(yīng)用條件又是關(guān)鍵。

四、結(jié)語(yǔ)

四則運(yùn)算法則是極限運(yùn)算的一個(gè)重要法則，但由于簡(jiǎn)單易懂，在做極限運(yùn)算題目時(shí)往往被忽略，不被重視，進(jìn)而導(dǎo)致出現(xiàn)很多與之相關(guān)聯(lián)的錯(cuò)誤的發(fā)生。事實(shí)上，絕大多數(shù)的極限計(jì)算題目都會(huì)用到該法則，如果在做題的過程中稍微關(guān)注并考慮下四則運(yùn)算法則的條件是否滿足，對(duì)很多概念的理解和做題過程中出現(xiàn)的模棱兩可的問題就會(huì)變得清晰，錯(cuò)誤也就可以避免了。

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