基于AR(p)型高階模糊時(shí)間序列的磨削顫振預(yù)測方法

許小芬，陳換過，陳 培，許昆明

(浙江理工大學(xué) 浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310018)

磨削顫振是刀具和工件之間強(qiáng)烈作用而激發(fā)的一種振動(dòng)，一般為再生型顫振.磨削顫振會(huì)降低零件加工表面的質(zhì)量，加速刀具磨損，產(chǎn)生過大噪聲，降低加工效率，加速機(jī)床損壞，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致加工的無法持續(xù).對顫振進(jìn)行預(yù)測，了解其變化規(guī)律，有利于及時(shí)采取控制顫振的相應(yīng)措施，消除顫振對機(jī)械加工的不良影響.因此，針對磨削顫振的危害，尋求一種能及時(shí)有效預(yù)測磨削顫振的方法尤為重要.國內(nèi)外許多學(xué)者曾對加工過程中顫振預(yù)測問題做過相關(guān)研究.Bediaga I等采用支持向量機(jī)的方法對高速銑削顫振進(jìn)行了預(yù)測[1]；Gonzalez O等采用小波變換的方法對外圓磨削過程的顫振進(jìn)行了預(yù)測[2]；Yao Z H等利用小波包分解方法構(gòu)造顫振特征量，并用支持向量機(jī)對切削加工中顫振進(jìn)行了預(yù)測[3]；Tansel I N等基于S變換獲取振動(dòng)信號(hào)特征值，采用模糊邏輯方法對車削加工中顫振進(jìn)行了預(yù)測[4]；董新峰等提出一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解復(fù)雜度和鑒別信息，對平面磨削顫振進(jìn)行預(yù)測的方法[5].由于磨削顫振發(fā)生之際會(huì)產(chǎn)生幅值和頻率均隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)，且容易混入其他的干擾信號(hào)，因此上述大部分預(yù)測方法在具體應(yīng)用時(shí)都會(huì)受到一定程度的限制.

基于模糊時(shí)間序列的預(yù)測方法在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用.Chou H L等利用模糊時(shí)間序列預(yù)測模型對某一旅游景點(diǎn)人數(shù)進(jìn)行了預(yù)測[6]；余文利等提出一種基于模糊C均值算法的模糊時(shí)間序列預(yù)測模型，對杭州市的氣溫進(jìn)行了預(yù)測分析[7]；陳剛等針對模糊時(shí)間序列模型存在的論域劃分問題，提出具有可調(diào)參數(shù)的模糊時(shí)間序列論域的非等分劃分方法，來改進(jìn)模糊聚類算法，對Alabama大學(xué)注冊人數(shù)進(jìn)行了預(yù)測[8]；藺玉佩等利用模糊時(shí)間序列模型對股票指數(shù)走勢進(jìn)行了預(yù)測[9].但這些方法大都基于一階模糊時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果不夠理想.在模糊時(shí)間序列的實(shí)際建模過程中，只考慮相鄰兩個(gè)樣本之間的聯(lián)系，但忽略了不相鄰樣本之間可能存在的聯(lián)系，使得預(yù)測結(jié)果不一定理想.本文采用AR(p)型高階模糊時(shí)間序列的預(yù)測方法，考慮前期多個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)情況，提升樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性，使得模型具有更強(qiáng)的預(yù)測性能.將AR(p)型高階模糊時(shí)間序列的預(yù)測方法用于磨削顫振的預(yù)測，無需考慮磨削顫振信號(hào)的非平穩(wěn)和非線性特點(diǎn).首先，對磨削顫振信號(hào)進(jìn)行小波降噪處理，提取降噪后信號(hào)的實(shí)時(shí)方差并將其作為反映顫振狀態(tài)的特征量；然后引用本文方法對實(shí)時(shí)方差所構(gòu)成的時(shí)間序列進(jìn)行訓(xùn)練，選定AR(p)模型的階數(shù)；最后，采取選定的模型進(jìn)行擬合和預(yù)測.

1 AR(p)型高階模糊時(shí)間序列

基于AR(自回歸)變量的模糊時(shí)間序列的一般定義如下：

定義1：對任意一個(gè)固定的Y(t)(t=0,1,2,…)，設(shè)Y(t)?R，即為實(shí)數(shù)域的子集，在Y(t)上定義了一組模糊集fj(t)(j=1,2,…)，且F(t)={f1(t),f2(t),f3(t),…}，則稱F(t)為定義在Y(t)上的模糊時(shí)間序列.

定義2：設(shè)R(t,t-1)為定義在F(t-1)到F(t)的模糊關(guān)系.對于t的任何值，如果R(t,t-1)不隨t的變化而變化，則R(t,t-1)=R(t-1,t-2).此時(shí)F(t)叫作時(shí)不變模糊時(shí)間序列，否則叫作時(shí)變模糊時(shí)間序列.

定義3：若模糊時(shí)間序列F(t)只受F(t-1)的影響，則F(t-1)與F(t)之間的的模糊關(guān)系可表示為：

F(t-1)→F(t)

(1)

即被定義為一階模糊AR(1)時(shí)間序列預(yù)測模型.在該模型中，時(shí)間序列僅由一個(gè)滯后時(shí)間序列決定.

定義4：若F(t)同時(shí)由多個(gè)滯后模糊時(shí)間序列F(t-1),F(t-2),…F(t-p)所確定，則F(t)與F(t-1),F(t-2),…F(t-p)之間的模糊關(guān)系可以表示為：

F(t-1),F(t-2),…F(t-p)→F(t)

(2)

式(2)即為第p階模糊AR(p)時(shí)間序列預(yù)測模型.根據(jù)(2)式可以得出，在AR(p)模型中，時(shí)間序列受1階、2階、…p階滯后時(shí)間序列的影響.

本文針對定義4的預(yù)測模型提出了具體算法.

步驟1:將論域劃分為若干個(gè)模糊區(qū)間.

U為時(shí)間序列x(t)的論域，將論域劃分為b個(gè)子區(qū)間，即U={u1,u2,…ub}.

論域U的數(shù)據(jù)范圍由時(shí)間序列x(t)所決定.根據(jù)合適的區(qū)間長度將U劃分為子區(qū)間ui.其中Xmax和Xmin分別為給定時(shí)間序列x(t)的最大值和最小值，給定兩個(gè)任意值D1和D2，則論域U可表示為如下閉區(qū)間：

U=[Xmin-D1,Xmax+D2]

(3)

步驟2：定義模糊集，計(jì)算隸屬度值.

模糊集是根據(jù)U和ui的時(shí)間序列來定義的，可表示為：

Ai=fAi(u1)/u1+fAi(u2)/u2+…+fAi(uq)/uq,fori=1,2,…,q

(4)

(5)

步驟3：將時(shí)間序列模糊化.

子區(qū)間ui是根據(jù)具體觀測值確定的.最高隸屬度對應(yīng)的子區(qū)間確定了模糊集Ai.該觀測值的模糊值為Ai.

步驟4：確定模糊邏輯關(guān)系，并建立AR(p)模型的模糊邏輯組關(guān)系表.

這一步驟中的模糊邏輯關(guān)系由式(2)定義的AR(p)模型確定.如：對于AR(2)模型中模糊邏輯關(guān)系，有：A2,A3→A3，A2,A3→A3,A2,A3→A5,則其模糊邏輯組關(guān)系就可以表示為A2,A3→A3,A3,A5.

步驟5：對時(shí)間序列進(jìn)行模糊預(yù)測.

若滯后變量為：F(t-p)=Ai,F(t-(p-1))=Ar,…,F(t-1)=As且F(t)=Aj，則3種可能的情形如下：

情形1：若在模糊邏輯組關(guān)系表中存在Ai,Ar,…,As→Aj,Aj，則此時(shí)模糊預(yù)測值為Aj；

情形2：若在模糊組邏輯關(guān)系表中存在Ai,Ar,…,As→Aj,…Aj,Ak,…,Ak,A1,…,A1，且這里有a個(gè)Aj，b個(gè)Ak，c個(gè)A1，則此時(shí)的模糊預(yù)測值為Aj,…,Aj,Ak,…,Ak,A1,…,A1；

情形3：若Ai,Ar,…,As在模糊組邏輯關(guān)系表中并不存在對應(yīng)的模糊規(guī)則，則此時(shí)的模糊預(yù)測值為Ai,Ar,…As.

步驟6：去模糊化預(yù)測.

將集中化方法用于去模糊化.當(dāng)滿足步驟5中情形1且模糊預(yù)測值為Aj時(shí)，去模糊化預(yù)測值為具有最高隸屬度的某個(gè)模糊值A(chǔ)j所對應(yīng)的模糊區(qū)間uj的中間值.對于情形2和情形3，可通過計(jì)算加權(quán)平均數(shù)的方法來計(jì)算去模糊化預(yù)測值，即：

(6)

此時(shí)，具有最高隸屬度的模糊值A(chǔ)j,…,Aj,Ak,…,Ak,A1,…,A1所對應(yīng)的模糊區(qū)間uj,uk,…,u1的中間值分別為mj,mk,…,m1.

2 磨削顫振預(yù)測的流程及實(shí)驗(yàn)方法

基于AR(p)型模糊時(shí)間序列預(yù)測模型的顫振預(yù)測流程如圖1所示.

圖1 顫振預(yù)測的流程

本文采用杭機(jī)股份有限公司KD4020X16型數(shù)控動(dòng)梁龍門導(dǎo)軌磨床進(jìn)行實(shí)驗(yàn).該磨床的主軸轉(zhuǎn)速為0～5 000 r/min，砂輪轉(zhuǎn)速為1 400 r/min，進(jìn)給速度為25 m/min，采用切入式磨削方式.磨削顫振實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要由計(jì)算機(jī)、IEPE(Integral Electronic Piezoelectric)加速度傳感器、CompactDAQ-9178動(dòng)態(tài)信號(hào)采集系統(tǒng)等部分組成.

將8個(gè)IEPE加速度傳感器分別設(shè)置在磨頭、橫梁和立柱上，具體測點(diǎn)位置分布在磨頭的X、Y、Z向和電機(jī)立柱的X、Y、Z向以及橫梁的X、Y向.

在實(shí)驗(yàn)過程中，通過動(dòng)態(tài)信號(hào)采集系統(tǒng)采集8路振動(dòng)加速度信號(hào)，并使用系統(tǒng)內(nèi)的信號(hào)處理軟件對信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理和降噪[10].對比振動(dòng)比較強(qiáng)烈的測點(diǎn)信號(hào)后，選取從磨頭X向測得的磨削顫振信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).采樣頻率為3 200 Hz.

3 磨削顫振特征量的提取

取一個(gè)包含完整顫振發(fā)展過程的振動(dòng)信號(hào)(所取信號(hào)歷時(shí)40 s，其中：0～8.5 s為平穩(wěn)磨削階段；8.5～16 s為顫振過渡階段；16～40 s為磨削顫振階段)，計(jì)算振動(dòng)信號(hào)的實(shí)時(shí)方差.磨削顫振信號(hào)的時(shí)域如圖2所示，磨削顫振信號(hào)的實(shí)時(shí)方差如圖3所示.

圖2 磨削顫振信號(hào)的時(shí)域

圖3 磨削顫振信號(hào)的實(shí)時(shí)方差

由圖3可看出：在平穩(wěn)磨削階段，磨削顫振信號(hào)的實(shí)時(shí)方差較小，且在接近于0的較小值附近變化；在顫振過渡階段，實(shí)時(shí)方差急劇增大；到了磨削顫振階段，實(shí)時(shí)方差在較大值附近平穩(wěn)波動(dòng).顯然，實(shí)時(shí)方差能夠較好地反映磨削狀態(tài)變化，故本文以它作為磨削顫振的特征量.

4 AR(p)型高階模糊時(shí)間序列預(yù)測模型的建立

以一段完整的從磨削平穩(wěn)狀態(tài)到磨削顫振發(fā)生后的時(shí)間序列為元素，求取這段時(shí)間序列對應(yīng)信號(hào)的實(shí)時(shí)方差，構(gòu)成實(shí)時(shí)方差時(shí)間序列{X(t)}，共有128 600個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為訓(xùn)練集，建立AR(p)型高階模糊時(shí)間序列模型.分別取顫振過渡階段磨削顫振信號(hào)實(shí)時(shí)方差時(shí)間序列的128個(gè)和690個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，作為兩組測試集(分別為測試集1和測試集2)，為預(yù)測結(jié)果的驗(yàn)證做準(zhǔn)備.

(1) 在應(yīng)用程序中，用訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，確定模型的參數(shù)，得到一組擬合值.首先，對時(shí)間序列{X(t)}進(jìn)行論域劃分，且每次訓(xùn)練均嘗試不同長度的區(qū)間，從100個(gè)增加到2 000個(gè)，按每次增加50個(gè)模糊區(qū)間的方式進(jìn)行訓(xùn)練；然后，采用三角形隸屬度函數(shù)計(jì)算隸屬度，確定每個(gè)原始數(shù)據(jù)的模糊集，從而，確定相鄰數(shù)據(jù)之間的模糊邏輯關(guān)系(在這一算法步驟中，每次訓(xùn)練都需要嘗試不同階數(shù)的模型，本文采用p=2～5階模型)；最后，根據(jù)算法的模糊規(guī)則，確定原始數(shù)據(jù)的擬合值.根據(jù)這些不同的長度區(qū)間和不同的模型階數(shù)，按照本文提出的算法，重復(fù)步驟1到步驟6的計(jì)算過程，由此得到多組擬合值，并可計(jì)算每組擬合值的均方根誤差(RMSE).在擬合值組別中，具有最小RMSE值的模型被確定為AR(p)型模糊時(shí)間序列的最佳模型.

(2) 在應(yīng)用程序中，根據(jù)本文提出算法的步驟2到步驟4確定模糊邏輯關(guān)系.通過查找由訓(xùn)練過程得到的模糊邏輯關(guān)系表，對測試集進(jìn)行去模糊化預(yù)測.計(jì)算測試集中平均絕對誤差(MAE)、RMSE、平均百分比誤差(MAPE)和決定系數(shù)(R2).通過這4個(gè)指標(biāo)即可確定所提出方法的預(yù)測性能.

從p取值不同和論域劃分方式不同的多種情形，對模型的參數(shù)進(jìn)行反復(fù)調(diào)試，當(dāng)p=2且選取1 000個(gè)模糊區(qū)間時(shí)，模型預(yù)測誤差降到了最小，從而選取p=2且模糊區(qū)間個(gè)數(shù)為1 000的情形，相應(yīng)地，AR(2)模糊時(shí)間序列被確定為預(yù)測模型.

5 預(yù)測結(jié)果及其分析

采用選取的模型，預(yù)測測試集1和測試集2中數(shù)據(jù)，并計(jì)算各誤差指標(biāo)，以檢驗(yàn)所建立預(yù)測模型是否滿足要求.其中，測試集1中真實(shí)值(又稱原始值)取從顫振過渡階段將要結(jié)束到顫振階段約2.7 s內(nèi)的原始方差；測試集2中原始值取顫振過渡階段約2.2 s內(nèi)的原始方差.所得測試集的預(yù)測值與原始值對比如圖4所示.經(jīng)計(jì)算，可得表1所示各誤差指標(biāo)結(jié)果.

圖4 實(shí)時(shí)方差的預(yù)測值與真實(shí)值(即原始值)對比

測試集中數(shù)據(jù)/個(gè)MAEMAPERMSER21280.0 0180.0 1900.0 0240.9 9986900.0 0190.1 1530.0 0640.9 996

由圖4(a)可看出，測試集實(shí)時(shí)方差的原始值和預(yù)測值總體變化趨勢相同，可見預(yù)測效果良好.圖4(a)和(b)曲線均表明，盡管測試集不同,但實(shí)時(shí)方差的預(yù)測值與原始值的總體偏差仍較小.

對于表1中4個(gè)誤差指標(biāo)來說，MAE、MAPE和RMSE的值越小，表明誤差越小，模型效果越好；而R2的值越接近1，表明模型對數(shù)據(jù)擬合越好；越接近0，表明模型對數(shù)據(jù)擬合越差(一般而言，若R2>0.4，則認(rèn)為模型擬合效果好).

在顫振過渡階段，根據(jù)本文提出的預(yù)測模型，在當(dāng)前時(shí)刻前期數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上可預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)時(shí)方差.作為特征量的實(shí)時(shí)方差能很好地反映信號(hào)的變化情況.若實(shí)時(shí)方差在某時(shí)間段逐漸增大到一個(gè)相對平穩(wěn)的較大值，則可以判定顫振發(fā)生，顫振發(fā)展過程已經(jīng)處于顫振階段.

6 結(jié) 論

(1) 根據(jù)磨床磨削過程中信號(hào)的特點(diǎn)，提取實(shí)時(shí)方差作為磨削顫振的特征量.在磨削過程中，實(shí)時(shí)方差隨著磨削狀態(tài)的變化而變化.在平穩(wěn)磨削狀態(tài)下，實(shí)時(shí)方差在一個(gè)接近于0的較小值附近波動(dòng)；在磨削顫振過渡階段，實(shí)時(shí)方差逐漸增大，呈現(xiàn)上升趨勢；在磨削顫振階段，實(shí)時(shí)方差在一個(gè)較大值附近平穩(wěn)波動(dòng).在磨損加工中，可根據(jù)實(shí)時(shí)方差進(jìn)行顫振狀態(tài)的識(shí)別.

(2) 本文提出了一種基于AR(p)型高階模糊時(shí)間序列顫振預(yù)測模型.通過該模型，以完整的顫振發(fā)展過程的信號(hào)特征量時(shí)間序列作為訓(xùn)練集，可得到測試集的預(yù)測值，在保證良好預(yù)測性能的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了較長時(shí)間段的預(yù)測.