衰落信道中（15，7）循環(huán)碼性能分析

劉 洋，李正權(quán)

（江南大學(xué)，江蘇 無(wú)錫 214122）

循環(huán)碼是重要的線性分組碼，在多個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]。循環(huán)碼具有兩個(gè)基本特點(diǎn)：一是編碼電路與譯碼電路非常簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)；二是代數(shù)性質(zhì)好，譯碼方法成熟。循環(huán)碼的編碼和譯碼實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，且檢錯(cuò)、糾錯(cuò)能力強(qiáng)。它不但可以檢測(cè)隨機(jī)的錯(cuò)誤，還可以檢測(cè)突發(fā)的錯(cuò)誤[2]。（n，k）循環(huán)碼可以檢測(cè)長(zhǎng)為n-k或更短的任何突發(fā)錯(cuò)誤，包括首尾相接突發(fā)錯(cuò)誤。

循環(huán)碼又稱格雷碼（Gray Code），是一種無(wú)權(quán)碼，其編排特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)數(shù)碼之間符合卡諾圖中的鄰接條件，即相鄰兩個(gè)數(shù)碼之間只有一位碼元不同，碼元就是組成數(shù)碼的單元。循環(huán)碼的優(yōu)點(diǎn)是沒(méi)有瞬時(shí)錯(cuò)誤，適用于數(shù)字通信系統(tǒng)。本文主要針對(duì)（15，7）循環(huán)碼，研究其編譯碼過(guò)程，并分析其在高斯信道下的編碼性能。

一、循環(huán)碼原理

（一）（15，7）循環(huán)碼生成多項(xiàng)式

循環(huán)碼所有碼字均可由生成多項(xiàng)式生成。（n，k）循環(huán)碼中，生成多項(xiàng)式次數(shù)為n-k，且為xn+1的因子。xn+1除以生成多項(xiàng)式后的多項(xiàng)式稱為校驗(yàn)多項(xiàng)式[3-4]。（15，7）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式為 g（x）=x8+x7+x6+x4+1

（二）（15，7）循環(huán)碼生成矩陣

當(dāng)g（x）升冪排列時(shí)，生成矩陣G為：

對(duì)G進(jìn)行初等變換，即可求得生成矩陣（k行k列的k階單位矩陣）：

（三）（15，7）循環(huán)碼校驗(yàn)矩陣

校驗(yàn)多項(xiàng)式為 h（x）=x7+x6+x4+1。G=[I P]，Q=PT，則校驗(yàn)矩陣為H=[Q I]。

對(duì)H進(jìn)行初等變換，即可求得校驗(yàn)矩陣（r行r列的r階單位矩陣）：

二、循環(huán)碼編碼

針對(duì)（n，k）循環(huán)碼，生成多項(xiàng)式 g（x）和信息碼多項(xiàng)式 m（x），m（x）=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…m1x+m0。用 xn-k乘以 m（x），得到的 xn-km（x）的次數(shù)必定小于n；用g（x）除xn-km（x），得到余式r（x），其次數(shù)小于n-k；將r（x）加到信息位之后作為監(jiān)督位，即將r（x）和 xn-km（x）相加得到碼多項(xiàng)式 c（x）=xn-km（x）+r（x）=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…m1x+m0+rn-k-1xn-k-1+...。 因此，（15，7）系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼步驟包括三步：第一步，將信息碼 m（x）乘以 xn-k變成 xn-km（x）k；第二步，用 xn-km（x）除以 g（x），得商 q（x）和余式 r（x）；第三步，將 xn-km（x）加上余式 r（x），確定碼字多項(xiàng)式 c（x）。（15，7）循環(huán)編碼過(guò)程如圖1所示。

圖1 （15，7）循環(huán)碼編碼過(guò)程流程圖

三、循環(huán)碼譯碼

接收端譯碼有兩個(gè)要求：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。循環(huán)碼的發(fā)送碼字與接收碼字間存在如下關(guān)系式：

式（5）中 C（x）為發(fā)送碼字，R（x）為接收碼字，E（x）為錯(cuò)誤圖樣。當(dāng)E（x）=0時(shí)說(shuō)明接收沒(méi)有錯(cuò)誤，用 g（x）去除 R（x），即除以 C（x），由于 C（x）是g（x）生成的，故 C（x）必能為 g（x）除盡，顯然 R（x）與 E（x）同余式 R（x）≡E（x）mod g（x），以 g（x）除E（x）所得余式稱為伴隨式 S（x）。利用 R（x）、E（x）、S（x）可實(shí)現(xiàn)譯碼和糾錯(cuò)，具體步驟為：第一步，用接收碼字 R（x）除以 g（x），如果除盡則無(wú)錯(cuò)，否則有錯(cuò)；第二步，由余式 S（x）找出對(duì)應(yīng)圖樣 E（x）；第三步，將 E（x）與 R（x）作模 2 加，得發(fā)送碼字C（x），從而實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)目的。系統(tǒng)循環(huán)碼的譯碼方法如圖2所示。

圖2 （15，7）循環(huán)碼譯碼過(guò)程流程圖

四、仿真結(jié)果

本文利用 matlab 軟件[5-6]，實(shí)現(xiàn)（15，7）循環(huán)碼編譯碼。假設(shè)輸入信息碼為0 1 1 1 1 0 0，則編碼前波形如圖3所示。編碼后信息波形如圖4所示。

圖3 編碼前信息波形

圖4 編碼后信息波形

經(jīng)過(guò)高斯信道傳輸后的波形如圖5所示信噪比假設(shè)為10dB）。

由圖5可知，即使在信噪比較好的條件下，經(jīng)過(guò)信道傳輸，信息波形還會(huì)有一定程度失真，此時(shí)需要循環(huán)碼對(duì)信息進(jìn)行譯碼并對(duì)其糾錯(cuò)、檢錯(cuò)。

圖5 信道傳輸后信息波形

圖6 譯碼后信息波形

由圖6可知，雖然傳輸信道造成信息波形在一定程度上失真，但經(jīng)過(guò)循環(huán)碼譯碼糾錯(cuò)后，能夠恢復(fù)出原信息波形。在此基礎(chǔ)上，本文研究（15，7）循環(huán)碼在不同衰落信道中的性能。首先研究（15，7）循環(huán)碼在高斯信道下的性能，如圖7所示。

由圖7可見(jiàn)，循環(huán)碼在信噪比較好（6dB以上）時(shí)的高斯信道下，能帶來(lái)一定的性能增益。但在信噪比較低時(shí)的高斯信道環(huán)境中，由于糾、檢錯(cuò)能力的限制，循環(huán)碼性能增益減小。

其次，本文進(jìn)一步研究（15，7）循環(huán)碼在瑞利衰落信道中的性能，如圖8所示。比較圖7與圖8可以發(fā)現(xiàn)，信道的衰落會(huì)造成傳輸系統(tǒng)的性能顯著下降，而循環(huán)碼一定程度上可以抑制信道的衰落。

圖7 不同信噪比的高斯信道中循環(huán)碼性能

圖8 不同信噪比的瑞利信道中循環(huán)碼性能

最后，本文研究（15，7）循環(huán)碼在更一般、衰落程度較小的Nakagami（m參數(shù)設(shè)為5）信道中的性能，如圖9所示。結(jié)果表明，循環(huán)碼在衰落程度較小的信道中，也可以提供較大的性能增益。

圖9 不同信噪比的Nakagami信道中循環(huán)碼性能

五、結(jié)語(yǔ)

本文利用Matlab，實(shí)現(xiàn)了（15，7）循環(huán)碼編譯碼。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了不同信道環(huán)境下（15，7）循環(huán)碼的性能，為循環(huán)碼在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用提供理論依據(jù)。