小波變換與SVD結(jié)合消除隨機(jī)噪聲的研究及應(yīng)用

宋 林

(中國(guó)石油化工股份有限公司 石油物探技術(shù)研究院，南京 211103)

0 引言

地震資料中的噪聲通常分為兩類：①隨機(jī)噪聲(無規(guī)則干擾)；②相干噪聲(規(guī)則干擾)。針對(duì)隨機(jī)噪聲而言可以按照是否滿足高斯白噪的條件分為高斯隨機(jī)噪聲和非高斯隨機(jī)噪聲。隨機(jī)噪聲在地震資料中與地震有效信號(hào)相伴相隨，當(dāng)隨機(jī)噪聲具有相對(duì)較高的能量時(shí)，將對(duì)地震資料處理中的NMO速度分析以及靜校正等產(chǎn)生不利影響，最終使偏移成像的效果欠佳，給后續(xù)的地震解釋工作帶來諸多不利影響。因此隨著多年的方法研究和技術(shù)發(fā)展，技術(shù)人員設(shè)計(jì)了多種不同的隨機(jī)噪聲消除方法， F-X域反褶積、中值濾波、多項(xiàng)式擬合等，但這些方法總體可分為兩大類：增強(qiáng)信號(hào)和壓制噪聲[1]。諸如F-X域反褶積、多項(xiàng)式擬合以及徑向?yàn)V波等均屬于增強(qiáng)地震有效信號(hào)類；中值濾波和τ-P域?yàn)V波則屬于壓制噪聲類。

F-X域反褶積[2]是基于前后兩道地震記錄的有效信號(hào)部分相似性假設(shè)的基礎(chǔ)，在頻率域內(nèi)利用前一道信號(hào)預(yù)測(cè)后一道信號(hào)，或者后一道信號(hào)預(yù)測(cè)前一道信號(hào)，以此增強(qiáng)信號(hào)壓制噪聲。此方法在實(shí)際處理中應(yīng)用廣泛，是增強(qiáng)信號(hào)連續(xù)性的選擇，但是該方法也存在兩點(diǎn)不足：①在增強(qiáng)信號(hào)的同時(shí)也會(huì)使相干噪音得到加強(qiáng)；②在地震信號(hào)的高頻段信噪比相對(duì)較低，該方法去噪處理后易使高頻段信號(hào)產(chǎn)生畸變。中值濾波是非線性濾波的一種，英國(guó)的D.R.K.Brownrigg[3]提出了加權(quán)中值濾波； Loupas[4]進(jìn)一步發(fā)展為自適應(yīng)加權(quán)中值濾波；劉財(cái)?shù)萚5]將其應(yīng)用于地震資料噪聲壓制方面，取得了較好的效果，此方法主要使用空間中值濾波對(duì)疊后剖面進(jìn)行噪音壓制。多項(xiàng)式擬合方法由余壽朋[6]提出的，該方法基于地震有效信號(hào)的空間相似性，通過多道記錄相關(guān)確定有效同相軸的位置，得出有效信號(hào)的模型道，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)系數(shù)完成有效信號(hào)在時(shí)間和振幅大小的擬合，以增強(qiáng)有效信號(hào)的連續(xù)性，壓制隨機(jī)噪聲提高信噪比,但對(duì)于隨機(jī)噪聲相對(duì)嚴(yán)重的情況下，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)假的同相軸。另外，多項(xiàng)式擬合方法應(yīng)用于沒有斷層或斷層不發(fā)育的地區(qū)，處理后同相軸的連續(xù)性大大提高，有效信號(hào)獲得明顯提升。而對(duì)于起伏變化劇烈，斷層發(fā)育的區(qū)域，會(huì)造成同相軸時(shí)空位置發(fā)生改變。

小波變換是一種應(yīng)用非常廣泛的時(shí)頻分析方法，自提出以來，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中不斷得到改進(jìn)，具有優(yōu)良的時(shí)頻分辨率特性。方形矩陣的奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)首先由Beltrami[7]和Jordon[8]各自獨(dú)立地與1873年和1874年發(fā)現(xiàn)。奇異值分解直到20世紀(jì)30年代才被推廣到長(zhǎng)方形矩陣。隨后矩陣計(jì)算大師Gene Golub[9]進(jìn)一步發(fā)展了奇異值分解。SVD是線性代數(shù)中最重要的工具之一，在統(tǒng)計(jì)分析、信號(hào)處理、故障檢測(cè)和數(shù)據(jù)降噪等方面都有重要應(yīng)用。

小波變換在地震資料去噪方面應(yīng)用非常廣泛，SVD在信號(hào)處理領(lǐng)域有其獨(dú)特本領(lǐng),但是由于小波變換去噪存在閾值難以確定的不足，使去噪結(jié)果存有去噪過度或去噪不足。而SVD去噪的主要缺點(diǎn)是信號(hào)方向及主元素的個(gè)數(shù)確定困難。因此筆者通過分析小波變換和SVD方法的特點(diǎn)，將兩者結(jié)合，相互彌補(bǔ)。

1 方法原理

利用連續(xù)小波變換與SVD相結(jié)合的去噪方法是：先使用連續(xù)小波變換(如Morlet)將要分析處理的地震信號(hào)分解到各個(gè)不同的尺度中，得到的每個(gè)尺度相應(yīng)的小波系數(shù)，這些不同尺度的小波系數(shù)就組成了一個(gè)滿足SVD分解的一個(gè)矩陣，也叫做相空間。

平方可積的信號(hào)函數(shù)f(t)∈L2(R)，ψ(t)為一個(gè)確定的基本小波函數(shù)，令：

(1)

式中：a,b∈R，a≠0。則稱函數(shù)ψab(t)為由小波母函數(shù)ψ(t)生成的依賴于尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的連續(xù)小波，那么就可以稱

(2)

為被分析信號(hào)f(t)的連續(xù)小波變換[10],Wf(a,b)是變換后得到的小波系數(shù)。其逆變換公式為式(3)[11]。

(3)

采用連續(xù)小波變換對(duì)單道信號(hào)進(jìn)行尺度分解，使用morlet小波作為基小波，所分解的尺度數(shù)為M，即每道信號(hào)分解后得到一個(gè)行數(shù)為M，列數(shù)為每道的采樣點(diǎn)數(shù)N的小波系數(shù)矩陣A，即A為M×N。

針對(duì)上述小波變換得到的M×N的矩陣A，無論其是否奇異，SVD分解總能唯一的將其分解為M×M元素的正交陣U與M×N的對(duì)角陣W和一個(gè)N×N的正交陣V的乘積表示為[12-15]：

(4)

對(duì)新組成的相空間采取SVD分解后，就會(huì)將被分解信號(hào)所含有的頻率的每一個(gè)特征分量分解到各個(gè)相應(yīng)的具有正交關(guān)系的子空間中去。

由于小波變換后的各尺度系數(shù)上的信號(hào)具有極強(qiáng)的相似性，從而避免了傳統(tǒng)SVD技術(shù)中的方向掃描過程，更有利于信號(hào)與噪聲的分離。

奇異值的選取原則由奇異熵確定。在解釋什么是奇異熵之前先給出奇異譜的定義式子：

(5)

則由σi(i=1,2,…,p)求得的這里的一系列數(shù)值就組成了經(jīng)由連續(xù)小波變換后的矩陣做SVD分解后的所需要的奇異譜。λi(i=1,2,…,p)是SVD分解后得到的奇異值。奇異熵的概念是根據(jù)奇異譜得來的，它是用來表示地震信號(hào)中量的變化的規(guī)律的，奇異熵[16,17]的表達(dá)式為式(6)。

(6)

式中：k表示的是所求得的奇異熵所在的位置，是在第幾階上；ΔEi則表示的是這里求得的奇異熵在相應(yīng)位置上的i處的變化的多少，可以利用公式(7)求得。

(7)

奇異熵對(duì)地震資料信號(hào)的信噪比反映非常敏感。若地震信號(hào)沒有受到外界任何干擾(當(dāng)然了這是理想的狀態(tài))，求得的奇異譜在相對(duì)較低的階次就能包含全部信息，此時(shí)的奇異熵將會(huì)是穩(wěn)定在在一個(gè)比較固定的數(shù)值上；若求得地震信號(hào)的奇異熵表現(xiàn)為明顯的上升，就說明了這段地震信號(hào)含有寬頻率的噪聲。因此根據(jù)求得的奇異熵對(duì)SVD后得到的奇異值進(jìn)行篩選，再對(duì)信號(hào)進(jìn)行SVD逆變換和小波逆變換重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)去噪。奇異熵的應(yīng)用使主元素個(gè)數(shù)的選取具有數(shù)理依據(jù)，減少了去噪過程中的過扼殺或過保留的幾率。

去噪處理的具體步驟如下：

1)以單道地震信號(hào)作為輸入。

2)使用morlet小波對(duì)輸入的單道地震信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，得到變換后尺度為M(本文選擇尺度數(shù)為90°)，N為采樣點(diǎn)數(shù)的小波系數(shù)矩陣A。

3)對(duì)小波系數(shù)A=M×N的矩陣進(jìn)行SVD分解，得到相應(yīng)的90個(gè)奇異值。

4)利用公式(5)、式(6)和式(7)計(jì)算奇異譜與奇異熵。

5)通過奇異熵篩選出需要SVD逆變換的奇異值，進(jìn)行小波系數(shù)矩陣重構(gòu)。

6)對(duì)重構(gòu)后的小波系數(shù)矩陣進(jìn)行小波逆變換，得到去噪后的信號(hào)，并輸出結(jié)果。

流程圖如圖1所示。

圖1 連續(xù)小波變換-SVD去噪流程圖Fig.1 The denoising flow of CWT-SVD

2 模型數(shù)據(jù)測(cè)試

圖2為一個(gè)模型的單炮記錄，使用40 Hz的雷克子波正演，共有三個(gè)反射層，其中第三層反射較弱。

圖2 單炮記錄Fig.2 The shot gather

圖3 加噪后單炮記錄Fig.3 Shot gather with noise

圖3表示為圖2的單炮記錄加上隨機(jī)噪聲之后的含噪記錄，從圖3中可以看出，背景的隨機(jī)噪聲與單炮記錄的第三個(gè)反射同相軸的能量相同，使得其基本淹沒在背景噪聲中，不容易辨別。使用本文方法對(duì)背景隨機(jī)噪音進(jìn)行壓制的單炮記錄(圖4)，從圖4可以清楚地看到同相軸變得更加清晰，尤其是第三個(gè)相對(duì)較弱的同相軸也比較清晰地呈現(xiàn)出來，并且整個(gè)記錄的背景相對(duì)圖3有了明顯地減弱，信號(hào)得到增強(qiáng)，提高了信噪比。圖5表示的是圖3與圖4相減得到的差剖面，從中基本看不到明顯的有效信號(hào)，所以本文的方法對(duì)背景隨機(jī)噪聲的去除是有效的，能夠提高道集的信噪比，達(dá)到去除噪聲保護(hù)弱信號(hào)的目的。

圖4 去噪后單炮記錄Fig.4 The shot gather after denoising

圖5 圖3單炮去掉的噪音Fig.5 The removed noise of shot in Fig 3

圖6 含噪疊加剖面Fig.6 The stack with noise

圖7 圖6 去噪后疊加剖面Fig.7 The stack of Fig 6 after denoising

圖8 圖6含噪疊加剖面去掉的噪音Fig.8 The removed noise of Fig 6

圖9 圖6的局部放大Fig.9 The partial enlarged of Fig 6

圖10 圖6的局部放大Fig.10 The partial enlarged of Fig 6

圖11 圖8局部放大Fig.11 The partial enlarged of Fig 8

3 實(shí)際資料應(yīng)用

實(shí)際資料是來自我國(guó)西部地區(qū)某工區(qū)的資料，資料噪聲特征是隨機(jī)噪聲比較發(fā)育。圖6為F-X反褶積處理后的疊加剖面，可以看出在剖面中仍然殘留部分隨機(jī)噪聲，影響了剖面的質(zhì)量。圖7為去除后的結(jié)果，從圖7中可以看出信噪比有了明顯提高，淹沒在隨機(jī)噪聲中的同相軸得到了較好地增強(qiáng)，同相軸更加連續(xù)，信噪比明顯提高，整個(gè)剖面的質(zhì)量有了提升。圖8為去噪前、后資料的差剖面，從剖面上看基本沒有損失有效信號(hào)，絕大部分是噪音，與模型驗(yàn)證的結(jié)果一致。圖9為含噪資料的局部放大顯示，圖10為消除噪音后的局部放大顯示，圖11為相對(duì)應(yīng)的圖9與圖10的差剖面。從以上得到的結(jié)果可以看出，此小波變換與SVD相結(jié)合消除隨機(jī)噪音的方法在去除隨機(jī)噪音方面是有效果的，能夠在去除噪音的同時(shí)基本不損害有效信號(hào)，進(jìn)而提高資料的信噪比。

4 結(jié)論

通過觀察對(duì)比以上模擬單炮記錄與實(shí)際疊加剖面兩組去噪前后的資料，我們得到以下結(jié)論：

1)連續(xù)小波變換和SVD分解相結(jié)合的去除隨機(jī)噪聲的方法是有效的。

2)對(duì)于增強(qiáng)有效波同相軸的連續(xù)性方面相比F-X域反褶積具有較好的效果。

3)此小波變換與SVD相結(jié)合消除隨機(jī)噪音的方法對(duì)于資料的淺層和深層都有較好的效果，且保真度較好。