利用MATLAB計(jì)算地鐵線路曲線地段限界的加寬范圍及加寬量

張 徐

（中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司機(jī)械動(dòng)力和環(huán)境工程設(shè)計(jì)院，天津 300000）

車(chē)輛的運(yùn)行狀態(tài)在直線和曲線上是不同的， 曲線段限界需在直線段限界的基礎(chǔ)上進(jìn)行加寬和加高。對(duì)于圓曲線、緩和曲線段的限界加寬，《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50157—2013)[1]以及《地鐵限界標(biāo)準(zhǔn)》(CJJ 96—2003)[2]中均有相應(yīng)的公式。對(duì)于直線和圓曲線、直線和緩和曲線、緩和曲線和圓曲線過(guò)渡段的加寬量，卻沒(méi)有相應(yīng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)。由此，各大設(shè)計(jì)院只能參考《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》(TB 10003—99)[3]中緩和曲線加寬方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。但由于采用《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的加寬方法計(jì)算限界，明顯偏大，導(dǎo)致地鐵土建投資增加。因此，筆者對(duì)曲線段限界加寬方法進(jìn)行了進(jìn)一步研究，并利用 MATLAB編寫(xiě)程序，簡(jiǎn)化計(jì)算，以方便工程運(yùn)用。

1 幾何加寬量

1.1 圓曲線地段幾何加寬

當(dāng)車(chē)輛完全進(jìn)入圓曲線，假設(shè)車(chē)輛、轉(zhuǎn)向架、軌道均為剛性體，分別以車(chē)輛縱向中心線、轉(zhuǎn)向架縱向中心線、軌道中心線代替，如圖1所示。

A1、B1為前轉(zhuǎn)向架的前后輪對(duì)，A2、B2為后轉(zhuǎn)向架的前后輪對(duì)，A、B為車(chē)體的前后端，M1、M2為前后轉(zhuǎn)向架的中心，M為車(chē)體的中心，轉(zhuǎn)向架軸距為p，車(chē)輛定距為a，車(chē)體長(zhǎng)度為b，R為曲線半徑。如圖1所示，當(dāng)車(chē)輛完全在圓曲線上運(yùn)行時(shí)，最大的內(nèi)側(cè)幾何加寬量出現(xiàn)在車(chē)體中部，最大的外側(cè)幾何加寬量出現(xiàn)車(chē)體兩端[2，4]。

圖1 圓曲線地段幾何加寬Fig.1 Diagram of geometric widening in circular curve

最大內(nèi)側(cè)幾何加寬量：

1.2 緩和曲線地段幾何加寬

當(dāng)車(chē)輛完全進(jìn)入緩和曲線，不同于圓曲線，緩和曲線各處曲率均不一致?！兜罔F設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50157—2013)附錄E中介紹了緩和曲線幾何加寬量的計(jì)算方法，而筆者利用作圖法以及 MATLAB編寫(xiě)緩和曲線幾何加寬量的計(jì)算程序，并與規(guī)范中的公式進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

在鐵路設(shè)計(jì)中，以三次拋物線函數(shù)表示緩和曲線[5-7]，其方程為：

式中，R為曲線半徑，L0為緩和曲線全長(zhǎng)。

將上式展開(kāi)多項(xiàng)式形式，省去高次項(xiàng)式，并進(jìn)行積分可得緩和曲線弧長(zhǎng)與x坐標(biāo)之間的關(guān)系。

如圖2所示，車(chē)輛沿緩和曲線運(yùn)行，當(dāng)車(chē)體連線與緩和曲線a處的垂線相交時(shí)，線段ab即為此時(shí)緩和曲線a處的內(nèi)側(cè)加寬量。不難發(fā)現(xiàn)，直至車(chē)輛駛離a處垂線，加寬量會(huì)一直發(fā)生變化，取其中內(nèi)外側(cè)的極值作為a處內(nèi)側(cè)幾何加寬量和外側(cè)幾何加寬量。

圖2 緩和曲線地段幾何加寬Fig.2 Diagram of geometric widening in transition curve

類(lèi)似a點(diǎn)內(nèi)外側(cè)幾何加寬量的計(jì)算，將緩和曲線分成若干等份如圖3所示，以直緩點(diǎn)zh為坐標(biāo)原點(diǎn)，車(chē)輛前轉(zhuǎn)向架的一位輪對(duì)從原點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入緩和曲線，利用 MATLAB求出車(chē)體中心線與緩和曲線上各點(diǎn)法線的交點(diǎn)，并連接內(nèi)外側(cè)法線交點(diǎn)的極值即可求出此緩和曲線地段內(nèi)外側(cè)幾何加寬量控制線。

圖3 過(guò)渡曲線等分Fig.3 Contour map of a transition curve

以 B型車(chē)為例求解緩和曲線的幾何加寬量，車(chē)長(zhǎng)19 m，定距12.6 m，轉(zhuǎn)向架軸距2.2 m。由于B型車(chē)車(chē)長(zhǎng)19 m，故車(chē)輛完全處于緩和曲線的范圍為緩和曲線長(zhǎng)度減去前后各一節(jié)車(chē)輛的長(zhǎng)度。取緩和曲線長(zhǎng)度70 m，圓曲線半徑分別取500 m、600 m進(jìn)行分析，利用MATLAB求出當(dāng)車(chē)輛完全處于緩和曲線中時(shí)內(nèi)外側(cè)幾何加寬量，并與《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50157—2013)介紹的計(jì)算方法進(jìn)行比較，如圖4、5所示。

通過(guò)圖4、5分析可知，兩種方法計(jì)算出的外側(cè)幾何加寬量差值在1～2 mm，內(nèi)側(cè)幾何加寬量相差較小，均在工程允許的誤差范圍內(nèi)，另外，也相互驗(yàn)證兩種方法的正確性。

圖4 R=500 m時(shí)，緩和曲線內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.4 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening in a transition curve

圖5 R=600 m時(shí)，緩和曲線內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.5 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a transition curve

1.3 緩和曲線和直線連接處幾何加寬

當(dāng)車(chē)輛進(jìn)入緩和曲線，但還未完全離開(kāi)直線段時(shí)，如圖6所示，以B型車(chē)為例，緩和曲線取70 m，圓曲線半徑分別取500 m、600 m，利用MATLAB進(jìn)行分析，并與《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50157—2013)介紹的計(jì)算方法進(jìn)行比較，如圖7、8所示。

圖6 緩和曲線和直線連接處Fig.6 Connection between a transition curve and a straight-line section

圖7 R=500 m時(shí)，直緩連接處內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.7 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a transition curve and a straight-line section

圖8 R=600 m時(shí)，直緩連接處內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.8 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a transition curve and a straight-line section

由于《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的計(jì)算公式，僅針對(duì)直緩點(diǎn)后的緩和曲線(圖6中坐標(biāo)原點(diǎn)即為直緩點(diǎn))，故分析圖7、8可知，在直緩點(diǎn)附近，兩種方法的外側(cè)加寬量相差不大，內(nèi)側(cè)加寬量的擬合性卻有所差別。

之所以造成這種情況，主要是因?yàn)橹本忺c(diǎn)后緩和曲線法線外側(cè)極值一般出現(xiàn)在車(chē)輛完全駛?cè)刖徍颓€中車(chē)輛的后端，適用《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的外側(cè)幾何加寬量的計(jì)算公式。

對(duì)于內(nèi)側(cè)加寬量，直緩點(diǎn)后緩和曲線分兩部分，其中，直緩點(diǎn)后大約一半全軸距的范圍內(nèi)(B型車(chē)7.4 m)，車(chē)輛一直橫跨兩種線型，《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的內(nèi)側(cè)幾何加寬計(jì)算公式不適用，剩余部分的法線內(nèi)側(cè)極值出現(xiàn)在車(chē)輛完全運(yùn)行于緩和曲線，故《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的內(nèi)側(cè)幾何加寬量計(jì)算方法與 MATLAB程序的計(jì)算結(jié)果相差不大。

對(duì)于直緩點(diǎn)前的直線部分，由于《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中未規(guī)定其內(nèi)外側(cè)加寬量的計(jì)算方法，故可參考本文作圖法和 MATLAB編程相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算，其變化特性如圖7、8所示。另外，直線段的外側(cè)幾何加寬量的加寬起點(diǎn)位于直緩點(diǎn)前一半車(chē)長(zhǎng)+一半車(chē)輛定距+一半轉(zhuǎn)向架軸距的位置(B型車(chē)16.9 m)，直線段的內(nèi)側(cè)幾何加寬量的加寬起點(diǎn)位于直緩點(diǎn)前定距+一半轉(zhuǎn)向架軸距的位置(B型車(chē)13.7 m)。

1.4 緩和曲線和圓曲線連接處幾何加寬

圖9中，以B型車(chē)為例，車(chē)輛進(jìn)入圓曲線，但還未完全離開(kāi)緩和曲線，緩和曲線取70 m，圓曲線半徑分別取500 m、600 m，利用MATLAB進(jìn)行分析，并與《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》介紹的計(jì)算方法進(jìn)行比較，如圖10、11所示。

圖9 緩和曲線和圓曲線連接處Fig.9 Connection between a circular curve and a transition curve

圖10 R=500 m時(shí)，緩圓連接處內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.10 R=500 m， comparison of inside and outside geometric widening of a connection between a curve and a transition line

圖11 R=600 m時(shí)，緩圓連接處內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.11 R=600 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a circular curve and a transition curve

從圖10、11分析可知，對(duì)于外側(cè)加寬量，緩圓點(diǎn)之前大約一半車(chē)長(zhǎng)+一半車(chē)輛定距+一半轉(zhuǎn)向架軸距的位置(B型車(chē)16.9 m)，由于緩和曲線法線的外側(cè)極值出現(xiàn)在車(chē)輛橫跨兩種線型時(shí)，而《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中的公式僅針對(duì)完全運(yùn)行在緩和曲線或完全運(yùn)行在圓曲線時(shí)，故均不適用。緩圓點(diǎn)之后，圓曲線法線的外側(cè)極值均出現(xiàn)車(chē)輛完全運(yùn)行在圓曲線時(shí)，故適用《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中圓曲線外側(cè)加寬量的計(jì)算方法。

對(duì)于內(nèi)側(cè)加寬量，其不適用范圍與直緩點(diǎn)類(lèi)似，為緩圓點(diǎn)前后一半全軸距的范圍(B型車(chē)7.4 m)。

圖12 直線和圓曲線連接處Fig.12 Connection between a circular curve and a straight-line section

圖13 R=400 m時(shí)，直圓連接處內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量對(duì)比Fig.13 R=400 m， comparison of inside and outside geometric widening in a connection between a circular curve and a straight-line section

1.5 直線和圓曲線連接處幾何加寬

圖12 中，以B型車(chē)為例，車(chē)輛進(jìn)入圓曲線，但還未完全離開(kāi)直線，圓曲線取50 m，圓曲線半徑取400 m，利用 MATLAB進(jìn)行分析，并與《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》介紹的計(jì)算方法進(jìn)行比較，如圖13所示。

分析圖13可知，對(duì)于曲線外側(cè)加寬量，直圓點(diǎn)之后圓曲線部分，曲線法線的外側(cè)極值出現(xiàn)在車(chē)輛完全進(jìn)入圓曲線，適用《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》介紹的圓曲線外側(cè)加寬量計(jì)算公式，直圓點(diǎn)之前直線部分，《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》未規(guī)定相關(guān)的計(jì)算公式，可參考本文的MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算。且直圓連接處外側(cè)加寬的起點(diǎn)為直圓點(diǎn)前一半車(chē)長(zhǎng)+一半車(chē)輛定距+一半轉(zhuǎn)向架軸距的位置(B型車(chē)16.9 m)。

對(duì)于曲線內(nèi)側(cè)加寬量，直圓點(diǎn)后圓曲線分兩部分，其中，直緩點(diǎn)后大約一半全軸距的范圍內(nèi)(B型車(chē)7.4 m)，圓曲線法線內(nèi)側(cè)極值出現(xiàn)在車(chē)輛橫跨前后兩種線型，《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的內(nèi)側(cè)幾何加寬計(jì)算公式不適用，剩余部分的法線內(nèi)側(cè)極值出現(xiàn)在車(chē)輛完全運(yùn)行于圓曲線，故適用《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》中規(guī)定的圓曲線內(nèi)側(cè)幾何加寬量計(jì)算公式。直圓點(diǎn)前直線段，《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》未規(guī)定相應(yīng)的計(jì)算公式，可采用本文的MATLAB程序進(jìn)行計(jì)算。內(nèi)側(cè)加寬量的起點(diǎn)為直圓點(diǎn)前定距+一半轉(zhuǎn)向架軸距的位置(B型車(chē)13.7 m)。

通過(guò)上述分析，對(duì)于已知相關(guān)參數(shù)的緩和曲線均可利用編寫(xiě)的 MATLAB程序進(jìn)行求解內(nèi)外側(cè)幾何加寬量，且相對(duì)于《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》的計(jì)算公式效率更高，結(jié)果更加精確。其流程如圖14所示。另外，緩和曲線70 m，圓曲線半徑500 m，車(chē)型為B型車(chē)時(shí)，內(nèi)外側(cè)幾何加寬量如圖15所示。

圖14 幾何加寬量計(jì)算流程Fig.14 Flow chart of geometric widening calculation

2 軌道超高引起的加寬量

圖15 內(nèi)、外側(cè)幾何加寬量Fig.15 Inside and outside geometric widening

式中，he內(nèi)、he外為軌道超高引起的曲線內(nèi)外側(cè)加寬量，mm；x為計(jì)算點(diǎn)距離緩和曲線起點(diǎn)的距離，m；L為緩和曲線長(zhǎng)度，m；R為圓曲線半徑，m；h為圓曲線軌道超高值，mm；h緩為緩和曲線上計(jì)算點(diǎn)處的超高值，mm；(Y1，Z1)，(Y2，Z2)為計(jì)算曲線內(nèi)外側(cè)加寬量的設(shè)備限界控制點(diǎn)坐標(biāo)，mm。

3 其他因素引起的加寬量

其他因素如欠超高或者過(guò)超高引起的加寬量和曲線軌道參數(shù)及車(chē)輛參數(shù)變化引起的加寬量。其中，車(chē)站地段取10 mm，區(qū)間地段取30 mm。

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所示，緩和曲線的限界加寬量由上述3部分組成，其中幾何加寬量在整個(gè)加寬量中占主要地位，且其計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，尤其是直緩和緩圓連接處。因此，筆者通過(guò)作圖法及 MATLAB軟件相結(jié)合的方法進(jìn)行分析，編寫(xiě)適用緩和曲線全區(qū)域的計(jì)算程序，求解內(nèi)外側(cè)加寬范圍和內(nèi)外側(cè)加寬量，以供相關(guān)設(shè)計(jì)人員參考運(yùn)用，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。