談數(shù)學(xué)教學(xué)的三重意蘊(yùn)
——以設(shè)計(jì)“函數(shù)”單元第一課為例

■莊志紅

“單元教學(xué)設(shè)計(jì)”是從提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對(duì)相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組優(yōu)化，設(shè)計(jì)一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，以突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線以及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，其目的和價(jià)值在于改變偏重零碎知識(shí)的教學(xué)，獲得完整的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。這類設(shè)計(jì)遵循的是總分總的程序性原則，首先是呈現(xiàn)整個(gè)單元的總體知識(shí)概貌，然后按知識(shí)的發(fā)展順序?qū)嵤┱n時(shí)教學(xué)，最后是更全面地建構(gòu)單元知識(shí)框架和綜合應(yīng)用。在教學(xué)中，教師普遍對(duì)章節(jié)的第一課不夠重視，往往將其當(dāng)作傳統(tǒng)的新課教學(xué)，就知識(shí)而教知識(shí)，割裂了知識(shí)間的紐帶，缺乏整體視角。那么，單元第一課需要什么樣的知識(shí)教學(xué)？如何進(jìn)行單元第一課的教學(xué)呢？

一、單元第一課教學(xué)的意義

俗話說“良好的開端是成功的一半”，設(shè)計(jì)單元教學(xué)前的第一節(jié)課是非常有價(jià)值的，它就像是一部劇情介紹，向?qū)W生們娓娓道來地呈現(xiàn)出整個(gè)教學(xué)單元內(nèi)容從哪里來，到哪里去，有什么思想方法，能生成哪些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等。單元教學(xué)的第一課的實(shí)施有助于培養(yǎng)學(xué)生的整體觀，讓學(xué)生看到樹木的時(shí)候也看到森林。比如蘇科版教材中的第一章“數(shù)學(xué)與我們同行”，它的設(shè)計(jì)凸顯了作為初中數(shù)學(xué)“大單元”的第一課的作用與價(jià)值，給學(xué)生呈現(xiàn)了整個(gè)初中數(shù)學(xué)的“結(jié)構(gòu)”：經(jīng)歷對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中具體事例的觀察與思考，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，感受在具體情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

這樣的結(jié)構(gòu)是一以貫之的，因?yàn)樗褪怯伞皵?shù)學(xué)外部的現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)內(nèi)部的內(nèi)容領(lǐng)域、數(shù)學(xué)內(nèi)外的綜合應(yīng)用”組成的數(shù)學(xué)過程。比如在蘇科版教材體系中關(guān)于“圖形與幾何”這個(gè)課程內(nèi)容，設(shè)置的單元模塊有“軸對(duì)稱圖形”“中心對(duì)稱圖形”“對(duì)稱圖形”“圖形的全等”“圖形的相似”，這些單元模塊教學(xué)的第一課都是通過具體實(shí)例抽象出平面幾何圖形，給出數(shù)學(xué)化的概念，通過折紙、畫圖、操作、猜想等活動(dòng)感悟其數(shù)學(xué)本質(zhì)即幾何屬性，再通過對(duì)已有認(rèn)知的幾何圖形的直觀觀察，初步完成以共同屬性為“支架”的知識(shí)框架。

二、單元第一課教學(xué)的實(shí)施路徑

單元第一課的設(shè)計(jì)與實(shí)施要呈現(xiàn)“三重三輕”，即重情境導(dǎo)入、輕直奔主題，延知識(shí)內(nèi)容生成之“長(zhǎng)”；重方法養(yǎng)成、輕技能訓(xùn)練，展知識(shí)形式關(guān)聯(lián)之“寬”；重知識(shí)復(fù)演、輕知識(shí)灌輸，求知識(shí)旨趣積淀之“厚”。這是把握單元教學(xué)第一課設(shè)計(jì)的核心。筆者擬以“函數(shù)”單元第一課教學(xué)為例加以說明。

1.重情境導(dǎo)入，把握知識(shí)內(nèi)容的生長(zhǎng)。

知識(shí)內(nèi)容是知識(shí)的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，為知識(shí)本質(zhì)最核心的成分。數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，數(shù)學(xué)知識(shí)的衍生遵循從生活到數(shù)學(xué)再到生活的順序。因此在單元教學(xué)的第一課的教學(xué)設(shè)計(jì)中可以體現(xiàn)從“零數(shù)學(xué)化”到“半數(shù)學(xué)化”到“全數(shù)學(xué)化”最后到“數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用”這樣一個(gè)歷程，重演知識(shí)的生長(zhǎng)過程。

在“零數(shù)學(xué)化”中可以設(shè)計(jì)諸如觀察加油站儀表盤上跳動(dòng)的數(shù)字等生活情境，讓學(xué)生說一說：你看到了哪些數(shù)學(xué)的“量”，它們有什么關(guān)系，這些“量”都有什么變化規(guī)律。在這個(gè)過程中促進(jìn)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的生活經(jīng)驗(yàn)，專注于在儀表盤上去發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系和變化規(guī)律。只是這個(gè)環(huán)節(jié)在語言表達(dá)上都是生活化的語言，所以稱這個(gè)階段為“零數(shù)學(xué)化”。

“半數(shù)學(xué)化”的含義是指在活動(dòng)中出現(xiàn)數(shù)學(xué)的語言和符號(hào)化的表達(dá)?？梢栽O(shè)計(jì)這個(gè)階段的情境，諸如蘇科版第六章章頭圖中呈現(xiàn)的一列高鐵從甲地駛往乙地，學(xué)生會(huì)很自然地寫出行駛的路程s、時(shí)間t、速度v之間的關(guān)系，如果此時(shí)給出速度v=200km/h，這時(shí)候?qū)W生的腦中就定格了一個(gè)等式“s=200t”，他們對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系也集中在了對(duì)這個(gè)等式的觀察上，函數(shù)表達(dá)式的雛形悄然出現(xiàn)了，數(shù)學(xué)符號(hào)的出現(xiàn)標(biāo)志著“半數(shù)學(xué)化”階段的到來。

“全數(shù)學(xué)化”階段的設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)體系中抽取1～2個(gè)例子，如在“函數(shù)”這節(jié)課上可以借助幾何畫板，呈現(xiàn)一個(gè)任意的直角三角形，拖動(dòng)非直角的一個(gè)頂點(diǎn)讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)不變的量是一個(gè)（直角），變化的量有兩個(gè)銳角和兩條邊長(zhǎng)，它們之間目前的關(guān)系有兩角互余、三邊滿足勾股定理。重點(diǎn)設(shè)計(jì)兩個(gè)活動(dòng)：一是圍繞兩個(gè)銳角設(shè)計(jì)三個(gè)小問題：①∠A=30°，則∠B= ；②∠A=27°，則∠B= ；③得到這些結(jié)果的理由。實(shí)際上就是“暗中”引導(dǎo)學(xué)生從等式∠A+∠B=90°轉(zhuǎn)化成另一種關(guān)系式∠B=90°-∠A，雖然其本質(zhì)是一致的，但為后續(xù)的函數(shù)表達(dá)式的概念建構(gòu)再次埋下伏筆。二是回到幾何畫板，演示拖動(dòng)和定格頂點(diǎn)A，觀察圖形（∠A、∠B的大小形狀）和數(shù)值（這兩個(gè)角的數(shù)量值標(biāo)簽）的變化規(guī)律，引發(fā)學(xué)生通過直接觀察來表達(dá)出“∠A確定時(shí)∠B隨之確定，∠A變大時(shí)∠B變小，∠A變小時(shí)∠B變大”。在經(jīng)歷了這個(gè)可視化的觀察活動(dòng)后，學(xué)生對(duì)于這兩個(gè)銳角之間的關(guān)系就自然能用更為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)了，實(shí)現(xiàn)了“模型”化。

史寧中先生說過：數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的語言就是模型。上述三個(gè)階段的架構(gòu)與實(shí)施，能有效促進(jìn)學(xué)生從兩個(gè)量的變化規(guī)律衍生到它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系、抽象出“函數(shù)”的核心概念，建立了數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了知識(shí)的自然生長(zhǎng)。

2.重方法養(yǎng)成，把握知識(shí)形式的關(guān)聯(lián)。

知識(shí)形式是指知識(shí)內(nèi)在的思維方式和表達(dá)形式。作為整個(gè)單元教學(xué)的第一課，在主干概念抽象出來的基礎(chǔ)上，應(yīng)將單元的零碎化知識(shí)結(jié)網(wǎng)，同時(shí)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)背景，因此可以設(shè)法用一個(gè)背景串起整個(gè)單元中分散零碎的知識(shí)要點(diǎn)，提煉出統(tǒng)領(lǐng)本單元的思維方式，從而深化數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

例如本單元中函數(shù)的三種表示形式（關(guān)系式、表格、圖像），它們各有不同，函數(shù)表達(dá)式更一般，更具有“數(shù)”的特質(zhì)，表格更具體，圖像更直觀，更具有“形”的特質(zhì)，但都是函數(shù)的“表達(dá)”?？梢越柚钚◆~的活動(dòng)，觀察搭小魚的條數(shù)與所需火柴棒的根數(shù)。從填表入手，從簡(jiǎn)單、具體入手（搭1條魚、2條魚、3條魚），到一般化（搭n條魚）的代數(shù)推理，呈現(xiàn)出搭n條魚與所需火柴棒的根數(shù)S之間的等量關(guān)系，也可將n、S的一般形式化為x、y，繼而將每一對(duì)對(duì)應(yīng)值x和y作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出若干個(gè)點(diǎn)。進(jìn)一步提出任務(wù)：在這個(gè)坐標(biāo)系中快速精準(zhǔn)地描出點(diǎn)（10，62），引發(fā)思考：這個(gè)點(diǎn)與已描出的那幾個(gè)點(diǎn)有什么位置特征？從而順暢地給出函數(shù)圖像這個(gè)概念。在這個(gè)過程中從特殊、有限、孤立的點(diǎn)的特殊位置關(guān)系直觀想象為：如果有無窮多個(gè)點(diǎn)，當(dāng)這些點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都滿足同一個(gè)關(guān)系式時(shí)，它們都在同一條直線上，這條直線就是函數(shù)的圖像。

知識(shí)之間的聯(lián)系就像支架，把知識(shí)聯(lián)結(jié)成立體結(jié)構(gòu)才具有張力，而且立體結(jié)構(gòu)更具有“吸附力”。不僅知識(shí)點(diǎn)本身可以吸附新的知識(shí)點(diǎn)，而且聯(lián)結(jié)知識(shí)點(diǎn)的支架——知識(shí)之間的聯(lián)系帶同樣能吸附新的知識(shí)點(diǎn)，生長(zhǎng)出更多新的知識(shí)。

在單元教學(xué)的第一課建立知識(shí)立體結(jié)構(gòu)應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是厘清這些零碎的知識(shí)在數(shù)學(xué)整體知識(shí)的體系中客觀存在著的聯(lián)系；二是減少每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的邏輯論證，盡可能通過有效的活動(dòng)（如開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、創(chuàng)設(shè)主題問題串等）促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、類比猜想，感性地體會(huì)到知識(shí)的聯(lián)系與交叉滲透。

建構(gòu)知識(shí)立體結(jié)構(gòu)靠的是支架，支架實(shí)質(zhì)上就是知識(shí)背后隱藏的思想方法，如前例中將函數(shù)的三種表示形式（關(guān)系式、表格、圖像）聯(lián)結(jié)在一起的支架就是數(shù)形結(jié)合的辯證統(tǒng)一，從特殊到一般的歸納演繹。在單元教學(xué)的第一課中如果幫助學(xué)生掌握了建立函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖片段（三種表示方式）的思想方法，那么將來面對(duì)未知的某個(gè)新的函數(shù)時(shí)，學(xué)生就能將思想方法正向遷移，生長(zhǎng)出更多新的知識(shí)。

3.重知識(shí)復(fù)演，把握知識(shí)旨趣的積淀。

知識(shí)旨趣是指數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的目標(biāo)追求與價(jià)值取向，以及數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣與情感。掌握知識(shí)旨趣有助于強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)求知熱情。單元教學(xué)的第一課應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義與目的，體驗(yàn)求知的快樂與價(jià)值。

單元教學(xué)的第一課是后續(xù)知識(shí)在單元體系內(nèi)部生長(zhǎng)的“土壤”，根植于這片土壤中的“根系”即為單元教學(xué)的第一課中所形成的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科素養(yǎng)。檢驗(yàn)“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是否形成并有效，就要看單元教學(xué)的第一課的目標(biāo)是否達(dá)成。目標(biāo)的設(shè)定不能虛無縹緲，要對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)細(xì)化出相應(yīng)的目標(biāo)內(nèi)容。結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求將單元教學(xué)的第一課的目標(biāo)定為：能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論；從研究數(shù)量和圖形間的內(nèi)在聯(lián)系中感受數(shù)形結(jié)合的思想；逐步加深對(duì)函數(shù)思想的理解。因此在這節(jié)單元教學(xué)的第一課中設(shè)計(jì)一個(gè)活動(dòng)：觀察所給出的圖像，列舉滿足圖像中的函數(shù)關(guān)系的生活實(shí)例，引發(fā)從變量“形”的變化（上升、下降、水平）推斷出變量“數(shù)”的變化，從而聯(lián)系生活中的數(shù)量變化，體會(huì)函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的模型思想。如此復(fù)演知識(shí)的形成過程，對(duì)于學(xué)生的持續(xù)發(fā)展，思維能力、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)的旨趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力與培養(yǎng)求知情感極具潛在價(jià)值。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)把握知識(shí)的內(nèi)容、形式和旨趣，“轉(zhuǎn)識(shí)成智”，從而有助于學(xué)生走向社會(huì)后，面對(duì)多樣紛雜的現(xiàn)實(shí)情境，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出共性，多向思維，這無疑就是我們的育人目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。