正組合曲率帶邊有限圖的分類(lèi)

蘇延輝

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350116)

0 引言

組合曲率是由文獻(xiàn)[1-3]引入的， 其基本想法是將圖嵌入到分片平坦的曲面并利用廣義高斯曲率來(lái)定義. 設(shè)(V,E)為局部有限的無(wú)向簡(jiǎn)單圖， 若其拓?fù)淝度氲角鍿內(nèi)則稱(chēng)其為半平面圖； 若S同胚于2或單位球面， 則稱(chēng)其為平面圖. 記G=(V,E,F)， 這里F為面的集合, 不失一般性， 做如下細(xì)分假定：

1) 每個(gè)面均同胚于一個(gè)圓盤(pán)， 其邊界由圖上的有限個(gè)邊組成；

2) 每個(gè)邊恰包含于兩個(gè)不同的面；

3) 任意兩個(gè)面， 如果其閉包具有非空的交集， 則交集或者為一個(gè)頂點(diǎn)或者為一條邊.

在上述定義下， 圖的組合曲率定義為：

(1)

為了進(jìn)一步理解其幾何意義， 將圖G的每條邊取為單位長(zhǎng)度， 每個(gè)面用同樣邊數(shù)正多邊形替代(由此得到的曲面稱(chēng)為正多邊形曲面, 記為S(G))則組合曲率乘以2π即為該點(diǎn)處的廣義高斯曲率.

本研究將分析具有正曲率帶邊有限圖的分類(lèi)問(wèn)題. 稱(chēng)G=(V,E,F)為帶邊有限圖， 如果其嵌入曲面為帶邊曲面. 不失一般性， 設(shè)圖G滿(mǎn)足上述細(xì)分假定的1)和3)， 并將2)替換為2′): 曲面S的邊界?S由圖的邊組成， 圖的每條邊(除去端點(diǎn)外)或者位于?S， 或者位于S的內(nèi)部. 在前一情形該邊鄰接一個(gè)面， 而后一情形該邊鄰接兩個(gè)面. 更進(jìn)一步， 假定邊界頂點(diǎn)的度2≤deg(x)<∞， 而內(nèi)部頂點(diǎn)的度3≤deg(x)<∞. 邊界點(diǎn)的組合曲率仍按(1)式給出.

1 基本事實(shí)

表1 正曲率內(nèi)部頂點(diǎn)類(lèi)型及相應(yīng)曲率值

2 正組合曲率帶邊有限圖的分類(lèi)定理的證明

定理1除去正n邊形這一平凡情形外， 帶邊正曲率有限圖共有71種互不同構(gòu)的類(lèi)型.

證明 本證明其實(shí)就是構(gòu)造全部互不同構(gòu)的有限圖的過(guò)程. 首先注意到一個(gè)很簡(jiǎn)單的事實(shí)—圖的多邊形曲面的邊界上至少含有三角形的邊, 下面分兩類(lèi)圖形討論.

圖1： 若某三角形有兩條邊在邊界上.

該情形下， 三角形的余下一條邊可以鄰接其他多邊形， 在曲率為正的假設(shè)下， 只能鄰接3邊形、 4邊形和5邊形. 再進(jìn)一步在正組合曲率的假設(shè)下考慮這些多邊形是否可能繼續(xù)鄰接多邊形(需要注意的是要滿(mǎn)足細(xì)分假設(shè)以及正組合曲率條件)， 最終得到以下11種互不同構(gòu)的有限圖.

圖1 若某三角形有兩條邊在邊界上Fig.1 There is a triangle with two edges on the boundary

圖2： 所有三角形均至多有一條邊在邊界上.

取定一個(gè)某條邊位于邊界的三角形， 考慮其鄰近多邊形的情況. 由細(xì)分假設(shè)， 兩條位于內(nèi)部的邊界必鄰接不同的多邊形， 按照可能的粘合情況， 共有如下12種情形.

圖2 所有三角形均至多有一條邊在邊界上Fig.2 All triangles with one edge on the boundary

這里a,b,c表示位于邊界上的邊， 而其他邊可能是正多邊形曲面的邊界， 也可能不是正多邊形曲面的邊界. 首先注意到的一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)是： 情形(2)、 情形(4)和情形(6)已構(gòu)成正曲率有限圖， 且它們是僅有的(與圖1不同構(gòu)的)可能. 下面考慮其他九種情形.

情形(1)： 考慮除a,b,c外的其他邊鄰接多邊形的可能(同樣需要注意滿(mǎn)足細(xì)分假設(shè)以及正組合曲率條件)， 情形(1)會(huì)產(chǎn)生如下6種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖, 詳見(jiàn)圖3.

圖3 情形(1)的6種可能Fig.3 There are six possibilities in case (1)

情形(3)： 用相同的辦法， 可以得到該情形下會(huì)產(chǎn)生如下6種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖, 詳見(jiàn)圖4.

圖4 情形(3)的6種可能Fig.4 There are six possibilities in case (3)

情形(5)： 做法與前述情形相同， 但由于五邊形每個(gè)頂點(diǎn)具有較小的曲率， 因此可能的情形較多， 可以得到該情形下會(huì)產(chǎn)生如下11種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖, 詳見(jiàn)圖5.

圖5 情形(5)的11種可能Fig.5 There are eleven possibilities in case (5)

情形(7)： 可以得到該情形下會(huì)產(chǎn)生如下8種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖,詳見(jiàn)圖6.

圖6 情形(7)的8種可能Fig.6 There are eight possibilities in case (7)

圖7 情形(8)的1種可能Fig.7 There are is only one possibility in case (8)

情形(8)： 該情形由于兩個(gè)四邊形共一條邊， 導(dǎo)致從屬于三角形和兩個(gè)四邊形的那一頂點(diǎn)具有較大的曲率， 該情形下只產(chǎn)生1種(與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖， 見(jiàn)圖7.

情形(9)： 可以得到該情形下會(huì)產(chǎn)生如下13種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖, 詳見(jiàn)圖8.

圖8 情形(9)的13種可能Fig.8 There are thirteen possibilities in case (9)

圖9 情形(10)的1種可能 Fig.9 There is only one possibility in case (10)

情形(10)： 同情形(8)一樣， 該情形只得到1種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖, 見(jiàn)圖9.

情形(11)： 該情形與情形(5)相似， 由于五邊形具有較小的曲率， 因此可能出現(xiàn)的圖形較為復(fù)雜， 該情形下可以產(chǎn)生如下9種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖. 更為有趣的是該情形下的第六個(gè)圖和第七個(gè)圖中間的多邊形邊數(shù)分別為6和7， 而且這兩個(gè)圖具有很好的對(duì)稱(chēng)性, 具體見(jiàn)圖10.

圖10 情形(11)的9種可能Fig.10 There are nine possibilities in case (11)

圖11 情形(12)的2種可能 Fig.11 There are two possibilities in case (12)

情形(12)： 該情形只得到2種互不同構(gòu)(且與前述情形也互不同構(gòu))的正曲率有限圖, 見(jiàn)圖11.

以上即為全部互不同構(gòu)的類(lèi)型. 證畢！

上述定理完成了正組合曲率帶邊有限圖的完全分類(lèi)， 這些圖中有許多對(duì)稱(chēng)性很高的圖. 值得注意的是情形(11)中的第七個(gè)圖頂點(diǎn)數(shù)為28， 它是所有圖中頂點(diǎn)數(shù)最大的. 于是本研究有如下推論：

推論1除去正n邊形這一平凡情形外， 帶邊正曲率有限圖最大頂點(diǎn)數(shù)為28.