不妨讓“余數(shù)”靈動起來

◇張友勛

學(xué)生在計算“612÷2÷4=？”時出現(xiàn)了如下幾種結(jié)果：612÷2÷4=306÷4=76……2；612÷2÷4=153÷2=76……1；612÷2÷4=612÷8=76……4。對此，老師們普遍認(rèn)為第一種做法是正確的，原因是該作法遵循了四則混合運算順序，也有部分教師認(rèn)為此題出得有問題，結(jié)果不應(yīng)該有余數(shù)。

我認(rèn)為上面三種計算方法， 從計算順序上或者說意義上都是有道理的，從有余數(shù)除法的計算規(guī)則和商不變性質(zhì)上來看，三個結(jié)果雖然外在表現(xiàn)形式不一樣， 其結(jié)果所表示的數(shù)的大小是一樣的。這三種算法，第二步的被除數(shù)分別是306、153 和612，除數(shù)分別是4、2 和8，不完全商都是76，而余數(shù)分別是2、1 和4，但都符合“余數(shù)要比除數(shù)小”的要求，也符合商不變的性質(zhì)。如“153÷2=76……1”“306÷4=76……2”“612÷8=76……4”。被除數(shù)和除數(shù)依次擴大2 倍，商不變，而余數(shù)跟著擴大2 倍。

筆者認(rèn)為，上面三種算法的商76 都不能表示此題的精確結(jié)果，如“把306 本書平均分給4 個同學(xué)”，如果說“每個同學(xué)分得了76 本”，肯定是不準(zhǔn)確的，因此要把余數(shù)帶上，應(yīng)該說“每人分得76 本，還余下2 本沒分”。 我們不能用靜止的、孤立的眼光，只看三個余數(shù)的大小不一樣，就認(rèn)為三個算式的商也不一樣，而要用變化的、聯(lián)系的眼光來審視每個余數(shù)的實際意義，把它放在與此相關(guān)的被除數(shù)和除數(shù)的“家族”中來解釋，從而揭示“余數(shù)”的“真實面孔”。如對于“153÷2=76……1”，我們可以這樣來解釋：把153 本書平均分給2 個同學(xué)，每人分得76 本，還剩下 1 本，這 1 本若再分下去，這 2 個同學(xué)，每人還能繼續(xù)分本（0.5 本）；同樣，把 306 本書平均分給4 個同學(xué)， 每人分得76 本， 還剩下2本，這2 本再分下去，這4 個同學(xué)，每人還能分本（0.5 本），也就是說把 153 本書平均分給 2 個同學(xué)與把306 本書平均分給4 個同學(xué)， 每人分得的結(jié)果是一樣的，都是76.5 本，因而，我們便可以得出“上述三種算法的三個結(jié)果是一樣的”結(jié)論。

反思：在教學(xué)有余數(shù)除法時，我們可以結(jié)合二年級學(xué)生的認(rèn)知水平，適當(dāng)拓展學(xué)生對商和余數(shù)的認(rèn)知。如，教學(xué)時可以加入這樣的練習(xí)環(huán)節(jié)：9 個桃子平均分給2 個小朋友， 每人分得幾個？13 個桃子平均分給3 個小朋友，每人分得幾個？學(xué)生列出算式后教師提出這樣的問題：(1)對于第一個問題，余下的1 個桃子如果繼續(xù)平均分下去，每人分得的桃子應(yīng)該是4 個多一點，這“4個多一點”，以后我們會用一個新的數(shù)來表示。上面的分桃活動，由于桃子還沒有完全分完，因此這個“4”我們叫作 9 除以 2 的“不完全商”，9 除2 的計算結(jié)果我們不能單說是4， 而應(yīng)說成是4余1。（2）這兩個算式的計算結(jié)果，都是 4 余1，如果把兩次剩下的1 個桃子再繼續(xù)分下去， 猜一猜，這樣的兩次分桃，每人分得的桃還是一樣多嗎？為什么？（3）結(jié)合分桃子經(jīng)驗說說：9÷2 和18÷4 兩題計算結(jié)果是相等的嗎？為什么？