基于后悔理論和證據(jù)推理的風險型多屬性決策

吳 揚， 郭 敏， 李彥華

(中北大學 經(jīng)濟與管理學院， 山西 太原 030051)

0 引 言

風險型多屬性決策是指在不確定自然狀態(tài)下， 考慮多個屬性或指標， 對有限方案進行排序. 其特點是在決策過程中存在兩個及以上的自然狀態(tài)， 且無法確定未來會出現(xiàn)哪種狀態(tài)[1]. 對于風險型多屬性決策問題的研究具有廣泛的實際背景， 然而現(xiàn)實中由于決策問題客觀的復(fù)雜性、 不確定性等以及決策者的行為受心理活動的影響等， 多屬性決策往往存在以下問題： 1) 決策信息不確定、 不完全， 難以用精確值描述. 2) 如何集結(jié)不確定信息， 得到更可靠的評價結(jié)果. 3) 選擇什么樣的分析方法， 來反映決策者的行為.

對于問題1),可以采用區(qū)間數(shù)、 模糊數(shù)、 語言值等形式來表示不確定信息. 其中， 區(qū)間數(shù)能夠簡潔有效地表示不確定信息， 在多屬性決策問題中得到了廣泛應(yīng)用. 如張自欣[2]利用區(qū)間數(shù)表示某時間段內(nèi)系統(tǒng)各指標的動態(tài)變化， 解決了突發(fā)事件的動態(tài)預(yù)警問題. 李磊[3]等使用區(qū)間數(shù)來體現(xiàn)群決策的綜合意愿， 提出一種基于區(qū)間數(shù)的組合算法來進行方案排序. 對于決策信息的不完全性， 研究者通常只假設(shè)屬性權(quán)重信息不完全或只假設(shè)自然狀態(tài)發(fā)生概率信息不完全， 很少有研究將這兩類不完全信息同時考慮. 顯然， 對屬性權(quán)重信息和自然狀態(tài)發(fā)生概率信息都不完全情況下的多屬性決策問題的研究更具有現(xiàn)實意義和研究價值.

對于問題2)， Yang[4]等提出的證據(jù)推理法在不確定多源信息融合方面具有優(yōu)勢. 近年來已成為研究熱點. 如包甜甜[5]等針對不確定的混合多屬性決策問題， 提出基于前景理論和證據(jù)推理的直覺模糊決策方法. 何小雨[6]等結(jié)合證據(jù)推理法解決了群層次分析法在不確定信息處理方面的缺陷. Wang[7]等針對模糊多屬性決策問題， 提出了基于直覺模糊集和證據(jù)理論的決策方法. 對于區(qū)間型屬性值， 運用證據(jù)推理法不需像文獻[1]中以某種分布將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)， 能夠減少類型轉(zhuǎn)換造成的信息丟失.

對于問題3)， 通常有兩類分析方法來反映決策者的行為. 一類是基于期望效用理論， 假設(shè)決策者的行為是完全理性的. 另一類是基于前景理論或后悔理論等， 假設(shè)決策者是有限理性的. 較之前一類， 有限理性分析方法更能反映現(xiàn)實中決策者的決策行為， 已成為研究主流. 后悔理論雖較前景理論簡單但同樣能夠解釋所有違背期望效用理論的現(xiàn)象[8]， 因而越來越引起學者們的關(guān)注. 如朱輪[9]等利用后悔理論構(gòu)造出決策者對各屬性的感知效用值， 從而構(gòu)建了最優(yōu)化模型. 張曉[10]等針對屬性值和自然狀態(tài)發(fā)生概率均為區(qū)間數(shù)的情況下， 利用后悔理論來構(gòu)建決策者對各屬性的感知效用值， 提出了基于后悔理論的風險型多屬性決策方法. 錢麗麗[11]等針對灰色隨機多準則決策問題,在考慮決策者的風險態(tài)度及心理行為的情境下， 提出了一種基于后悔理論的決策方法. 相比于前景理論， 后悔理論還考慮到了備選方案對決策者所選方案的影響， 對于方案選優(yōu)問題具有一定的參考價值.

本文針對屬性值為區(qū)間數(shù)、 各屬性權(quán)重及各自然狀態(tài)發(fā)生概率信息均不完全的風險型多屬性決策問題， 提出一種基于后悔理論和證據(jù)推理的風險型多屬性決策方法. 該方法通過兩階段證據(jù)融合得到各方案的綜合感知效用值， 在此基礎(chǔ)上， 通過構(gòu)建方案綜合感知效用最大化的優(yōu)化模型， 得到各屬性權(quán)重和各自然狀態(tài)發(fā)生概率. 最后根據(jù)各方案的綜合感知效用兩兩比較可能度矩陣進行排序.

1 基本知識

1.1 后悔理論

后悔理論由Bell、 Loomes和Sugden分別提出， 它將決策者的后悔和欣喜兩種心理納入到?jīng)Q策過程中. 根據(jù)該理論， 決策者對方案的感知效用由效用函數(shù)v(x)和后悔-欣喜函數(shù)R(Δv)組成. 當R(Δv)>0時， 表示欣喜值； 當R(Δv)≤0時， 表示后悔值. 后悔或欣喜值是通過所選方案與備選方案比較得到的. 假設(shè)有兩個方案A和B， 對應(yīng)的決策信息為x和y， 那么決策者對方案A的感知效用值為

U(x)=v(x)+R(Δv),(1)

式中： Δv=v(x)-v(y),v(x)和v(y)表示決策者對方案A和B的決策信息x和y的感知效用.

1.2 證據(jù)推理

(2)

其中，

wk表示第k個屬性的權(quán)重.

1.3 區(qū)間數(shù)運算及排序

定義1 記a=[al,au]為一個區(qū)間數(shù)， 滿足al≤au. 當al=au時，a退化為一個實數(shù). 定義運算法則如下： 設(shè)a=[al,au]，b=[bl,bu]， 則：

1) 當al=bl且au=bu時，a=b.

2)a+b=[al+bl,au+bu].

定義2 對于區(qū)間數(shù)a=[al,au]和b=[bl,bu]， 令d(a,b)表示區(qū)間數(shù)a和b的距離， 則[13]

(3)

定義3 對于區(qū)間數(shù)a=[al,au]和b=[bl,bu]， 令La=au-al，Lb=bu-bl，p(a≥b)為a≥b的可能度.

1) 當La和Lb中至少有一個不等于0時，p(a≥b)的計算公式為[14]

(4)

2) 當La=0且Lb=0時，a,b均為實數(shù).p(a≥b)的計算公式為

(5)

2 風險型多屬性決策模型

2.1 問題描述

本文假設(shè)權(quán)重信息和自然狀態(tài)信息是不完全的. 令W∈δ1， 其中δ1表示屬性權(quán)重的不完全信息數(shù)學表達式的集合， 具體可分為以下5種情形[15]：

1)wk1-wk2=εk1;

2)wk1≥σk1wk2;

5)wk1-wk2≥wk3-wk4,k1≠k2≠k3≠k4.

2.2 感知效用值的計算

其中，

v(x)=xα,(7)

式中：α表示風險規(guī)避系數(shù). 0<α<1， 且α越小風險規(guī)避程度越大.

然后， 計算每個方案的各屬性相對于其他方案各屬性的后悔-欣喜值. 現(xiàn)實中決策者會盡量地減少后悔， 所以假設(shè)決策者是后悔規(guī)避的. 因而，R(v(xi)-v(xk))是單調(diào)遞增的凹函數(shù), 滿足R′(v(xi)-v(xk))>0，R″(v(xi)-v(xk))<0.R(v(xi)-v(xk))可以表示為[10]

R(v(xi)-v(xk))=1-e-δ(v(xi)-v(xk)),(8)

式中：δ表示后悔規(guī)避系數(shù)，δ>0.δ越大后悔規(guī)避程度越大.

(9)

2.3 感知效用值的融合

(10)

其中，

其次， 設(shè)H={H1,H2}為識別框架, 其中H1代表“感知效用值的肯定程度”；H2代表“感知效用值的否定程度”；H代表“感知效用值的未知程度”. 用βtk,i(j)表示狀態(tài)Si下， 方案Ai的屬性Cj屬于Hk的置信度， 其中k∈{1,2}. 則

(11)

然后， 以狀態(tài)Si下方案Ai的所有屬性的等級評價結(jié)果為證據(jù)， 依據(jù)式(2)進行證據(jù)融合， 得到狀態(tài)St下方案Ai被評價為等級Hk的置信度

t∈H,i∈M,k∈{1,2},(12)

其中，

i∈M,k∈{1,2},(13)

其中，

那么， 決策者對方案總的等級評價結(jié)果為

S(Ai)={(Hk,βk,i(W,P)),k=1,2},i∈M.

方案Ai的綜合感知效用為

其中，

(14)

2.4 決策優(yōu)化模型的構(gòu)建

對于模型(15)， 若最優(yōu)解不存在， 那么需要對屬性權(quán)重信息或自然狀態(tài)概率信息進行調(diào)整. 若存在多個最優(yōu)解， 那么需要進行靈敏度分析， 并在此基礎(chǔ)上選擇符合決策者偏好的解.

2.5 靈敏度分析

2.6 方案排序

1) 當Li和Lj至少有一個不為0時，Ei,j的計算公式為

i,j∈M,i≠j.(16)

2) 當Li=0且Lj=0時，Ei,j的計算公式為

(17)

根據(jù)式(16)和(17)建立各方案的綜合感知效用值兩兩比較可能度矩陣

E=[Ei,j]m×m=

利用文獻[14]中給出的排序公式

(18)

得到可能度矩陣E對應(yīng)的排序向量π=(π1,π2,…,πm)T， 并根據(jù)πi(i∈M)對各方案進行排序.

綜上所述， 基于后悔理論和證據(jù)推理的多屬性決策方法的步驟如下：

步驟 1： 根據(jù)式(6)將原始決策矩陣D轉(zhuǎn)化為規(guī)范化決策矩陣B.

步驟 5: 將各方案的綜合等級評價結(jié)果S(Ai)轉(zhuǎn)化為綜合感知效用值ui(W,P)， 如式(14)所示.

步驟 6: 建立如式(15)所示的最優(yōu)化模型， 并運用Matlab編程求解. 獲得各方案的感知效用值ui(W,P).

步驟 7: 根據(jù)式(16)～(17)建立各方案的綜合感知效用值兩兩比較可能度矩陣E， 并根據(jù)式(18)進行排序.

3 算 例

下面采用文獻[13]中的算例和數(shù)據(jù)來驗證本文方法的有效性. 某電子產(chǎn)品生產(chǎn)企業(yè)考慮開發(fā)一種新電子產(chǎn)品并投放到市場. 現(xiàn)有5個方案(A1,A2,…,A5)可供選擇. 需要考慮屬性：C1: 市場需求(單位： 萬臺/年)，C2: 收益率(單位： %/年)，C3: 投資回收期(單位： 年). 其中C1和C2為效益型屬性，C3為成本型屬性. 在產(chǎn)品市場投放期間， 有3種可能的自然狀態(tài)：S1: 好，S2: 中，S3: 差. 已知各屬性權(quán)重δ1∶w1=0.35,w2=0.4,w3=0.25; 自然狀態(tài)概率信息δ2∶0.3≤p1≤0.5, 0.4≤p2≤0.6, 0.1≤p3≤0.3.

根據(jù)式(6),將文獻[13]案例中的數(shù)據(jù)進行歸一化處理.

參考文獻[16]中經(jīng)過實驗驗證的數(shù)據(jù), 令α=0.88,δ=0.3， 根據(jù)式(7)～(9)計算感知效用值， 并根據(jù)式(10)對感知效用值進行規(guī)范化， 結(jié)果如表 1 所示.

表 1 決策者感知效用值矩陣

根據(jù)式(16)～(17)建立各方案的綜合感知效用值兩兩比較可能度矩陣:

根據(jù)式(18)得到可能度矩陣E的排序向量：π=[0.137,0.252,0.130,0.108,0.248]. 所以方案的排序結(jié)果為：A2>A5>A1>A3>A4.

使用文獻[10]提出的基于后悔理論的風險型多屬性決策方法和文獻[13]提出的基于前景理論的風險型多屬性決策方法分別求解該問題， 得到的排序結(jié)果與本文方法所得的排序結(jié)果比較如表 2 所示.

表 2 排序結(jié)果比較

比較上述3種方法可以看出， 使用本文所提出的方法來解決上述問題， 得到的排序結(jié)果與文獻[13]中基于前景理論的排序結(jié)果基本一致， 且最優(yōu)方案都為A2. 但相比于文獻[13]基于前景理論的多屬性決策方法， 本文提出的方法不需另外設(shè)置參考點， 且使用了更少的參數(shù)， 可操作性強. 利用文獻[10]所提的方法來解決上述問題， 得到的方案排序與本文所提方法完全一致， 但是文獻[10]以某種假定的分布將具有不確定性的區(qū)間屬性值轉(zhuǎn)化為確定性的實數(shù)型屬性值， 可能會造成信息的丟失. 而本文利用證據(jù)推理法避免了將區(qū)間性屬性值轉(zhuǎn)化為實數(shù)型屬性值， 保留了屬性取值的不確定性.

為進一步說明本文方法的有效性， 將上述問題中的自然狀態(tài)概率向量確定為P*=(0.3,0.4,0.3)， 使用區(qū)間加權(quán)平均算子(IVWA)對表 1 中的屬性值進行集結(jié)， 得到各方的綜合感知效用值為u1=[0.130,0.554],u2=[0.574,0.970],u3=[0.075,0.596],u4=[0.095,0.466],u5=[0.595,0.969]. 與本文使用證據(jù)推理法得到的結(jié)果對比， 如圖 1 所示.

可以看出本文使用證據(jù)推理法進行不確定信息集結(jié)， 在保留不確定性的同時具有更高的精度.

圖 1 兩種方法決策結(jié)果對比圖Fig.1 Comparison of the result of two methods

此外， 本文提出的方法可以處理屬性權(quán)重的信息和自然狀態(tài)發(fā)生概率的信息都不完全的情況， 使其具備更廣泛的適用范圍. 下面在各屬性權(quán)重信息和各自然狀態(tài)發(fā)生概率信息都不完全情況下， 來驗證本文所提的方法. 首先， 將上述問題中的屬性權(quán)重也改為不完全信息表示. 即， 假定為δ1：0.1≤w2-w1≤0.2， 0.4≤w2≤0.6, 0.6w1≤w3≤0.9w1, 其他條件不變. 然后， 仍可建立式(15)所示的模型. 最后， 求解得到最優(yōu)屬性權(quán)重向量W*=(0.31,0.41,0.28)和最優(yōu)點概率向量P*=(0.3,0.4,0.3). 基于可能度矩陣的排序向量為：π=[0.138,0.251,0.129,0.108,0.249]， 所以方案的排序結(jié)果為：A2>A5>A1>A3>A4. 最優(yōu)方案為A2. 表明本文提出的方法能夠處理屬性權(quán)重和自然狀態(tài)發(fā)生概率信息均不完全的情形.

4 結(jié) 論