關(guān)于M-矩陣Fan積最小特征值的不等式

鐘 琴， 牟谷芳

(1. 四川大學(xué)錦江學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)部， 四川 彭山 620860； 2. 樂山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 四川 樂山 614000)

0 引 言

M-矩陣在矩陣論、 計(jì)算數(shù)學(xué)、 生物學(xué)、 物理學(xué)、 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.矩陣的Fan積是特殊的矩陣乘積, 被廣泛地應(yīng)用于概率論中特征函數(shù)和偏微分方程中的弱極小原理等方面的研究. 受這些應(yīng)用背景的影響,并且考慮到兩個(gè)M-矩陣的Fan積仍為M-矩陣,許多專家和學(xué)者致力于M-矩陣Fan積最小特征值下界的研究, 給出了一系列很好的估計(jì)式[1-15]. 本文繼續(xù)該問(wèn)題的研究， 并且給出M-矩陣Fan積最小特征值下界的新估計(jì)式, 該結(jié)果計(jì)算簡(jiǎn)單, 精確度更高.

1 預(yù)備知識(shí)

為方便敘述,引入以下的定義及符號(hào).

記Rm×n(Cm×n)為m×n階實(shí)(復(fù))矩陣的集合,N={1,2,…,n},n≥2.

定義1[1]設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n, 若對(duì)于任意i,j∈N, 都有aij≥0, 則稱矩陣A為非負(fù)矩陣, 記為A≥0.

定義2[1]矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合稱為矩陣A的譜， 記為σ(A)， 稱ρ(A)=max{|λi|,i∈N}為矩陣A的譜半徑.

定義3[1]設(shè)Zn×n={A=(aij)∈Rn×n|aij≤0,1≤i,j≤n,i≠j}， 稱矩陣A為Z矩陣.

定義4[1]若A=(aij)∈Zn×n且可表示為A=sI-P， 其中P≥0，s≥ρ(P)， 則稱A為M-矩陣. 特別地， 當(dāng)時(shí)s=ρ(P)， 稱A為奇異M-矩陣， 當(dāng)s>ρ(P)時(shí)， 稱A為非奇異M-矩陣. 記n階非奇異M-矩陣的集合為Mn.

定義5[1]設(shè)A=(aij)∈Zn×n， 記q(A)=min{Re(λ)∶λ∈σ(A)}， 稱q(A)為A的按模最小特征值， 簡(jiǎn)稱最小特征值. 由文獻(xiàn)[1]知:q(A)∈σ(A).

設(shè)A∈Mn，B∈Mn, 則A★B∈Mn， 所以M-矩陣的Fan積必有一個(gè)最小特征值q(A★B). 關(guān)于M-矩陣Fa積最小特征值下界的估計(jì)， 文獻(xiàn)[1]首先給出了以下經(jīng)典的結(jié)論

q(A★B)≥q(A)q(B).(1)

文獻(xiàn)[2-6]分別給出了如下的估計(jì)結(jié)果

q(A★B)≥

式中：ρ(JA),ρ(JB)是Jacobi迭代矩陣JA和JB的譜半徑.

在上述估計(jì)式中， 式(1)～(3)需要計(jì)算q(A)和q(B)， 式(4)～(6)需要計(jì)算Jacobi迭代矩陣JA和JB的譜半徑， 當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)q(A),q(B)以及ρ(JA)和ρ(JB)難以計(jì)算， 所以利用上述不等式來(lái)估計(jì)q(A★B)的下界難以實(shí)現(xiàn). 本文利用特征值包含域定理， 給出M-矩陣Fan積q(A★B)下界的新估計(jì)式， 該估計(jì)式只依賴于兩個(gè)M-矩陣的元素， 計(jì)算更簡(jiǎn)單， 且結(jié)果更加接近q(A★B)的真值.

2 M-矩陣Fan積最小特征值的下界

本節(jié)給出M-矩陣Fan積最小特征值的下界估計(jì)式， 首先給出一些關(guān)于特征值包含域的引理和定理.

引理2[5]設(shè)A,B∈Mn，D和E是兩個(gè)正對(duì)角矩陣， 則有

D(A★B)E=(DAE)★B=(DA)★(BE)=

(AE)★(DB)=A★(DBE).

其中，

證明當(dāng)n=1時(shí)， 式(7)顯然成立， 所以假設(shè)n≥2.

D=diag(a-R1(A),a-R2(A),…,a-Rn(A)),

根據(jù)引理2可知

★B=(D-1AD)★B=D-1(A★B)D,

[Λi(A)Λj(A)]α[Λj(AT)Λj(AT)]1-α.

又因?yàn)?<λ

(aiibii-λ)(ajjbjj-λ)≤[Λi(A)Λj(A)]α[Λi(AT)Λj(AT)]1-α.(8)

解不等式(8)得

也即

其中，

結(jié)合定理1和定理2， 得到以下結(jié)論：

式中：Λi(A)，Λi(AT)，Λi(B),Λi(BT)的定義同定理1和定理2.

3 數(shù)值算例

這里給出一個(gè)數(shù)值例子用以說(shuō)明本文結(jié)果的優(yōu)越性.

例考慮M-矩陣A和的Fan積A★B的最小特征值q(A★B)， 其中

應(yīng)用式(1)～(5)， 分別得

q(A★B)≥0.191 0,q(A★B)≥1.573 0,

q(A★B)≥1.573,q(A★B)≥0.180 8,

q(A★B)≥1.523 8.

應(yīng)用文獻(xiàn)[8]定理3.1， 有

q(A★B)≥2.433 3.

應(yīng)用文獻(xiàn)[9]定理3.1和定理3.2， 有

q(A★B)≥2.833 3,q(A★B)≥2.919 9.

應(yīng)用文獻(xiàn)[10]定理2.1， 有

q(A★B)≥2.977 9.

應(yīng)用文獻(xiàn)[11]定理2， 有

q(A★B)≥2.983 2.

應(yīng)用文獻(xiàn)[6]式(6)， 有

q(A★B)≥2.983 3.

應(yīng)用文獻(xiàn)[12]定理2， 有

q(A★B)≥2.985 3.

應(yīng)用文獻(xiàn)[13]定理4， 有

q(A★B)≥3.

應(yīng)用本文定理1(α=0)得

應(yīng)用本文定理1(α=1)得

應(yīng)用本文定理2(α=0)得

應(yīng)用本文定理2(α=1)得

綜上， 應(yīng)用本文定理1和定理2， 將得到M-矩陣A和B的Fan積最小特征值下界的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)結(jié)果q(A★B)≥3.188 5. 實(shí)際上， 應(yīng)用Matlab7.0直接計(jì)算得q(A★B)=3.229 6.

從上述例子可以看出本文給出的M-矩陣Fan積最小特征值的下界估計(jì)式在一定條件下優(yōu)于現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)果.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了M-矩陣Fan積最小特征值的下界估計(jì)式， 并且所得估計(jì)式僅僅依賴于M-矩陣A和B的元素， 易于計(jì)算， 與現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)論相比更接近于q(A★B)的真值.