含徑流式水電系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法

冷 鵬，陳 眾，伍雅娜，湯 俊

(智能電網(wǎng)運(yùn)行與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長(zhǎng)沙理工大學(xué))，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

0 引言

相對(duì)其他清潔能源而言，水電資源具有更高的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。徑流水電站因無(wú)調(diào)節(jié)庫(kù)容而調(diào)節(jié)能力很差[1]，其出力直接受天然來(lái)水影響而呈現(xiàn)明顯的隨機(jī)性。

因市場(chǎng)價(jià)格、風(fēng)力、來(lái)水量等引起的發(fā)電出力不確定性的調(diào)度問(wèn)題可用機(jī)會(huì)約束規(guī)劃[2]、條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值[3]、蒙特卡羅方法等方法[4]，協(xié)調(diào)風(fēng)險(xiǎn)與利潤(rùn)以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)決策。這些處理不確定性問(wèn)題的方法是基于概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的隨機(jī)規(guī)劃方法[5]，都是在確定性分布的基礎(chǔ)上建模，需要得知隨機(jī)變量的完整分布統(tǒng)計(jì)特性。一般通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出概率分布函數(shù)，其矩即期望、方差、協(xié)方差等均為確定值。另一類處理不確定性問(wèn)題的方法是魯棒優(yōu)化方法[6]，其不需要知道隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，只需得知參數(shù)所屬區(qū)間[7-8]。一般用不確定集合刻畫(huà)隨機(jī)變量的不確定性，并建立考慮隨機(jī)變量在所給定集合中任意變化時(shí)的最嚴(yán)重情況下的min-max優(yōu)化模型[9]，但是這類方法未能有效利用一些可獲取的概率統(tǒng)計(jì)信息。

徑流水電的出力在一定范圍變化[10]，且具有概率分布特性[11]。雖然徑流水電出力難以用某一確定概率分布函數(shù)進(jìn)行刻畫(huà)[12]。根據(jù)文獻(xiàn)[13]并參照風(fēng)電出力特點(diǎn)可知，徑流水電出力為矩參數(shù)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)的隨機(jī)量，故考慮采用矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法出力含徑流水電系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題。

區(qū)別于隨機(jī)規(guī)劃方法以確定的概率分布函數(shù)描述不確定變量，也區(qū)別于傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化方法用區(qū)間不確定集合直接描述變量范圍，矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法(Distributional Robust Optimization Under Moment Uncertainty，DRO-MU)結(jié)合隨機(jī)規(guī)劃和魯棒優(yōu)化思想的一種處理含隨機(jī)變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的方法，它通過(guò)不確定集合描述其矩即期望與協(xié)方差[14]，可以用于解決含徑流水電等不確定出力機(jī)組的系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題。

1 矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法

1.1 矩不確定集合

設(shè)凸優(yōu)化問(wèn)題的一般形式為：

(1a)

s.t.φ(x,ξ)≤0

(1b)

式中：x為決策變量；ξ為某一類問(wèn)題的參變量；χ為可行解的凸集；h(x,ξ)、φ(x,ξ)均為關(guān)于x、ξ的凸函數(shù)。從該優(yōu)化問(wèn)題可知：

(1)如果參變量ξ為確定值，則該問(wèn)題是一般的凸優(yōu)化問(wèn)題；

(2)如果參變量ξ為隨機(jī)變量，則該凸優(yōu)化問(wèn)題為不確定性優(yōu)化問(wèn)題。

針對(duì)情況(2)不確定性優(yōu)化問(wèn)題，通常的處理方式是通過(guò)對(duì)不確定變量長(zhǎng)期的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、分析、擬合得出其概率分布函數(shù)，由此求得的期望、協(xié)方差等矩是確定的。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，不確定變量(如風(fēng)電短期出力)規(guī)律性不強(qiáng)，波動(dòng)大，難以用單一的概率分布進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫(huà)，但是其分布的矩卻是在一定范圍內(nèi)波動(dòng)的。因此，假設(shè)其期望、協(xié)方差的取值屬于特定集合D[15]。其結(jié)構(gòu)如下：

(2)

式中：μ0為隨機(jī)變量ξ的預(yù)估期望；Σ0為隨機(jī)變量ξ的預(yù)估協(xié)方差，Σ00表示半正定；γ1、γ2為該集合的半徑限制參數(shù)，γ1≥0，γ2≥1；ψ表示在可測(cè)空間上的所有概率密度集；S是由隨機(jī)變量ξ所有可能取值組成的樣本空間，S?Rm。

不確定集合D中第一個(gè)約束條件表示隨機(jī)變量ξ包含于S的概率為1；第二個(gè)約束條件表示隨機(jī)變量ξ的實(shí)際期望處在橢球球心μ0(即預(yù)估期望)、橢球半徑為γ1的橢球不確定集內(nèi)；第三個(gè)約束條件表示隨機(jī)變量ξ的實(shí)際協(xié)方差處在矩陣不等式限定的半定錐不確定集內(nèi)。

1.2 目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的min-max函數(shù)

針對(duì)情況(2)的不確定優(yōu)化問(wèn)題，首先根據(jù)均值方差理論考慮其目標(biāo)函數(shù)的期望值最小，將式(1a)寫(xiě)成以下形式：

(3)

引入魯棒優(yōu)化思想，在隨機(jī)變量概率分布函數(shù)的期望、協(xié)方差屬于不確定集合D的基礎(chǔ)上，將上述目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為考慮其最嚴(yán)重情況下的min-max問(wèn)題[15]：

(4)

其中，E[h(x,ξ)]為目標(biāo)函數(shù)h(x,ξ)的期望。

1.3 不等式約束的條件期望預(yù)處理及其對(duì)應(yīng)的min-max函數(shù)

不等式約束中含隨機(jī)變量時(shí)，直接取不等式約束函數(shù)(1b)的期望進(jìn)行處理會(huì)造成不等式成立的概率水平、不等式越界的分位點(diǎn)及越界后的均值均不明確，不能準(zhǔn)確反映不等式成立概率水平。而采用條件期望預(yù)處理不等式函數(shù)，能有效刻畫(huà)不等式小于分位點(diǎn)的概率及越界后的超額平均值，故可先求取φ(x,ξ)在概率水平β下的條件期望。

若隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為p(ξ)，則條件期望表達(dá)如下：

(5)

式中：qβ(x)表示分位數(shù)；β表示置信水平，其具體表達(dá)的是一個(gè)概率水平。式(5)是指函數(shù)φ(x,ξ)在以不小于β概率水平下大于qβ(x)的期望值，即條件期望。

式(5)難于解析，可引入函數(shù)Fβ(x,α)來(lái)計(jì)算其條件期望值[16-17]：

(6)

式中：α為引入的輔助變量。

結(jié)合式(6)的條件期望值，引入魯棒思想，在隨機(jī)變量概率分布函數(shù)的期望、協(xié)方差屬于特定集合D的基礎(chǔ)上，考慮不等式約束(1b)最嚴(yán)重情況下的min-max問(wèn)題[18]：

(7)

1.4 分布式魯棒優(yōu)化模型的對(duì)偶轉(zhuǎn)換

綜上所述，一般含隨機(jī)變量的凸優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型如下：

(8)

此時(shí)的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型為NP難問(wèn)題，無(wú)法直接求解出其最優(yōu)解。采用拉格朗日對(duì)偶原理[19]，將其轉(zhuǎn)換成確定性的半定規(guī)劃模型，便于求解。目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化后的模型如下：

(9)

(10)

因此，通過(guò)對(duì)偶轉(zhuǎn)換，矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型變換為如下半定規(guī)劃問(wèn)題：

(11)

2 含徑流水電出力矩不確定的系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度

2.1 水火電系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度一般模型

以常規(guī)火電機(jī)組發(fā)電成本最小為目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)考慮發(fā)電機(jī)出力上下限約束、系統(tǒng)功率平衡約束、線路潮流安全約束，建立接入徑流水電電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度的一般模型：

(12a)

(12b)

eTPf+eTPh-eTPd=0

(12c)

|PL|≤PLmax,L=1,2,…,l

(12d)

2.2 考慮徑流水電出力矩不確定的優(yōu)化模型

2.2.1 徑流水電出力的矩不確定集合

結(jié)合矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法，考慮徑流水電出力Ph的隨機(jī)性，假設(shè)其分布Fh的均值、協(xié)方差取值范圍屬于特定集合D：

(13)

式中：μh為隨機(jī)變量Ph的預(yù)估均值；Σh為隨機(jī)變量Ph的預(yù)估協(xié)方差，Σh?0；γ1、γ2為該集合的半徑限制參數(shù)，γ1≥0，γ2≥1；ψ表示在可測(cè)空間上的所有概率密度集；S是由隨機(jī)變量Ph所有可能取值組成的樣本空間，S?Rm。

2.2.2 目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的min-max問(wèn)題

結(jié)合矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法，在μh和Σh屬于特定集合D的基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型(12)中目標(biāo)函數(shù)以式(3)的方法轉(zhuǎn)化為考慮其最嚴(yán)重情況下的min-max問(wèn)題：

(14)

2.2.3 線路安全潮流約束對(duì)應(yīng)的min-max問(wèn)題

模型(12)中含隨機(jī)變量Ph的線路潮流安全約束，直接對(duì)其求取期望不能反映不等式成立概率水平。因此，對(duì)線路潮流安全約束不等式(12 d)求取條件期望值作為預(yù)處理。

支路潮流方程式為：

PL=BLMX(Pf+Ph-Pd)

(15)

式中：M為節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣；BL為各支路導(dǎo)納組成的對(duì)角矩陣；X=B-1，B為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。令H=BLMX=(H1H2…Hj…Hl)T，式(12 d)等價(jià)于：

|H(Pf+Ph-Pd)|≤PLmax

(16)

H為節(jié)點(diǎn)對(duì)線路的靈敏度系數(shù)矩陣，式(15)即線路安全靈敏度矩陣約束。系統(tǒng)中所有支路均需滿足式(14)，選擇其最大值所在的支路作為參考，若該支路滿足式(15)，則所有支路均滿足，故該不等式約束也寫(xiě)成：

max[|H(Pf+Ph-Pd)|-PLmax]≤0

(17)

假設(shè)第j條支路取值最大，定義電網(wǎng)安全域函數(shù)：

(18)

則線路安全靈敏度矩陣約束可寫(xiě)成：

Hj(PG,PS,PD)≤0

(19)

根據(jù)式(6)～(8)，式(18)等價(jià)于：

(20)

因此，徑流水電出力矩不確定的分布式魯棒優(yōu)化模型為：

(21)

3 對(duì)偶轉(zhuǎn)換及其半定模型

3.1 目標(biāo)函數(shù)的對(duì)偶轉(zhuǎn)換

運(yùn)用矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法處理不確定性優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，考慮到模型等式約束中的隨機(jī)變量不易于處理，于是將系統(tǒng)功率平衡約束(12c)代入目標(biāo)函數(shù)，消去隨機(jī)變量。

假設(shè)節(jié)點(diǎn)1為系統(tǒng)的平衡節(jié)點(diǎn)，則系統(tǒng)功率平衡約束等價(jià)于：

(22)

將式(22)代入目標(biāo)函數(shù)中：

(23)

其中：

根據(jù)式(10)，采用對(duì)偶理論將目標(biāo)函數(shù)(22)化成如下的半定規(guī)劃問(wèn)題：

min(Q,q,r,t)r+t

t≥(γ2Σ+μμT)·Q+μTq+

Q0

(24)

式中：Q、q、r、t為模型對(duì)偶過(guò)程中產(chǎn)生的新的變量；Q為不對(duì)稱矩陣，Q∈Rm×m；q∈Rm；r,t∈R。

由半正定的定義可知，式(24)中第一個(gè)不等式約束等價(jià)于：

(25)

3.2 線路安全靈敏度矩陣約束轉(zhuǎn)換

根據(jù)式(11)，采用對(duì)偶原理將預(yù)處理后的不等式約束(20)化成如下的半定規(guī)劃問(wèn)題：

(26)

式(26)中第一個(gè)不等式約束可寫(xiě)成：

(27a)

(27b)

由半正定的定義可知，式(27a)、(27b)等價(jià)于：

(28a)

(28b)

3.3 轉(zhuǎn)換后的半定規(guī)劃模型

通過(guò)對(duì)偶轉(zhuǎn)換，原徑流水電出力矩不確定的分布式魯棒優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成確定性的半定規(guī)劃模型：

(29)

由模型(28)可看出，轉(zhuǎn)換后的半定規(guī)劃模型求解簡(jiǎn)單，只需用計(jì)算工具求解滿足約束條件下的常規(guī)機(jī)組發(fā)電成本最小。

4 算例與分析

4.1 仿真系統(tǒng)

為驗(yàn)證矩不確定分布式魯棒優(yōu)化模型的有效性，對(duì)IEEE- 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行分析計(jì)算，取功率基準(zhǔn)值為100 MVA。在MATLAB中采用YALMIP進(jìn)行求解。系統(tǒng)內(nèi)有6臺(tái)常規(guī)機(jī)組，節(jié)點(diǎn)1為平衡節(jié)點(diǎn)，徑流水電機(jī)組在22、25節(jié)點(diǎn)處接入系統(tǒng)。其中22節(jié)點(diǎn)預(yù)測(cè)出力0.8 p.u.，預(yù)測(cè)偏差值的波動(dòng)方差取0.2；25節(jié)點(diǎn)預(yù)測(cè)出力0.4 p.u.，預(yù)測(cè)偏差值的波動(dòng)方差取0.12。系統(tǒng)總負(fù)荷為2.834 p.u.。其他基準(zhǔn)要求為：γ1=0.1，γ2=1.1，α=0.92。系統(tǒng)數(shù)值仿真均是在基準(zhǔn)要求上逐個(gè)改變相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行仿真討論。

4.2 仿真結(jié)果分析

(1)不確定集范圍限制參數(shù)γ1、γ2對(duì)總成本的影響

從圖1、圖2可以看出，隨著不確定集范圍的限定參數(shù)γ1和γ2的增大，系統(tǒng)火電機(jī)組的發(fā)電成本也在增大。它們的值越大，表明徑流水電出力預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性越差，其不確定性對(duì)系統(tǒng)安全性的影響增大。這會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)調(diào)度員采用更保守的運(yùn)行方式，犧牲系統(tǒng)一定的經(jīng)濟(jì)性來(lái)滿足系統(tǒng)安全可靠運(yùn)行的要求。

圖1 總成本隨γ1值的變化曲線

圖2 總成本隨γ2值的變化曲線

(2)不同置信水平下的調(diào)度方案

置信水平反映地是滿足條件期望約束的概率水平。表1給出不同置信水平下的調(diào)度方案。由圖3可看出，系統(tǒng)的常規(guī)機(jī)組總發(fā)電成本隨著置信水平的提高而增大，因?yàn)橹眯潘皆礁?，電網(wǎng)運(yùn)行安全性越高，從而系統(tǒng)發(fā)電成本也會(huì)增加。

(3)分布特性未知時(shí)與傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化的不同特性

現(xiàn)實(shí)中存在難以得知隨機(jī)變量分布的情況，此時(shí)隨機(jī)規(guī)劃方法不適用，因而可采用矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法或傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化方法。

表1 不同置信水平下的調(diào)度方案 p.u.

圖3 總成本隨置信水平的變化曲線

以徑流水電為例，由于出力受氣象因素等多因素的綜合影響，其預(yù)測(cè)值可能不服從現(xiàn)有某一概率分布。如圖4所示，當(dāng)對(duì)該預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)偏差進(jìn)行分布擬合，利用KS檢驗(yàn)(Kolmogorov-Smirnov test)驗(yàn)證樣本的觀測(cè)經(jīng)驗(yàn)分布是否服從假設(shè)分布。

圖4 某預(yù)測(cè)出力值下的實(shí)際偏差

由表2可以看出，所有假設(shè)分布的顯著性水平均低于設(shè)定值。因此認(rèn)為該徑流水電出力預(yù)測(cè)偏差數(shù)據(jù)樣本不服從所有假設(shè)的常見(jiàn)分布。

表2 擬合分布的KS檢驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)徑流水電出力預(yù)測(cè)偏差數(shù)據(jù)不服從已知分布時(shí)，基于確定性分布的CVaR方法無(wú)從刻畫(huà)，不能求解。而文中的矩不確定分布式魯棒優(yōu)化是基于矩參數(shù)進(jìn)行建模求解，其矩參數(shù)比較容易獲取，不涉及具體分布類型，對(duì)分布未知的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)仍具有適用性。

(4)與矩確定的CVaR方法對(duì)比

矩不確定分布式魯棒方法在隨機(jī)規(guī)劃的基礎(chǔ)上，通過(guò)不確定集合描述其矩的不確定性，其對(duì)不確定性的描述更全面。在能夠獲取隨機(jī)變量完整分布特性的情況下，以CVaR方法為例進(jìn)行對(duì)比分析。

正態(tài)分布下CVaR方法計(jì)算的調(diào)度方案如表3所示，其總成本為467$，與基準(zhǔn)要求下DRO-MU所得方案相比偏低。這是由于CVaR方法沒(méi)有考慮分布的不確定性，導(dǎo)致發(fā)電成本較低的平衡機(jī)組出力比矩不確定分布式魯棒方法的調(diào)度方案大，故總成本偏低。

表3表示矩不確定魯棒優(yōu)化方法所得的調(diào)度方案與CVaR方法所得調(diào)度方案在不同正態(tài)分布下條件期望約束滿足的實(shí)際置信水平，即在給定調(diào)度方案下條件期望約束成立的實(shí)際概率。

表3正態(tài)分布下CVaR方法的調(diào)度方案

p.u.

由表4可知，在基準(zhǔn)要求下，兩種方法所得調(diào)度方案的置信水平均大于0.92，但采用CVaR方法所得調(diào)度方案在分布發(fā)生變化時(shí)，部分條件期望約束條件可能不滿足所要求的概率水平；而矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法均能達(dá)到要求的概率水平。這是由于矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法在建模時(shí)就考慮到了分布的不確定性，能有效計(jì)算不確定集范圍內(nèi)的安全性所需要達(dá)到的要求，故矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法的調(diào)度方案安全性更高。

表4 矩參數(shù)發(fā)生變化時(shí)實(shí)際置信水平對(duì)比

5 結(jié)論

矩不確定分布式魯棒優(yōu)化方法既適用于帶有矩不確定隨機(jī)變量的電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題，也適用于隨機(jī)變量概率分布未知的情況。對(duì)于分布未知的問(wèn)題，該方法與傳統(tǒng)魯棒優(yōu)化的在數(shù)學(xué)求解方法上有本質(zhì)區(qū)別，但計(jì)算結(jié)果均與不確定集參數(shù)的選擇相關(guān)；對(duì)于分布已知時(shí)，該方法比現(xiàn)有隨機(jī)規(guī)劃方法更充分利用了分布參數(shù)及其可能存在的隨機(jī)性。本文中采用矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法所得方案與具體分布下采用CVaR方法所得方案相比，調(diào)度成本稍高，但考慮矩的不確定性，方案安全性更強(qiáng)。該方法也可用于求解其他具有隨機(jī)性特點(diǎn)如價(jià)格、負(fù)荷、風(fēng)電等參數(shù)的不確定性問(wèn)題。