考慮初始宏細(xì)觀缺陷的裂隙巖體損傷本構(gòu)模型研究*

李克鋼，秦慶詞，楊寶威，張雪婭，郭 文，王 庭

(昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源工程學(xué)院，云南 昆明650093)

0 引言

天然地質(zhì)體中的巖體受地殼運(yùn)動(dòng)、人類開挖工程的擾動(dòng)以及風(fēng)化侵蝕等作用，巖體內(nèi)部難以避免地會(huì)生成各種不規(guī)則原生節(jié)理、裂隙網(wǎng)絡(luò)。節(jié)理、裂隙的幾何尺寸、物理特性以及空間分布位置的不同，劣化了巖體本身固有的抗壓、拉、剪能力，在降低工程巖體穩(wěn)定性的同時(shí)，也給多物理場(chǎng)下的巖體物理力學(xué)行為研究帶來(lái)了極大的困難。隨著巖石斷裂力學(xué)和統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)理論的不斷完善與發(fā)展，近年來(lái)，已有許多學(xué)者基于唯象學(xué)角度，運(yùn)用損傷力學(xué)理論對(duì)存在初始宏觀節(jié)理的裂隙巖體損傷本構(gòu)模型開展了大量且卓有成效的研究，例如：陳蘊(yùn)生等[1]針對(duì)宏觀裂隙和微觀孔隙2類不同層次損傷的演化特征，確定了表征這2類損傷的奇異損傷變量和分布損傷變量，推導(dǎo)出單向受壓條件下非貫通裂隙介質(zhì)損傷本構(gòu)方程；趙怡晴等[2]提出考慮宏觀和細(xì)觀缺陷耦合損傷的節(jié)理巖體本構(gòu)模型，證實(shí)了初始節(jié)理的存在極大地削弱了巖體峰值強(qiáng)度和剛度，而增大了其柔性；袁小青等[3-4]基于Lemaitre 應(yīng)變等效假設(shè)，建立了考慮宏細(xì)觀缺陷耦合的非貫通裂隙巖體在受載作用下的損傷本構(gòu)模型；趙航等[5]基于不同加載方式下裂隙巖體中彈性波傳播特性，建立了用彈性波波幅來(lái)表征的宏細(xì)觀裂隙耦合損傷的巖體本構(gòu)模型；曹文貴等[6]從受載條件下巖石孔隙率變化反映體積變化的角度出發(fā)，建立了考慮孔隙率變化的裂隙化巖體損傷本構(gòu)模型；喬彤等[7]引入自然應(yīng)變，對(duì)脆性巖石壓密段建立了脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型，壓密段存在的本質(zhì)亦是初始宏細(xì)觀損傷存在的直觀體現(xiàn)。

然而，由于天然地質(zhì)體節(jié)理裂隙的離散性、復(fù)雜性以及統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)特征的局限性，以上建立的本構(gòu)模型在表達(dá)巖石全應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系中存在1個(gè)共性的不足：對(duì)于初始含有宏細(xì)觀缺陷巖石在應(yīng)力環(huán)境中的耦合機(jī)制不明確。巖石裂隙的發(fā)育程度對(duì)巖石各強(qiáng)度特征的響應(yīng)規(guī)律不同，準(zhǔn)確定義巖石初始宏細(xì)觀損傷尤為關(guān)鍵[8-9]。雖然李樹春等[10]修正的裂隙巖石初始損傷系數(shù)對(duì)含有初始損傷的巖石本構(gòu)有了體現(xiàn)，但其損傷演化機(jī)制仍然不夠明確。

綜上，本文基于weibull分布特征的唯象學(xué)觀點(diǎn)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)對(duì)巖石受荷前的宏細(xì)觀損傷進(jìn)行定義，優(yōu)化傳統(tǒng)的巖石損傷演化本構(gòu)模型，通過定義初始損傷，引入初始損傷系數(shù)k，建立1種基于初始宏細(xì)觀缺陷的裂隙巖體損傷本構(gòu)方程，以期彌補(bǔ)已有本構(gòu)模型在不同環(huán)境下的巖石損傷狀態(tài)表達(dá)的不足，從而揭示初始宏細(xì)觀缺陷在受力過程中的耦合演變機(jī)制，這對(duì)多物理場(chǎng)耦合作用研究具有重要意義[11]。

1 考慮初始狀態(tài)損傷的裂隙巖體損傷本構(gòu)模型

深埋地下的巖石長(zhǎng)期經(jīng)受多物理場(chǎng)耦合作用影響，使得巖石隨機(jī)分布著各種微觀缺陷，這些微觀缺陷以微孔隙、微裂縫及內(nèi)部微裂紋形式存在。巖石統(tǒng)計(jì)損傷力學(xué)理論認(rèn)為，這些隨機(jī)缺陷服從某種分布，可以通過巖石內(nèi)部微單元強(qiáng)度變化進(jìn)行量化，從而研究微缺陷的產(chǎn)生、擴(kuò)展到損傷累積形成宏觀損傷致使巖石失效的過程，其反映的是材料失效的必然性，因此，巖石損傷統(tǒng)計(jì)理論得到了較好的發(fā)展與應(yīng)用。

1.1 基于weibull 分布特征的完整巖石受壓損傷本構(gòu)模型

假定巖石材料微單元強(qiáng)度服從weibull 分布[12]，則有：

(1)

式中：m和a均為常數(shù)；ε為材料壓縮產(chǎn)生的應(yīng)變。

材料微單元強(qiáng)度服從weibull分布，則可認(rèn)為材料的損傷D亦服從該分布[12]，則有：

(2)

式中：D為發(fā)生破壞的微元占總體微元的比例。

將式(2)帶入式(1)，求解得：

(3)

根據(jù)巖石損傷力學(xué)可知，巖石受壓損傷時(shí)，引入損傷變量D后的全應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式為：

σ=Eε(1-D)

(4)

式中：σ為名義應(yīng)力，MPa ；E為巖石材料彈性模量，MPa。

將式(3)帶入式(4)，有：

(5)

材料常數(shù)a，m計(jì)算公式如下[12]：

(6)

(7)

則可得完整巖石受荷過程損傷本構(gòu)關(guān)系：

(8)

式(8)中m與式(1)中材料常數(shù)意義等同，從物理學(xué)意義上，m值越大，反映出材料越接近彈性或脆性狀態(tài)，反之則越接近于塑性狀態(tài)；從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度，m值越大，反映出材料越均勻，反之則越離散。因此，可利用形狀參數(shù)m反映巖石材料的塑性特征。

1.2 考慮初始狀態(tài)損傷的裂隙巖體損傷本構(gòu)模型

1.2.1 巖體初始損傷變量的定義

對(duì)于完整巖石定義初始損傷變量D=0，即巖石內(nèi)部不存在宏細(xì)觀缺陷。事實(shí)上室內(nèi)試驗(yàn)中取芯機(jī)所取巖樣在試驗(yàn)前均存在宏細(xì)觀缺陷，裂隙巖體更是如此。為此本文在定義初始狀態(tài)含宏細(xì)觀缺陷損傷變量中作出以下假設(shè)：

1)試驗(yàn)過程中不存在宏細(xì)觀缺陷的巖石材料始終為線彈性材料。

2)對(duì)于宏細(xì)觀缺陷的區(qū)別以肉眼可見和不可見為基準(zhǔn)；研究表明：宏觀裂隙的存在導(dǎo)致巖體力學(xué)特性顯現(xiàn)出明顯的各向異性，細(xì)觀缺陷則顯現(xiàn)出各向同性特征[13-15]，初始宏細(xì)觀損傷對(duì)巖石的力學(xué)響應(yīng)特性不同，因此有必要展開初始存在宏細(xì)觀缺陷對(duì)巖石的響應(yīng)機(jī)制研究。

3)將巖石試樣試驗(yàn)前存在的損傷狀態(tài)定義為靜態(tài)損傷，靜態(tài)損傷巖石材料即表征含有宏細(xì)觀缺陷的巖石，采用D1表示試驗(yàn)前含有初始宏觀缺陷巖石損傷，D2表示試驗(yàn)前含有初始細(xì)觀缺陷巖石損傷；將由應(yīng)力環(huán)境改變引起的新附加損傷定義為動(dòng)態(tài)損傷，動(dòng)態(tài)損傷為因受力狀態(tài)、加載方式以及加載方向等外部條件變化引起的損傷。采用D3表征巖石在受荷載過程中產(chǎn)生的附加損傷，即動(dòng)態(tài)損傷。

4)含有缺陷的巖石在受荷過程中損傷不斷累積，直至發(fā)展成宏觀損傷破壞。從集合的角度，如圖1所示，D1表示為試驗(yàn)前巖石試樣中宏觀缺陷的集合，D2表示為試驗(yàn)前巖石試樣中細(xì)觀缺陷的集合，受力過程中D3均與受力前存在的初始宏細(xì)觀缺陷發(fā)生貫通交互作用，用全集Ω表示無(wú)損巖石材料，則受荷載過程中宏細(xì)觀耦合損傷之間的關(guān)系可用集合D123表示為：

D123=D1∪D2∪D3-[(D1∩D3)∪(D2∩D3)]

(9)

圖1 裂隙巖體受荷損傷機(jī)制示意Fig.1 Schematic diagram of the damage and damage mechanism of fractured rock mass

由圖1中的集合關(guān)系可知，試驗(yàn)前巖石的損傷程度(即初始存在的宏細(xì)觀損傷)可用損傷變量D12表示：

D12=D1+D2

(10)

試驗(yàn)過程中受荷載時(shí)，D3與試驗(yàn)前存在的初始損傷發(fā)生耦合關(guān)系，根據(jù)損傷原理和Lemaitre應(yīng)變等效假設(shè)可知，試驗(yàn)前含有損傷的巖石彈性模量可等效為：

E12=E(1-D12)

(11)

受力過程中巖石的損傷是漸進(jìn)連續(xù)的，則連續(xù)耦合損傷巖石材料的彈性模量為：

E123=E12(1-D3)

(12)

將式(10)、(11)帶入式(12)可得：

E123=E(1-D1-D2-D3+D2D3+D1D3)

(13)

式中：E123為裂隙巖石彈性模量，MPa；E為完整巖石彈性模量，MPa。

則巖石在受力過程中初始宏細(xì)觀缺陷耦合損傷變量D123：

D123=D1+D2+D3-(D1+D2)D3

(14)

試驗(yàn)前，當(dāng)巖石只含初始宏觀缺陷損傷而無(wú)細(xì)觀缺陷損傷時(shí)(D2=0)，巖石耦合損傷D123=D1；當(dāng)荷載環(huán)境變化產(chǎn)生動(dòng)態(tài)損傷D3耦合作用時(shí)，D123=D1+D3-D1D3。同理，當(dāng)只有初始細(xì)觀缺陷損傷而無(wú)宏觀缺陷損傷時(shí)(D1=0)，在受力環(huán)境下D123=D2+D3-D2D3，與實(shí)際情況吻合。并能夠解釋劉紅巖等[16-17]認(rèn)為文獻(xiàn)[5]提出的宏細(xì)觀耦合損傷變量D23=D2+D3-D2D3缺乏理論基礎(chǔ)的原因，在于其將宏細(xì)觀損傷簡(jiǎn)化為宏觀可視損傷，即文獻(xiàn)[5]的定義方式為本文中單純考慮存在初始宏觀缺陷時(shí)在受壓試驗(yàn)過程中的耦合損傷，文獻(xiàn)[13-15]已述細(xì)觀損傷對(duì)巖石的影響與宏觀不同，因此本文定義的損傷變量是合理的，且更全面、具體，物理意義更加明確。

1.2.2 含初始缺陷損傷巖石本構(gòu)模型

當(dāng)不考慮初始細(xì)觀損傷影響時(shí)，式(14)表征的是考慮初始宏觀損傷影響的耦合損傷變量；當(dāng)不考慮初始宏觀損傷影響時(shí)，其表征的是考慮初始細(xì)觀損傷影響的耦合損傷變量。而對(duì)于宏觀裂隙，其影響為各向異性，需將其進(jìn)行張量化(即將損傷變量標(biāo)量化)，張量化后D1=Disin2β[2]。對(duì)于細(xì)觀損傷D2的確定，由于其產(chǎn)生的影響為各向同性，則張量化后結(jié)果相同，即D2=D2。因肉眼難以看見，不便于測(cè)量和量化，目前則更多依賴于無(wú)損檢測(cè)儀器(如核磁共振弛豫測(cè)量、CT等)以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合求解。初始損傷系數(shù)表征巖石試驗(yàn)前巖石的完整程度，則：

k=1-(D1+D2)

(15)

式中：k為初始損傷系數(shù)；D1，D2均為張量化后結(jié)果。

將式(15)帶入式(14)，可得到試驗(yàn)過程中考慮初始狀態(tài)宏細(xì)觀損傷缺陷的耦合連續(xù)損傷D123：

D123=1-k+kD3

(16)

式中：D3為由受力引起的巖石內(nèi)部發(fā)生破壞微元與巖石總體微元的比例。

由于微元破壞發(fā)生的隨機(jī)性，假設(shè)巖石微元強(qiáng)度服從weibull隨機(jī)分布，則D3可等效為完整巖石受力發(fā)生破壞的微元占總體微元的比例，即：

(17)

結(jié)合式(4)和式(16)，同理可得出對(duì)試驗(yàn)前含有初始宏細(xì)觀缺陷損傷的巖石受壓過程應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系：

σ=E123·ε·(1-D123)

(18)

式中：σ為名義應(yīng)力，MPa；E123為裂隙巖石材料彈性模量，MPa；D123為試驗(yàn)時(shí)受力過程中巖石內(nèi)部破壞微元占總體微元的比例。

將式(16)、(17)帶入式(18)可得裂隙巖石受荷載過程中全應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)方程：

(19)

設(shè)微單元破壞前服從廣義虎克定律，即可將考慮初始狀態(tài)損傷全應(yīng)力應(yīng)變損傷本構(gòu)方程推廣至三維：

(20)

式中：E為巖石單軸壓縮彈性模量，MPa；k為初始損傷系數(shù)；μ為巖石泊松比；σ2，σ3為圍壓，MPa其他符號(hào)意義同上。

該方程表征了復(fù)雜應(yīng)力條件下，基于唯象學(xué)觀點(diǎn)建立的服從weibull分布特征裂隙巖體全應(yīng)力應(yīng)變損傷本構(gòu)關(guān)系，m表征裂隙巖石材料微元強(qiáng)度的離散性或宏觀塑性強(qiáng)弱特征。

2 初始宏細(xì)觀缺陷損傷演化特征

2.1 基于weibull分布特征的宏細(xì)觀損傷參數(shù)演化特征

上述確定了含初始宏細(xì)觀缺陷巖石受荷過程損傷與力學(xué)的關(guān)系，式中初始損傷系數(shù)k和微元強(qiáng)度分布參數(shù)m反映了受力作用時(shí)巖石的力學(xué)特征以及損傷狀態(tài)。由式(16)可知耦合損傷與靜態(tài)損傷、動(dòng)態(tài)損傷的耦合關(guān)系，如圖2所示。

圖2 靜態(tài)損傷與動(dòng)態(tài)損傷耦合關(guān)系Fig.2 Static damage and dynamic damage coupling curve

由圖2可知，巖石所能承受的臨界損傷Dcr是一定的，在受力過程中，動(dòng)態(tài)損傷D3以同等速率增加，則初始損傷越大，其達(dá)到臨界損傷所需時(shí)間越短，即所需破壞時(shí)間越短，這與實(shí)際是吻合的。假設(shè)耦合損傷達(dá)到某一定值，將式(15)帶入式(16)可得初始損傷在此過程中的演化過程，演化曲線如圖3所示。

或

(21)

同理：

(22)

(23)

圖3 受荷過程損傷演化Fig.3 Damage evolution curve of the loaded process

圖3顯示出宏細(xì)觀損傷在受荷過程中的演變過程，巖石在受荷過程中經(jīng)歷了4個(gè)損傷演化階段：

1)初始的“無(wú)損”階段。并不是真正“無(wú)損”，而是由于孔隙、微裂隙的壓密過程并未產(chǎn)生或很少產(chǎn)生新附加損傷。

（2）雖然當(dāng)前世界局勢(shì)以和平為基調(diào)，各個(gè)西方大國(guó)的社會(huì)形勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定，但是石油儲(chǔ)量最為豐富的非洲一些國(guó)家近年來(lái)國(guó)內(nèi)政局并不穩(wěn)定，領(lǐng)導(dǎo)人經(jīng)常更替，不利于勝利油田海外業(yè)務(wù)的發(fā)展。

2)彈性損傷階段。該階段宏細(xì)觀損傷穩(wěn)定擴(kuò)展，且擴(kuò)展緩慢，意味著彈性變形對(duì)巖石的損傷影響較小，其損傷主要來(lái)自于微元強(qiáng)度較弱的基元。

3)塑性損傷階段。巖石受壓發(fā)生塑性損傷，塑性變形使得損傷面積快速增長(zhǎng)，顯現(xiàn)為損傷加速擴(kuò)展。

4)峰后損傷破壞階段。峰后巖石主要發(fā)生塑性變形，巖石損傷表現(xiàn)為迅速擴(kuò)展，巖石完整性隨之迅速下降，最終導(dǎo)致巖石破壞。

此演化過程與楊永杰等[18]的物理試驗(yàn)結(jié)果吻合。

2.2 weibull分布參數(shù)m力學(xué)響應(yīng)分析

前文已經(jīng)敘述了weibull分布參數(shù)m變化帶來(lái)的響應(yīng)變化，分布參數(shù)m是表征微元強(qiáng)度離散性大小的綜合指標(biāo)，也是宏觀強(qiáng)度差異存在的直觀表征。因此，分析分布參數(shù)m在本文本構(gòu)方程中帶來(lái)的力學(xué)響應(yīng)及其損傷演變過程，可揭示巖石受荷損傷過程宏細(xì)觀缺陷耦合損傷機(jī)制。

根據(jù)巖石損傷的定義，當(dāng)巖石達(dá)到峰值強(qiáng)度時(shí)的損傷為臨界損傷Dcr，因此，具有初始宏細(xì)觀損傷的缺陷的巖石峰值強(qiáng)度σp：

或

(24)

σp=Eεmax(1-Dcr)

由式(24)知，巖石的初始損傷系數(shù)與其峰值強(qiáng)度呈線性遞增關(guān)系，與巖石微元強(qiáng)度分布參數(shù)m成負(fù)指數(shù)關(guān)系，從連續(xù)損傷的角度，同種性質(zhì)的巖石初始損傷越大，巖石破壞所需強(qiáng)度越低。則可將初始損傷系數(shù)k作為裂隙巖石相比于完整巖石的強(qiáng)度折減系數(shù)，1-k則表示損傷場(chǎng)-應(yīng)力場(chǎng)耦合影響因子，初始損傷系數(shù)可通過物理試驗(yàn)確定:

(25)

式中：E為巖石彈性模量，MPa；EM為過峰荷點(diǎn)的割線模量，MPa；σp為峰值強(qiáng)度點(diǎn)，MPa；εmax為峰值應(yīng)變。

3 模型驗(yàn)證與分析

3.1 本構(gòu)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中所建立的三軸受壓損傷演化本構(gòu)關(guān)系的準(zhǔn)確性，引用文獻(xiàn)[19]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別對(duì)砂巖圍壓為0，3.45，6.90，13.80 MPa時(shí)的三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，依據(jù)本文公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)不同圍壓下的物理力學(xué)參數(shù)，見表1，由三軸試驗(yàn)結(jié)果擬合得到圍壓與峰值強(qiáng)度和分布參數(shù)m的關(guān)系如圖4所示。

表1 巖石物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Rock physical and mechanical parameters table

圖4 峰值應(yīng)變/分布參數(shù)m與圍壓關(guān)系Fig.4 Relationship between peak strain/distribution parameter m and confining pressure

根據(jù)圖4中擬合結(jié)果，得到峰值應(yīng)變、分布參數(shù)與圍壓關(guān)系：

εmax=2.784+0.082 15σ3

(26)

m=3.53-0.064 8σ3

(27)

由此可認(rèn)為，對(duì)于圍壓對(duì)彈模影響較小的紅砂巖，在不同圍壓作用下的峰值應(yīng)變滿足線性遞增規(guī)律，分布參數(shù)滿足線性遞減規(guī)律，該線性關(guān)系為：

y=a+bσ3

(28)

式中：a，b分別為擬合參數(shù)，可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。

則根據(jù)本文模型，紅砂巖三軸壓縮本構(gòu)關(guān)系為：

(29)

式(29)中假設(shè)圍壓對(duì)彈性模量沒有影響(如本文所引用數(shù)據(jù))，則彈性模量即為單軸壓縮下的彈性模量，可根據(jù)單軸壓縮試驗(yàn)獲取三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果。模型擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 本文模型與實(shí)測(cè)曲線對(duì)比Fig.5 Comparison between the curve of this paper and the measured curve

由圖5可知，本文本構(gòu)模型對(duì)不同圍壓下的紅砂巖全應(yīng)力-應(yīng)變過程擬合精度較高，說明其合理性與準(zhǔn)確性，表明模型是可靠的。

3.2 含初始宏細(xì)觀損傷巖石不同圍壓損傷演化特征

以往大量的研究中并未考慮初始宏細(xì)觀損傷的影響，根據(jù)本文建立的損傷演化模型，得出含初始宏細(xì)觀耦合損傷的三軸壓縮損傷演化曲線如圖6所示。

圖6 紅砂巖三軸壓縮損傷演化過程Fig.6 Evolution process of triaxial compression damage of red sandstone

由圖6可以看出：巖石三軸壓縮損傷演化過程經(jīng)歷“無(wú)損”→損傷穩(wěn)定發(fā)展→損傷加速累積→損傷迅速累積破壞4個(gè)過程。且不同圍壓下的損傷擴(kuò)展速率不同，即隨著圍壓的增大，損傷擴(kuò)展速率放緩，這是由于圍壓作用巖石塑性軟化作用加強(qiáng)，變形承載能力增加。因此，圍壓的作用可有效延長(zhǎng)巖石破壞的時(shí)間，增大巖石承載能力，這也揭示了巖石的巖爆發(fā)生機(jī)制，即卸除圍壓損傷累積速率加快，導(dǎo)致巖石破壞具有突發(fā)性的特點(diǎn)。

4 結(jié)論

1)優(yōu)化后的本構(gòu)模型對(duì)含宏細(xì)觀缺陷的巖石三軸受壓應(yīng)力應(yīng)變過程擬合精度高，參數(shù)明確。

2)定義的宏細(xì)觀損傷變量揭示了初始宏細(xì)觀損傷在受荷過程中的耦合作用，定義的初始宏細(xì)觀損傷系數(shù)k可作為裂隙巖石的強(qiáng)度折減系數(shù)，(1-k)則可作為損傷場(chǎng)-應(yīng)力場(chǎng)耦合影響因子。

3)巖石三軸受壓時(shí)經(jīng)歷4個(gè)損傷演變過程，“無(wú)損”→損傷穩(wěn)定發(fā)展→損傷加速累積→損傷迅速累積破壞，4個(gè)過程表征著巖石受壓損傷隨變形增加的演變機(jī)制，且隨著圍壓的增大，巖石損傷速率放緩，破壞時(shí)臨界損傷增加，塑性承載力增強(qiáng)。

4)引用的文獻(xiàn)數(shù)據(jù)均來(lái)自紅砂巖，因此針對(duì)其他類型含有宏細(xì)觀缺陷的巖石仍有待進(jìn)一步研究。