關鍵點彎矩值結(jié)合各段線形的彎矩圖分段繪制方法研究

張 延，王鳳嬌

(安徽水利水電職業(yè)技術學院，安徽 合肥 231603)

在材料力學和結(jié)構(gòu)力學教學過程中，桿系結(jié)構(gòu)彎矩圖的繪制既是重點，也是難點。常用教材介紹的繪圖方法有“方程式法”、“疊加法”[3]等。本文根據(jù)多年教學實踐提出“關鍵點彎矩值結(jié)合各段線形的彎矩圖分段繪制方法”，此方法原理明晰，繪圖快速準確，即適用于直接繪制多種桿系結(jié)構(gòu)形式的彎矩圖，也可結(jié)合“力法”繪制超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖。

1 繪圖方法

運用關鍵點彎矩結(jié)合各段線形的彎矩圖分段繪制方法繪制彎矩圖外包線，主要包括3個步驟：通過分段點對桿系結(jié)構(gòu)進行分段；確定各段關鍵點及對應彎矩值；運用各段的線形連接各段的關鍵點彎矩值并成圖。

(1)分段點。主要是①集中力作用點、②集中力偶作用點、③分(均)布荷載的兩端點、④鉸結(jié)點、⑤剛結(jié)點等。這些分段點中的2個或2個以上有可能重合，如集中力作用點可能也是集中力偶作用點和均布荷載的1個端點。

(2)各段關鍵點及彎矩值確定。包括①端點。若為整個結(jié)構(gòu)的兩端點之一，當無力偶作用時彎矩為零，當有力偶作用時彎矩為力偶矩的大??；若為結(jié)構(gòu)中部的分段點，彎矩值由截面一側(cè)的所有外力(偶)對截面形心的力(偶)矩代數(shù)和確定。②中點。針對均布荷載作用段，中點彎矩值由“疊加法”[3]思想確定。③極值點。針對均布荷載作用段，由剪力為0的點確定。這些關鍵點的彎矩值確定后，點繪在桿件受拉側(cè)。

(3)各段線形包括。①水平線。分段點的一側(cè)無外力作用，剪力始終為零(Q(x)=0)時。②斜直線。無荷載作用段，當剪力圖為水平線(Q(x)=a，且a≠0)時。 ③二次拋物線。均布荷載作用段，當剪力圖為斜直線(Q(x)=ax+b，且a≠0)時。這是由彎矩、剪力與荷載集度間的關系確定。線形確定后，運用各段的線形連接上述點繪的各段關鍵點彎矩值，即完成了彎矩圖外包線的繪制。

2 繪圖技巧

因為結(jié)構(gòu)兩端點的彎矩值往往已知(為0或為集中力偶矩的大小)，而且越靠近2端的點，彎矩值越容易判斷(截面一側(cè)的外力對截面形心的力矩代數(shù)和)，所以運用此方法繪制彎矩圖的重要技巧是：結(jié)合線形從結(jié)構(gòu)兩端往結(jié)構(gòu)中部繪圖；在繪制鉸接多跨梁和平面剛架時，也有需注意掌握的技巧，詳見后文示例。

除受力特別復雜的情況外，運用此方法結(jié)合繪圖技巧繪圖，往往無需手算彎矩值，就能完成整個結(jié)構(gòu)的彎矩圖繪制。

3 繪圖方法運用

3.1 繪制單桿件靜定梁的彎矩圖

以繪制如圖1(a)所示AD梁的彎矩圖為例。首先根據(jù)平衡條件確定約束反力，如圖1(b)所示，再根據(jù)“增量法”快遞繪制剪力圖，作為直觀判斷彎矩圖線形，和確定均布荷載作用段極值點的依據(jù)，如圖1(c)所示，最后從兩端往中間一邊判斷關鍵點的彎矩值，并點繪在受拉側(cè)，一邊通過線形連接關鍵點成圖，如圖1(d)所示。

按照前文描述的繪圖技巧，首先確定桿件兩端點的彎矩值：a點為0，d點為8(上側(cè)，由M產(chǎn)生)；再逐漸往中間判斷：b點為16(上側(cè)，由F×2產(chǎn)生)，c點為8(上側(cè)，由M產(chǎn)生)；然后用斜直線、水平線分別連接ab、dc；最后用拋物線連接bc，并補充拋物線中段1個點的彎矩值即可成圖，bc間補充的點可選擇中點e，或極值點f(當需要了解極值時)。繪圖順序如圖1(d)箭頭所示。

圖1 繪制梁AD的變矩圖

3.2 繪制鉸接多跨靜定梁的彎矩圖

以繪制如圖2(a)所示AE梁的彎矩圖為例。先求解約束反力并快速繪制剪力圖，如圖2(b)和圖2(c)所示,再依次判斷a(0)、e(0)、b(6，下側(cè)，由FAy×1.5產(chǎn)生)、c(0)、d(4，上側(cè),由比例關系確定)的彎矩值并點繪受拉側(cè)；最后運用各段線形連接這些關鍵點，并補充f或g點成圖，如圖2(d)所示。

繪制鉸接多跨靜定梁的重要技巧是：彎矩圖直線穿過鉸結(jié)點且斜率保持不變(無荷載作用段)。

如圖2(d)中的bcd段。因C點左右兩側(cè)直線斜率相同，d點的彎矩值4可由比例關系確定(1.5∶1=6∶4)。

圖2 繪制多跨梁AE的變矩圖

3.3 繪制靜定平面剛架的彎矩圖

以繪制如圖3(a)所示AE剛架的彎矩圖為例。仍先求解約束反力并快速繪制此剛架的剪力圖，如圖3(b)和圖3(c)所示。再依次確定b(0)、e(0)、c(32，外側(cè)，由F×1.5產(chǎn)生)、c'(32，=c，上側(cè)，節(jié)點平衡)、d(64，外側(cè)，由FEx×4產(chǎn)生)、d'(64，=d，上側(cè)，節(jié)點平衡)的彎矩值并點繪受拉側(cè)；最后運用線形連接關鍵點并補充f或g點成圖，如圖3(d)所示。

繪制平面剛架彎矩圖的重要技巧是：剛結(jié)點柱、梁兩側(cè)截面彎矩相同且在同側(cè)(無集中力偶作用在結(jié)點上)。

即通俗的說法“內(nèi)傳內(nèi)，外傳外”。這是由結(jié)點平衡決定的。如圖3(d)中的C點和D點，當從剛架的兩端向中間繪圖時，得出了柱端彎矩值，也就知道了梁端彎矩值，且同在剛架外側(cè)，如圖3(d)的c、c'和d、d'。

圖3 繪制鋼架AE的彎矩圖

3.4 繪制超靜定平面剛架的彎矩圖

以繪制如圖4(a)所示超靜定平面剛架AD的彎矩圖為例。與繪制靜定平面剛架唯一的不同，是需要先借助“力法”[4]求約束反力，后面的步驟與繪制靜定平面剛架的彎矩圖相同。如圖4(d)所示。

圖4 繪制超靜定剛架AD的彎矩圖

4 結(jié)束語

在繪制彎矩圖之前先繪出剪力圖，是看中剪力圖與彎矩圖各段的相互對應關系，對繪制彎矩圖有重要提示作用，并利用剪力圖準確判斷均布荷載段彎矩的極值點。

掌握了這種繪制彎矩圖的基本方法和繪圖技巧，會使繪圖更加簡單、直觀、易于操作、適用性強。有效避免了傳統(tǒng)方法抽象且運算量較大的問題?？稍诮虒W過程中作為傳統(tǒng)方法的有益補充并推廣運用。