一維泊松方程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及對PDEs的精確解

張秀英

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一維泊松方程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及對PDEs的精確解

張秀英

鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河南 鄭州 451460

關(guān)于PDEs的精確解問題，在實(shí)際求解中較為困難。本文以一維泊松方程為例，結(jié)合Lie對稱方法和Wu方法分析方程的古典對稱，計(jì)算單參數(shù)的無窮小向量，并設(shè)計(jì)方程的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，通過兩個(gè)定義得出一維泊松方程的最優(yōu)換位和伴隨算子，由此優(yōu)化方程結(jié)構(gòu)。以此為基礎(chǔ)計(jì)算一維泊松方程最優(yōu)結(jié)構(gòu)單個(gè)元素對PDEs的精確解，在兩種古典對稱情況下，分別求出對PDEs的兩個(gè)新解。此結(jié)果對PDEs精確解問題是一次有新意的嘗試。

一維泊松方程; PDEs; 精確解

泊松方程屬于一種偏微分方程（PDEs），在靜電學(xué)和機(jī)械工程學(xué)中經(jīng)常用到。關(guān)于PDEs的求解較為困難，常用的是Lie對稱方法，通過Lie解析PDEs的對稱性，由此找到精確解。但是對稱群的子群通常無窮多，這賦予了精確解無窮多的可能性。為了找出等價(jià)的精確解，需要分類所有子群[1]。對于一維泊松方程來說，它的結(jié)構(gòu)優(yōu)化至關(guān)重要，最優(yōu)結(jié)構(gòu)下的一維泊松方程可以有效拓展應(yīng)用領(lǐng)域，并且成為PDEs求解的關(guān)鍵之一。Lie對稱方法盡管能夠確定泊松方程的無窮小向量，但數(shù)據(jù)量大，計(jì)算過程復(fù)雜。而Wu方法能夠克服這一缺陷。最近幾年以來，Wu方法在微分領(lǐng)域得到了一定推廣，該方法最早應(yīng)用于純代數(shù)領(lǐng)域，但它的一些算法適用于PDEs對稱和分類問題的解決，展現(xiàn)出較高的應(yīng)用價(jià)值。通過一維泊松方程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化以及對PDEs的精確解，拓展了PDEs的求解途徑。

1 一維泊松方程的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

1.1 一維泊松方程對稱性分析

一維泊松方程如式（1）所示：u+2uu-(1-)u=0 (1)

上式中(,,)、(,,)、(,,)作為對稱向量無窮小的函數(shù)。按照Lie算法可以得出與方程（1）所對稱的確定方程組，但難以手動(dòng)進(jìn)行求解。以Wu的微分特征算法可以計(jì)算出與該確定方程組相對應(yīng)的特征方程組：===0，==0，==0，-=0，-=0

對以上方程組進(jìn)行求解，得出無窮小函數(shù)：=1+2，=1+5，=1+3+4

在以上函數(shù)中，1到5屬于任意函數(shù)，無窮小的向量則能用以下公式計(jì)算：

1.2 一維泊松方程的最優(yōu)結(jié)構(gòu)

計(jì)算出公式（1）各對稱參數(shù)的無窮小向量，就可以分析一維泊松方程的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

由此得出下面等式：[X,X]=-[XX]

按照以上兩個(gè)定義，得出公式（1）的最優(yōu)換位和伴隨算子，如表1和表2所示。

表 1 一維泊松方程最優(yōu)換位表

表 2 一維泊松方程的伴隨算子表

按照一維泊松方程最優(yōu)結(jié)構(gòu)的求解方法，假設(shè)?510，由5構(gòu)建Lie代數(shù)，公式如下：

=11+22+33+44+55(2)

上式中的1到5屬于任意常數(shù)。

（1）設(shè)110，若使1=1，公式（2）可用以下表示：=1+22+33+44+55

設(shè)￠=(exp(3))，計(jì)算之后以下等式成立：￠=1+(2-)2+33+(4+5)4+55

使=2，以下等式成立：￠=1+33+(4+25)4+55

在￠中作用(exp(5))，則2=(exp(5))￠，在計(jì)算之后以下等式成立：

2=1+33+(4+25-3)4+(5-)5

設(shè)=5，則2=1+33+(4+25-35)4。在2中作用(exp(4))，則2￠=(exp(4))2，在計(jì)算之后以下等式成立：2￠=1+33+(4+25-35-)4

設(shè)=4+25-35，則2￠=1+33。由此可知伴隨算子到這一步將無法繼續(xù)使用。

（2）設(shè)1=0，510，若使5=1，公式（2）可用以下表示：=22+33+44+5

在￠中作用(exp(3))，則￠=(exp(3))，計(jì)算之后等式￠=22+33+(4-)4+55成立。

設(shè)=4，則￠=22+33+55。由此可知伴隨算子到這一步將無法繼續(xù)使用。

（3）設(shè)1=5=0，210，若使2=1，公式（2）可用以下表示：=2+33+44

在中作用(exp(5))，則￠=(exp(5))，計(jì)算之后以下等式成立：￠=2+33+(4-3)4

設(shè)=4/3，則￠=2+33。由此可知伴隨算子到這一步將無法繼續(xù)使用。

（4）設(shè)1=2=5=0，310，若使3=1，公式（2）可用以下表示：=3+44

在中作用(exp(5))，則￠=(exp(5))，計(jì)算之后以下等式成立：￠=3+(4-)4

設(shè)=4，則￠=3。由此可知伴隨算子到這一步將無法繼續(xù)使用。

（5）設(shè)1=2=3=5=0，410，若使4=1，則=4。由此可知伴隨算子至此將無法繼續(xù)使用。

根據(jù)以上5個(gè)步驟的分析，一維泊松方程的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如下：

2 一維泊松方程對PDEs的精確解

根據(jù)式（4）可得出不變量=/，由于()/=()/(+)，得出=-+()，代入式（1）可得：

將以上變換群在精確解1(,)中進(jìn)行作用，得出對PDEs的另一個(gè)新解：

3 討論

關(guān)于PDEs的求解問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入的探索。法國學(xué)者M(jìn)azurenko為了控制PDEs的模糊邊界，提出了一種邊界控制模型，該模型需要PDEs的精確解支撐，他提出了PDEs精確求解的幾種方法[2]。Arshed綜合了國際數(shù)學(xué)界關(guān)于PDEs求解的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)做法，提出一種隨機(jī)偏微分方程最優(yōu)控制方法，其中就涉及到PDEs精確解問題[3]。朝魯教授在研究微分算法應(yīng)用中，提出了Wu算法在PDEs求解中的使用，以此得出平面應(yīng)力方程組的古典對稱[4]。李吉娜等通過廣義條件對稱法，對偏微分方程的對稱約化問題進(jìn)行研究，使偏微分方程的初值約化得到解決[5]?？傮w來看，PDEs求解問題的徹底解決，還有很長一段路要走，但隨著國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的努力，會(huì)有越來越多的方法。

4 結(jié)論

PDEs求解在工程領(lǐng)域的應(yīng)用越來越普遍，尤其計(jì)算它的精確解更為重要。泊松方程作為PDEs的一個(gè)分支，通過一維泊松方程求對PDEs的精確解有一定代表性。本文結(jié)合Lie對稱方法和Wu方法分析一維泊松方程的古典對稱，設(shè)計(jì)出該方程的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，并計(jì)算最優(yōu)結(jié)構(gòu)中相應(yīng)元素的Lie變換群，分析最優(yōu)結(jié)構(gòu)單個(gè)元素對PDEs的精確解，在兩種古典對稱情況下，得出對PDEs的兩個(gè)新解。此結(jié)果對PDEs精確解問題的解決開拓了一條新途徑。

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[2] Stanislav M. Partial Differential Equation for Evolution of Star-Shaped Reachability Domains of Differential Inclusions[J]. Set-valued and variational analysis, 2016,24(2):333-354

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[4] 朝魯.產(chǎn)生和求解PDEs對稱確定方程組的微分特征列集算法理論及其應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1988(3):16-21

[5] 李吉娜,楊靜,陳媛媛,等.一類三階偏微分方程的對稱約化[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2018(14):287-292

Structural Optimization of One-dimensional Poisson Equation and Its Exact Solution to PDEs

ZHANG Xiu-ying

451460,

The exact solution of PDEs is difficult in practice. Taking one-dimensional Poisson equation as an example, the symmetry of the equation is analyzed by Wu method, and the optimal structure of the equation is designed. The optimal transposition and adjoint operators of one-dimensional Poisson equation are obtained by two definitions, thus the structure of the equation is optimized step by step. On this basis, the exact solution of PDEs for single element of optimal structure of one-dimensional Poisson equation is calculated by invariant method. Under two classical symmetry conditions, two new solutions for PDEs are obtained respectively. This result is a new attempt to solve PDEs precisely.

One-dimensional Poisson equation; PDEs; exact solution

O29

A

1000-2324(2018)06-0995-03

10.3969/j.issn.1000-2324.2018.06.018

2018-03-12

2018-05-10

2017年度河南省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目(2017SJGLX570);2018年度河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目計(jì)劃(19B880029)

張秀英(1965-),女,本科,副教授,主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究. E-mail:zhangxiuying588@163.com