雙曲QK空間與Carleson測度

唐樹安

（貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

1 預(yù)備知識

我們用 D＝｛z：z＜1｝表示復(fù)平面上的單位圓盤，用?D＝｛z：z＝1｝表示單位圓周。用H（D）表示單位圓內(nèi)解析函數(shù)的全體，記 B（D）＝｛f∈ H（D）：f（z） ＜1｝。設(shè) f∈ B（D），其雙曲導(dǎo)數(shù)定義為 f*（z）＝。借助于雙曲導(dǎo)數(shù)，我們可以定義一些有界解析函數(shù)類，稱之為雙曲型函數(shù)空間。對這類函數(shù)空間的研究由來已久，1979年S.Yamashita在文獻(xiàn)［1］中提出了雙曲Hp的概念，又于1981年在文獻(xiàn)［2］中提出了雙曲Dirichlet空間的概念，很多學(xué)者考慮了其他解析函數(shù)空間所對應(yīng)的雙曲型空間［3-6］。本文將借助于Carleson測度來研究雙曲QK空間及其上面的復(fù)合算子。下面我們給出一些本文需要的定義和記號。

其對應(yīng)的雙曲QK空間定義如下：

近年來，QK空間受到了廣大學(xué)者的關(guān)注，有大量的研究出現(xiàn)［8-11］。

本文中我們用C表示正的常數(shù)，用A≈B表示存在正的常數(shù)C使得A≤B≤C A，我們也總假設(shè)權(quán)函數(shù)K滿足下列條件：

（1）K為非減函數(shù)；

（2）K在（0，1）上二階可微；

（4）K（t）＝K（1）＞0（t≥ 1）；

（5）K（2t）≈ K（t）（t≥ 0）；

對單位圓周上的圓弧 I? ?D，記集合 S（I）＝｛rζ∈ D：1-｜I｜＜r＜1，ζ∈ I｝，這里I表示I的弧長，如果｜I｜≥1，我們就假設(shè)S（I）＝D。我們稱一個正的Borel測度μ為有界的K-Carleson測度，如果

我們首先得到下列雙曲QK空間的Carleson測度刻畫：

定理1 設(shè)f∈B（D），則下列三個式子等價：

（3）f*（z）d A（z）是單位圓盤上的 K-Carleson測度。

我們也考慮雙曲QK空間上的復(fù)合算子的有界性。設(shè)?是單位圓到自身的解析函數(shù)，在解析函數(shù)空間H（D）上，我們可以定義復(fù)合算子C?（f）＝f??，f∈H（D）。在不同的函數(shù)空間上研究復(fù)合算子的有界性和緊性是一個重要而有趣的問題，這種算子的研究非常依賴于函數(shù)空間的性質(zhì)以及解析函數(shù)?的幾何和分析性質(zhì)。對于Bloch型空間到QK空間的復(fù)合算子有了很多很有意義的研究，見文獻(xiàn)［12-18］。在文獻(xiàn)［17］中，作者研究了雙曲α-Bloch空間到雙曲QK空間的復(fù)合算子。本文我們將用Carleson測度來刻畫雙曲對數(shù)型Bloch空間到雙曲QK空間的復(fù)合算子的有界性，一個有趣的結(jié)果是我們得到雙曲型QK空間的復(fù)合算子的有界性與經(jīng)典QK空間的復(fù)合算子有界性的一個等價刻畫。我們首先給出對數(shù)型Bloch空間的定義［4-5］。設(shè)0＜α＜∞，對數(shù)型α-Bloch空間定義如下：

小對數(shù)型α-Bloch空間定義如下：

相應(yīng)的雙曲對數(shù)型α-Bloch空間定義如下：

小雙曲對數(shù)型α-Bloch空間定義如下：

我們得到下述定理：

定理2 設(shè)?是單位圓到自身的解析函數(shù)且0＜α＜1，則下列三個式子等價：

推論1 設(shè)?是單位圓到自身的解析函數(shù)且且0＜α＜1，則下列三個式子等價：

（1）C?：→有界；

（2）C?：→有界；

（3）C?：Bα，log→ QK有界。

我們將在第二節(jié)證明定理1，在第三節(jié)證明定理2以及推論3的證明。

2 定理1的證明

為了證明定理1，我們需要下述引理。

引理1［19］設(shè)μ是單位圓上的一個正的Borel測度，則μ是一個有界的K-Carleson測度當(dāng)且僅當(dāng)

下面我們開始定理1的證明。

證明（1）?（2），設(shè) w＝?a（z），因為 2g（z，a）≥ 1-｜?a（z）｜2，我們由權(quán)函數(shù) K的性質(zhì)（5），得到

因此（2）式成立。

（2）?（3），取 dμ＝f*（z）d A（z），由引理 4，我們得到證明。

（3）?（1），假設(shè)（3）成立，我們有

因為 f*（z）d A（z）是單位圓盤上的 K-Carleson測度，我們得到

于是我們推出

我們令 K（（1-｜z｜）／22n｜I｜）＝t，且 2-n＝s，于是

所以

這樣就證明了f∈Q*K，定理證畢。

3 定理2的證明

為了證明定理2，我們需要下述引理。

引理2［12］設(shè)0＜α＜∞，存在兩個函數(shù) f1，f2∈ Bα，log以及正的常數(shù) C＞0使得

定理2的證明：（1）?（2）是顯然的，下面我們證明（2）?（3）。由假設(shè)，我們有0＜α＜1，由引理2，存在兩個解析函數(shù)f1和f2，使得

所以，我們推出

令 0＜t＜1，那么 hi，t（z）＝hi（tz）∈ B*α，log，0，i＝1，2。所以由定理條件（2），我們得到

接下來我們證明 （3）?（1），由閉圖像定理，我們僅須證明f?φ∈ Q*K，f∈B*α，log。事實上，

由定理1以及引理1，我們推出（1）式成立。

推論2的證明：在文獻(xiàn)［18］，作者證明了 C?：Bα，log→ QK有界當(dāng)且僅當(dāng)是一個K-Carleson測度，由定理2，可推出推論2成立。