基于PML的FDTD法正演模擬

尤雙雙，李孝坤

(湖北省核工業(yè)地質(zhì)局，湖北 孝感 432000)

利用有限內(nèi)存的計算機軟件模擬開域電磁場相關(guān)問題時，吸收邊界條件的設(shè)置顯得尤為重要。自Yee K S[1]于1966年首次提出FDTD法以來，學(xué)者對于吸收邊界條件的研究至今未曾間斷。Mur G[2]于1981年提出的一階吸收邊界條件及二階吸收邊界條件獲得了廣泛地應(yīng)用。因其具有對角區(qū)域吸收不足的缺點，于是Fang J Y等[3]于1988年首次提出了超吸收邊界條件，通過計算兩次磁場的值達到消除邊界誤差是其基本思想。直到1994年， Berenger J P[4]終于提出了一種非物理性的吸收層——完全匹配層，即在邊界上引入特殊的吸收材料使得電磁波迅速衰減。在1995年，Rappaport C M[5]證明了PML媒質(zhì)與在吸收邊界區(qū)域引入各向異性媒質(zhì)是等價的。Chew W C等[6]于1996年提出了將PML吸收邊界條件應(yīng)用于柱坐標系，隨后Teixeira F L等[7]于1999年實現(xiàn)了球坐標系中的PML。在2000年，Chew W C等[8]將PML邊界條件與求解電磁波方程組巧妙地結(jié)合在一起，取得了非常好的效果。同年，Kuzuoglu M等[9]提出了復(fù)頻率參數(shù)完全匹配層(Complex Frequency Shifted，CFS-PML)，為PML的應(yīng)用開拓了新的視野。在國內(nèi)，有大量學(xué)者對PML吸收邊界條件產(chǎn)生濃厚的興趣。其中，黃斌科等[10]于2003年討論了PML的差分格式。朱章虎等[11]于2006年將PML應(yīng)用于時域有限差分法中，實現(xiàn)了簡單的編程及應(yīng)用。王永剛等[12]于2007年推導(dǎo)了聲波在二維情況下的PML方程，并且證明了其比旁軸近似吸收邊界條件更加優(yōu)越。隨后，單啟銅與樂友喜[13]推導(dǎo)了粘彈性介質(zhì)在二維情況下的PML吸收邊界條件的公式，并在均勻介質(zhì)模型中取得了很好的效果。薛東川等[14]利用有限元方法正演模擬了復(fù)雜介質(zhì)中波動方程，再次證明了PML起到了不可磨滅的貢獻。2011年，李寧等[15]結(jié)合有限元法與差分法證明了PML比多次透射邊界更加穩(wěn)定。廉西猛和張睿璇[16]于2013年采用非正交網(wǎng)格剖分技術(shù)，將PML邊界條件成功地應(yīng)用于地震波正演模擬，取得了一系列可喜的成果。由此可見，PML吸收邊界條件歷經(jīng)了從特殊到一般的歷程[16]。

本文利用可視化效果很好的Matlab軟件模擬了一維和二維電磁波在PML吸收邊界條件下的傳播情況。

1 Maxwell方程和FDTD的基本原理

1.1 Maxwell的兩個旋度方程

對于TM波，在直角坐標系下的Maxwell方程為：

1.2 FDTD的基本原理

FDTD法是基于Yee網(wǎng)格的直接將時域Maxwell方程組轉(zhuǎn)化為一組差分方程的數(shù)值算法，因其具有基本原理簡單易懂、公式在數(shù)學(xué)形式上有規(guī)律可循、相對于其它方法而言編程較容易等一系列優(yōu)點而受到廣泛地應(yīng)用。

2 PML條件下的Maxwell

在直角坐標系下，如果將電場分量Ez分裂為兩個子分量Ez1，且Ez=Ez1+Ez2。則由

由Ez=Ez1+Ez2

得TM波在PML中的Maxwell方程組為：

3 正演模擬

3.1 一維情況

該模型假設(shè)高斯脈沖波沿Z方向在相對介電常數(shù)為1的均勻介質(zhì)中傳播，總網(wǎng)格數(shù)為100，空間步長Δz=0.01 m，時間步長為Δt=Δz/c，吸收邊界條件為PML，層數(shù)為10，程序運行時間為150個時間步。采用FDTD法模擬高斯脈沖在PML吸收邊界的傳播情況如圖1～6所示。

圖1 時間步t=66，波傳播情況 圖2 時間步t=81，波傳播情況

圖3 時間步t=91，波傳播情況 圖4 時間步t=94，波傳播情況

圖5 時間步t=102，波傳播情況 圖6 時間步t=150，波傳播情況

3.2 二維情況

該模型采用笛卡爾直角坐標系，F(xiàn)DTD計算區(qū)域為120×120個元胞，網(wǎng)格單元的尺寸為Δx=Δy=0.01 m，時間步長為Δt=Δx/2c，TM波在均勻介質(zhì)中傳播，吸收邊界條件為PML，層數(shù)為10，程序運行時間步時為300。

圖7 時間步t=80，TM波傳播情況 圖8 時間步t=122，TM波傳播情況

圖9 時間步t=205，TM波傳播情況 圖10 時間步t=300，TM波傳播情況

4 結(jié) 論

通過電磁波在一維、二維情況的正演模擬表明：

1)對于電磁波在一維媒質(zhì)中而言，從圖1～6明顯可以看出，沿Z方向傳播的高斯脈沖波在進入PML中就開始迅速衰減，雖然有極小部分的反射波，但最終還是被PML迅速吸收掉了。

2)高斯脈沖波在沿Z方向傳播時，吸收衰減區(qū)域?qū)τ行鞑^(qū)域不構(gòu)成影響。說明PML的設(shè)置合理，并起到了實質(zhì)性的作用。

3)對于二維情況，從TM波在PML下的正演模擬情況可知，TM波在均勻介質(zhì)中傳播時，PML對邊界處的波吸收效果比較好。

4)因為Matlab軟件具有很強的可視化功效，使得電磁波在介質(zhì)中的傳播情況更加直觀，便于研究者進行相應(yīng)地分析與總結(jié)。