軟件可靠性模型的研究與進(jìn)展*

車(chē)金慶 周凌翱

（1.常州工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能裝備與信息工程學(xué)院 常州 213016）（2.常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院軟件學(xué)院 常州 213016）

1 引言

隨著計(jì)算機(jī)和信息處理的廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題越來(lái)越得到人們的關(guān)注。而軟件體系規(guī)模的日益增大及其復(fù)雜性的日益增強(qiáng)，使軟件的可靠性問(wèn)題更為突出。據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，軟件故障約占整個(gè)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)故障的65%［1］。所謂軟件可靠性是指軟件系統(tǒng)在規(guī)定環(huán)境下、給定時(shí)間內(nèi)無(wú)故障運(yùn)行的概率，是軟件質(zhì)量的一個(gè)重要組成部分。軟件可靠性與硬件可靠性相比體現(xiàn)出了不同的特點(diǎn)：1）軟件錯(cuò)誤主要是由設(shè)計(jì)錯(cuò)誤造成的，使用和維護(hù)對(duì)軟件可靠性的影響不大；2）軟件錯(cuò)誤不隨使用時(shí)間的延長(zhǎng)而增加［2］；3）軟件修理就是通過(guò)再設(shè)計(jì)排除原有錯(cuò)誤；4）軟件可靠性增長(zhǎng)與軟件使用的時(shí)間無(wú)關(guān)，與檢測(cè)并改正錯(cuò)誤的努力有關(guān)；5）軟件壽命期內(nèi)無(wú)老化與耗損現(xiàn)象；6）正確的軟件不因使用環(huán)境的變化而改變其正確性；7）同一軟件的冗余技術(shù)不能提高軟件的可靠性；8）采用高可靠性的標(biāo)準(zhǔn)件－系統(tǒng)軟件所提供的各種庫(kù)函數(shù)，未必能提高整體軟件的可靠性。

軟件可靠性模型是軟件可靠性評(píng)估與預(yù)測(cè)的核心，目前，公開(kāi)發(fā)表的軟件可靠性模型已經(jīng)有一百多種，但是，由于它們假設(shè)不同，性能各異，因此，即使用它們估測(cè)同一軟件也可能得到存在巨大差異的預(yù)測(cè)結(jié)果，至今仍然沒(méi)有一個(gè)既簡(jiǎn)單又廣泛適用的軟件可靠性模型。本文正是針對(duì)這一問(wèn)題，期望通過(guò)對(duì)軟件可靠性模型進(jìn)行系統(tǒng)梳理得到一些有益的啟示。

2 軟件可靠性模型概述

建立軟件可靠性模型旨在根據(jù)軟件可靠性相關(guān)測(cè)試數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法得出軟件可靠性的預(yù)測(cè)值或估計(jì)值［3］。軟件可靠性模型對(duì)于預(yù)防軟件故障，預(yù)估軟件性能都有積極意義。圖1給出了軟件可靠性建模的基本思想。

圖1 軟件可靠性建模基本思想

從圖1可以看出軟件失效總體來(lái)說(shuō)隨著故障的檢出和排除而逐漸降低，在任意給定的時(shí)間，能夠觀測(cè)到軟件失效的歷史［4］。軟件可靠性建模的目標(biāo)如下：1）預(yù)測(cè)軟件系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)所還需要的資源開(kāi)銷及測(cè)試時(shí)間；2）預(yù)測(cè)測(cè)試結(jié)束后系統(tǒng)的期望可靠性。

2.1 軟件可靠性建模基本問(wèn)題

軟件可靠性建模需要考慮以下基本問(wèn)題［5］。1）模型建立

模型建立指的是怎樣去建立軟件可靠性模型。一方面是考慮模型建立的角度，例如從時(shí)間域角度、數(shù)據(jù)域角度、將軟件失效時(shí)刻作為建模對(duì)象，還可以將一定時(shí)間內(nèi)軟件故障數(shù)作為建模對(duì)象；另一方面是考慮運(yùn)用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，例如概率語(yǔ)言。

2）模型比較

在軟件可靠性模型分類的基礎(chǔ)上，對(duì)不同的模型分析比較，并對(duì)模型的有效性、適用性、簡(jiǎn)潔性等進(jìn)行綜合權(quán)衡，從而確定出模型的適用范圍。

3）模型應(yīng)用

軟件可靠性模型的應(yīng)用需要從以下兩方面考慮：一是給定了軟件的開(kāi)發(fā)計(jì)劃，如何選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ?；二是給定了軟件可靠性模型，如何指導(dǎo)軟件可靠性工程實(shí)踐。

軟件系統(tǒng)的失效歷史可以通過(guò)對(duì)測(cè)試得到的失效數(shù)據(jù)分析獲得，而實(shí)際情況中，人們最為關(guān)注的是軟件未來(lái)的失效趨勢(shì)。軟件可靠性模型基本都是建立在一定的假設(shè)基礎(chǔ)之上，所以，即使花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力對(duì)軟件的可靠性進(jìn)行預(yù)計(jì)，也只是一種預(yù)測(cè)，這種預(yù)測(cè)的不確定性是許多未知原因交互作用的結(jié)果，根據(jù)軟件可靠性模型的預(yù)測(cè)只能以概率形式表示［6］。

2.2 軟件可靠性模型特點(diǎn)

軟件可靠性模型主要有以下特點(diǎn)［7］。

1）與軟件開(kāi)發(fā)語(yǔ)言無(wú)關(guān)。軟件可靠性模型的應(yīng)用與程序開(kāi)發(fā)時(shí)選用的設(shè)計(jì)語(yǔ)言應(yīng)該是沒(méi)有關(guān)系的。按照同一規(guī)格說(shuō)明開(kāi)發(fā)的軟件，對(duì)于不同的程序開(kāi)發(fā)語(yǔ)言，相同模型應(yīng)該給出同樣的預(yù)測(cè)結(jié)果。

2）與軟件開(kāi)發(fā)方法無(wú)關(guān)。雖然一個(gè)好的程序設(shè)計(jì)方法開(kāi)發(fā)出來(lái)的軟件可靠性更高，但是這樣的影響是很難描述的，因?yàn)檐浖_(kāi)發(fā)過(guò)程十分復(fù)雜、涉及諸多人為因素，從而使得對(duì)軟件可靠性的預(yù)測(cè)非常困難。在軟件可靠性預(yù)測(cè)中，一般假設(shè)軟件系統(tǒng)采用最壞的開(kāi)發(fā)方法。

3）測(cè)試方法選擇。理論上，通過(guò)完全充分的測(cè)試，軟件可靠度能達(dá)到百分之百。但是，真實(shí)情況是人們只能實(shí)施有限的測(cè)試，使得在可靠性估計(jì)精度要求高的情況下，這些模型的可用性受到了限制。

4）錯(cuò)誤排除過(guò)程。早期的許多軟件可靠性模型都基于完全改錯(cuò)假設(shè)，但實(shí)際上，在排錯(cuò)的過(guò)程中，往往會(huì)引入新的錯(cuò)誤。

5）模型表達(dá)內(nèi)容。通常，模型應(yīng)該指出軟件已被測(cè)試的程度，測(cè)試數(shù)據(jù)和條件是否能準(zhǔn)確地模擬軟件運(yùn)行環(huán)境，是否足以檢測(cè)出類似的故障等。軟件可靠性模型假設(shè)軟件測(cè)試的數(shù)據(jù)和條件與操作環(huán)境有著相同的分布。

6）輸入的分布情況。軟件可靠性模型基于的輸入分布是非常重要的，因?yàn)榭煽啃怨烙?jì)與其緊密相關(guān)。例如，考慮一種極端的情況，軟件只用到一個(gè)輸入為常數(shù)，軟件將或者成功或者失敗的執(zhí)行，于是模型給出的可靠性估計(jì)相應(yīng)的為1或0。

7）軟件復(fù)雜性。原則上，復(fù)雜的軟件比相對(duì)簡(jiǎn)單的軟件要求更多的測(cè)試。但是，現(xiàn)有軟件可靠性模型大多沒(méi)有對(duì)此進(jìn)行考慮。

8）對(duì)模型的驗(yàn)證。在整個(gè)軟件生命周期內(nèi)，軟件規(guī)模幾乎成倍的增長(zhǎng)，軟件可靠性必然發(fā)生相應(yīng)的變化，加之缺乏實(shí)際可用的驗(yàn)證數(shù)據(jù)，使得對(duì)軟件可靠性模型的驗(yàn)證非常復(fù)雜。

9）模型要求數(shù)據(jù)。模型進(jìn)行估測(cè)所要求的數(shù)據(jù)應(yīng)該是易于收集的，因?yàn)閿?shù)據(jù)問(wèn)題往往限制了軟件可靠性模型的應(yīng)用范圍。

2.3 軟件可靠性模型分類

軟件可靠性模型經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，已有將近二百多種可靠性模型發(fā)表。但是，并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一種科學(xué)、系統(tǒng)的分類方法。為了更好地整理和研究這些模型，許多不同的分類方法被相繼提出?，F(xiàn)在常用的一些分類方法主要有隨機(jī)性分類、按參數(shù)的估計(jì)方法分類、按系統(tǒng)出現(xiàn)的失效數(shù)分類、按修復(fù)過(guò)程分類、按時(shí)間的適用方式分類等等［8］。

按照軟件可靠性相關(guān)，將其分成四類，分別是可靠性模型、釋放時(shí)間模型、可用性模型、硬件-軟件混合模型［9］。

根據(jù)Ramamoorthy和Bastani的觀點(diǎn)，根據(jù)模型的應(yīng)用階段來(lái)分類［9］：

軟件開(kāi)發(fā)階段：JM模型、Littlewood-Verral模型、Shooman模型、Musa模型等。軟件驗(yàn)證階段：Nelson模型等。

軟件操作運(yùn)行階段：馬爾可夫過(guò)程模型等。

軟件測(cè)試階段：Mills模型、Seeding模型等。

綜合測(cè)試環(huán)境、模型假設(shè)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的分類方法，將模型分為隨機(jī)過(guò)程類模型和非隨機(jī)過(guò)程類模型［10］，如圖2所示。

圖2 軟件可靠性模型分類

到目前為止，軟件可靠性模型的研究還處于較為初級(jí)的階段，尚未形成固定的分類方法。也有不少學(xué)者提出了他們的分類方法，諸如按照隨機(jī)性分類、按照故障修復(fù)過(guò)程分類、按照軟件中發(fā)現(xiàn)的故障數(shù)分類、按照模型參數(shù)估計(jì)方法分類、按照模型采用時(shí)間方式分類等［11］。

綜合模型假設(shè)、測(cè)試環(huán)境以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，可以將模型大致分為隨機(jī)過(guò)程類模型，如馬爾可夫過(guò)程模型、非齊次泊松過(guò)程模型等，及非隨機(jī)過(guò)程類模型［12］。

在軟件測(cè)試過(guò)程中，一旦軟件故障被發(fā)現(xiàn)，都要進(jìn)行改正。因此，隨著測(cè)試工作的進(jìn)行，軟件中的故障不斷被排除減少，軟件的可靠性就不斷得到提高。所以說(shuō)，現(xiàn)有的軟件可靠性模型都是軟件可靠性增長(zhǎng)模型。

綜合模型假設(shè)、測(cè)試環(huán)境以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，我們將模型大致分為隨機(jī)過(guò)程類模型和非隨機(jī)過(guò)程類模型。

本文主要研究隨機(jī)過(guò)程類軟件可靠性模型。

3 隨機(jī)過(guò)程類模型

隨機(jī)過(guò)程類軟件可靠性模型主要包括馬爾可夫過(guò)程模型和非齊次泊松過(guò)程模型。一般如果假定故障出現(xiàn)率在軟件無(wú)變化的區(qū)間之內(nèi)為一固定常數(shù)，并且隨著故障數(shù)的減少而下降，這類模型為馬爾可夫過(guò)程模型；另外，t時(shí)刻檢測(cè)到的累計(jì)錯(cuò)誤數(shù)［N（t），t≥ 0］為時(shí)間的函數(shù)，并且在一定的條件下，［N（t），t≥ 0］可近似的為一個(gè)非齊次泊松過(guò)程，這類模型則屬于非齊次泊松過(guò)程模型［13～14］。

馬爾可夫過(guò)程模型的典型代表是Jelinski-Moranda模型，非齊次泊松過(guò)程模型的典型代表是Goel-Okumoto模型。

3.1 Jelinski-Moranda模型

Jelinski-Moranda模型［15］，簡(jiǎn)稱JM模型，是由Z.Jelinski和P.Moranda于1972年提出的。

3.1.1 JM模型基于的基本假設(shè)

1）軟件初始固有錯(cuò)誤數(shù)是一個(gè)未知固定常數(shù)，記為W0；

2）任意時(shí)刻的故障檢測(cè)率都與軟件中殘留故障數(shù)成正比，比例系數(shù)記為λ；

3）測(cè)試過(guò)程發(fā)現(xiàn)的故障均可以一次完全排除，且不引入新的故障，每一次排錯(cuò)后W0減1；

4）軟件中的故障相互獨(dú)立，每個(gè)故障對(duì)整個(gè)軟件系統(tǒng)的影響是相同的，各故障發(fā)生的時(shí)間間隔也是相互獨(dú)立的。

3.1.2 數(shù)學(xué)描述

JM模型認(rèn)為，以第i-1次失效為起點(diǎn)的第i次失效時(shí)間，是服從以λ(W0-i+1)為參數(shù)的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，其概率密度 f(t)為

由假設(shè)（4）可知ti-1時(shí)刻之后軟件平均失效時(shí)間MTTF為

3.1.3 模型參數(shù)估計(jì)

模型中含有W0和λ兩個(gè)未知參數(shù)，用最大似然法分別求解W0和 λ的估計(jì)值的推導(dǎo)W?0和 λ?過(guò)程如下：

由式（1），得到似然函數(shù)為

其中n為樣本大小，即到當(dāng)前時(shí)刻已排除的故障數(shù)。

對(duì)式（5）取對(duì)數(shù)，可得對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

對(duì)式（6）分別求關(guān)于W0和λ的偏導(dǎo)數(shù)，并令結(jié)果為0：

3.2 Goel-Okumoto模型

G-O模型是Goel-Okumoto提出的用非齊次泊松過(guò)程描述的軟件可靠性模型，是最為典型的非齊次泊松過(guò)程類模型。

3.2.1 G-O模型基于的基本假設(shè)

1）軟件的運(yùn)行條件與預(yù)期的操作環(huán)境相同；

2）在任意的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)現(xiàn)的軟件故障數(shù)互相獨(dú)立；

3）檢測(cè)到每個(gè)故障對(duì)于軟件系統(tǒng)的危害嚴(yán)重性相同；

4）每個(gè)故障被檢測(cè)到的可能性大致一樣；

5）t時(shí)刻檢測(cè)到的累計(jì)錯(cuò)誤數(shù) [N(t)，t≥0]是一個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程，設(shè)N(t)的期望為w(t)，則N(t)服從w(t)的泊松分布。在(t，t+Δt)時(shí)間區(qū)間中檢測(cè)到的故障數(shù)的期望值與t時(shí)刻程序中殘留故障數(shù)的期望值成正比；

6）t時(shí)刻檢測(cè)到累計(jì)故障數(shù)N(t)的期望函數(shù)w(t)是一個(gè)有界的單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：

其中a為可能被檢測(cè)到的軟件故障總數(shù)。

3.2.2 數(shù)學(xué)描述

根據(jù)基本假設(shè)（5），在任意一個(gè)足夠小的時(shí)間間隔 (t，t+Δt)內(nèi)，有

γ為一比例常數(shù)，代表錯(cuò)誤檢測(cè)率。

用初始邊界條件w(0)=0，解出：

根據(jù)基本假設(shè)（5），若t時(shí)刻累積故障數(shù)為k，則N(t)概率密度函數(shù)為

失效強(qiáng)度函數(shù)用g(t)來(lái)表示，有

t時(shí)刻軟件殘留故障數(shù)用Nr(t)表示，有

Nr(t)的數(shù)學(xué)期望為

第n次失效發(fā)生以后，軟件的可靠性函數(shù)為

給定程序在tn時(shí)刻發(fā)生第n次失效，則此時(shí)程序的MTTF為

3.2.3 模型參數(shù)估計(jì)

在使用G-O模型進(jìn)行軟件可靠性分析時(shí)，首先需要確定模型未知參數(shù)的a和γ的值，使用最大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

在時(shí)刻ti(i=1，2，…，m)發(fā)現(xiàn)的累積故障數(shù)為si，則由式（18），可得出參數(shù)的最大似然函數(shù)為

對(duì)上式等號(hào)兩邊分別取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)，然后對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別求關(guān)于a和γ的偏導(dǎo)數(shù)，得到以下兩個(gè)方程式：

通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法求解由式（25）和式（26）聯(lián)立的方程組，得出a和γ的值，即可獲得它們的點(diǎn)估計(jì)值?和?。

4 結(jié)語(yǔ)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異的發(fā)展，軟件產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到社會(huì)生產(chǎn)、人們生活的各個(gè)角落，與此同時(shí)，軟件失效的情況時(shí)有發(fā)生，給人們帶來(lái)不同程度的損失，軟件的可靠性問(wèn)題受到了越來(lái)越多的重視。在軟件可靠性預(yù)測(cè)中，軟件可靠性模型發(fā)揮著核心作用，使用模型對(duì)軟件進(jìn)行估測(cè)時(shí)，需要選擇那些與軟件實(shí)際開(kāi)發(fā)過(guò)程最接近模型，這樣才能保證預(yù)測(cè)的客觀性和準(zhǔn)確性。

本文在G-O模型的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，基于更為合理的假設(shè)，提出了考慮兩類相關(guān)故障的軟件可靠性模型。具體包括如下內(nèi)容：

1）整理與研究國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)資料，闡述了本文的選題背景與國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀；總結(jié)了軟件可靠性的基本特點(diǎn)、影響因素、性能度量指標(biāo)及其與硬件可靠性的區(qū)別；介紹了軟件可靠性分析用到的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識(shí)；歸納了軟件可靠性模型的分類、基本特點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)及評(píng)價(jià)技術(shù)。

2）研究了幾個(gè)經(jīng)典的可靠性模型，對(duì)兩個(gè)經(jīng)典隨機(jī)過(guò)程類模型（JM模型、G-O模型）的基本假設(shè)、公式推導(dǎo)及參數(shù)估計(jì)做了詳細(xì)介紹。

深入研究已發(fā)表的經(jīng)典軟件可靠性模型之后，本文指出了傳統(tǒng)軟件可靠性模型的局限性，并以G-O模型為基礎(chǔ)，提出更接近實(shí)際情形的假設(shè)，即將兩類軟件相關(guān)故障考慮在內(nèi)，建立了數(shù)學(xué)模型。