一種子彈射擊木塊問題的模型分析及圖解方法

摘要：“子彈射擊木塊”是高中物理涉及牛頓運(yùn)動定律知識、能量 、動量知識等的綜合題，本文結(jié)合圖形對其中兩個木塊用彈簧鏈接的問題進(jìn)行深入分析，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)微分知識建模與求解，利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，最后用一個實(shí)例用圖形闡述了兩個木塊的運(yùn)動情況，結(jié)果可靠、形象生動.

關(guān)鍵詞：子彈；木塊；物理模型；數(shù)學(xué)模型；建模

作者簡介：程舒揚(yáng)（2001-），女，山東青島，高中二年級，理科生.

子彈射擊木塊問題是高三綜合復(fù)習(xí)時的經(jīng)典物理題型，這類題型往往涉及動量定理、動量知識、能量守恒和轉(zhuǎn)化的知識的綜合運(yùn)用，研究對象多、過程復(fù)雜、綜合性強(qiáng)；尤其是可與彈簧或細(xì)繩結(jié)合，組成涉及到力與運(yùn)動、彈簧形變等更加復(fù)雜的問題.不少學(xué)生理解起來非常困難.高三同學(xué)已經(jīng)完成了高中數(shù)學(xué)中有關(guān)簡單微分和積分知識的學(xué)習(xí)，因此本文利用圖形和數(shù)學(xué)建模方法來對其進(jìn)行闡述.

1問題描述

如圖1所示，即為該題型一類常見的習(xí)題：中間用彈簧相連接的兩個木塊靜止于光滑的水平面上，被一質(zhì)量為m、速度為v0的子彈擊中后，子彈留在第一個木塊內(nèi)，試分析彈簧壓縮到最短或拉伸至最長時，兩木塊的運(yùn)行速度關(guān)系.

該類題目一般會假設(shè)在子彈擊中后，在兩個木塊的運(yùn)動過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，且木塊 A、B 不會發(fā)生直接碰撞.本文針對這種情況，通過物理模型分析和數(shù)學(xué)建模求解，詳細(xì)闡述當(dāng)彈簧壓縮到最短或拉伸至最長時，兩木塊的運(yùn)行速度相等的關(guān)系.

2物理模型

第一種情況，無論子彈質(zhì)量、速度、兩木塊大小，運(yùn)動始終在彈簧的彈性范圍內(nèi).

這種情況下，子彈射入第一個木塊后留在木塊內(nèi)，可視為質(zhì)量為（m+M1）的一個整體，忽略子彈在木塊內(nèi)的摩擦（以下同），以子彈初速度方向?yàn)檎较?，dx為彈簧實(shí)際長度與自由長度之差，被壓縮時dx<0，被拉伸時dx>0，分析如下.

（1）在初始時刻，第一個木塊（包括子彈，以下同）的速度由機(jī)械能守恒定律獲得，為最大v1max；彈簧不發(fā)生形變dx=0，兩個木塊均不受彈簧力F1=0，F(xiàn)2=0，第二個木塊的初始速度v2=0，最小，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2中的①所示.

（2）第一塊木塊向前滑動，壓縮彈簧發(fā)生形變，給第二個木塊一個推動力，第二個木塊也發(fā)生滑動；由于v1大于v2，相同時間內(nèi)，第一木塊運(yùn)行的位移大于第二個木塊的位移，二者間距變小，彈簧被壓縮，發(fā)生壓縮形變dx，彈簧進(jìn)入壓縮階段；在該階段內(nèi)，第一個木塊受到與運(yùn)動方向相反的彈簧力為F1，運(yùn)行速度由最大v1max逐漸變慢，用v1↓表示，第二個木塊受到的彈簧力與第一個木塊受到的彈簧力大小相等、方向相反，為F2=-F1，運(yùn)行速度逐漸變快v2↑，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2②所示.

（3）彈簧繼續(xù)被壓縮，彈簧形變繼續(xù)增大，兩個木塊受到相反的彈簧力繼續(xù)增大，v1更快得變小，v2更快地增加，當(dāng)v1=v2時，兩木塊之間沒有相對位移，彈簧壓縮形變最大即彈簧最短，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2③所示.

（4）然后v1小于v2，相同時間內(nèi)，第一木塊運(yùn)行的位移小于第二個木塊的位移，二者間距拉大，彈簧由最短狀態(tài)逐漸被拉伸，但依然處于壓縮狀態(tài)，兩木塊的受力方向不變，v1繼續(xù)變小，v2繼續(xù)增加，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2④所示.

（5）當(dāng)v1=0時，v2達(dá)到最大，彈簧恢復(fù)到最初的自由狀態(tài)，兩木塊受到的彈簧力為0，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2中的⑤所示.

（6）第一個木塊不動，第二個木塊速度最大，二者發(fā)生相對運(yùn)動，間距變大，彈簧進(jìn)入拉伸階段：此時，彈簧的拉力使第一個木塊的速度v1增加，使第二個木塊的速度v2減少，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2中的⑥所示.

（7）當(dāng)?shù)诙蝪1=v2時，彈簧拉伸至最長，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2中的⑦所示.

（8）此后v1>v2，彈簧形變由最長慢慢減小，但依然處于拉伸階段，v1受到拉力作用v1繼續(xù)增大，v2繼續(xù)減小，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2中的⑧所示.

（9）當(dāng)v2減小到0時，v1達(dá)到最大，彈簧再次恢復(fù)到自由狀態(tài)，系統(tǒng)所有的能量轉(zhuǎn)變?yōu)榈谝粋€木塊的動能，v1達(dá)到初始的v1max，系統(tǒng)的運(yùn)動情況如圖2中的⑨所示.

由圖2上述分析可見，狀態(tài)⑨與初始態(tài)①完全相同，兩木塊的一個運(yùn)動周期結(jié)束，下一個運(yùn)動周期開始.在每個周期內(nèi)，彈簧都經(jīng)過如下的周期變化：自由狀態(tài)→壓縮→壓縮至最短→壓縮（恢復(fù)）→自由狀態(tài)→拉伸→拉伸至最長→拉伸（恢復(fù)）→自由狀態(tài).彈簧形變方向（壓縮還是拉伸）不同，兩木塊的受力方向不同，加速度方向也不同，可根據(jù)彈簧形變將周期分為壓縮階段和拉伸階段.

3數(shù)學(xué)模型建立及求解

3.1數(shù)學(xué)模型

根據(jù)題意，豎直方向上的重力與支持力是一對平衡力，由于在光滑水平面上運(yùn)動，因此可以忽略，只考慮水平方向的速度（動能）和彈簧作用力（勢能）相互變化的關(guān)系.

根據(jù)能量守恒定律，在忽略了子彈在木塊內(nèi)的運(yùn)行情況及能量損失后，系統(tǒng)的能量守方程如下：

E=E1+EP+E2（1）

其中，E為系統(tǒng)的總能量，E1為第一個木塊（含子彈）的動能，E2為第二個木塊的動能，EP為彈簧的勢能.

E=12mv20（2）

E1=12（M1+m）v21（3）

E2=12M2v22（4）

Ep=12K（Δx）2（5）

根據(jù)速度公式可得兩木塊的速度

v1=v10+a1t（6）

v2=v20+a2t（7）

根據(jù)兩木塊相對運(yùn)動關(guān)系可得彈簧的形變量

Δx=S2-S1=（v2-v1）t（8）

根據(jù)胡克定律可得彈簧的作用力

F1=KΔx（9）

F2=-F1（10）

根據(jù)牛頓第二定律可得彈簧作用力和加速的關(guān)系：

F1=（M1+m）a1（11）

F2=M2a2（12）

聯(lián)立式（1）～（12），即可求得在任意時間點(diǎn)上兩木塊的運(yùn)動速度、加速度、受到的彈簧力，彈簧的形變量以及能量轉(zhuǎn)化情況.

3.2模型求解

以上模型中的變量隨時間一直變化，矢量還存在方向的改變.用常規(guī)的高中知識是沒有辦法求解的.但可以借助高中數(shù)學(xué)中學(xué)過的微積分知識.

假設(shè)在極短的時間Δt（比如0.001秒）內(nèi)，各變量的大小和方向不變，根據(jù)機(jī)械能守恒獲得第一個木塊的初速度有

12mv20=12（M1+m）v210（13）

v10=v0m（M1+m）（14）

即可逐步求得彈簧形變、彈簧作用力、兩個木塊的加速度，從而求得兩個木塊的運(yùn)行速度，以及能量轉(zhuǎn)化情況.這些計(jì)算可以借助MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，計(jì)算步驟如圖3所示.

4實(shí)例討論與分析

假設(shè)有一個質(zhì)量為20g的子彈以300m/s的速度射入質(zhì)量為15kg的木塊，該木塊用彈簧與第二個質(zhì)量為5kg的木塊相連，彈簧的勁度系數(shù)為50N/mm， 用上述模型求解，所得的結(jié)果如圖4、圖5所示.

其中圖4描述了彈簧形變量、兩木塊的速度、加速度、彈簧力的變化趨勢，圖5描述了彈簧形變、兩木塊動能以及總動能、彈簧勢能的變化趨勢.由此可見，木塊的運(yùn)動情況與前文的物理分析一致.

對比圖4描述的各條曲線可見，當(dāng)彈簧形變最大（壓縮至最短或拉伸至最長）時，兩木塊的速度相等，加速度最大，彈簧作用力最大；對比圖5描述的各條曲線可見，當(dāng)彈簧形變最大（壓縮至最短或拉伸至最長）時，彈簧勢能最大，總動能最小.

當(dāng)子彈的質(zhì)量m、速度v0、兩木塊的質(zhì)量M1和M2，以及彈簧的勁度系數(shù)K變化時，假定滿足彈性極限范圍時，圖4和圖5的振幅和頻率發(fā)生變化，變化趨勢即運(yùn)動規(guī)律不變.

5結(jié)論

本文通過結(jié)合高中數(shù)學(xué)的微分知識，利用數(shù)學(xué)建模的思想來探討高中物理“子彈射擊木塊”問題，通過繪制木塊運(yùn)動的物理分析圖以及運(yùn)動參數(shù)的變化趨勢圖，形象生動地分析了兩個被彈簧鏈接的木塊在被子彈射中后，它們的運(yùn)行特點(diǎn)，為分析此類習(xí)題提供了新思路.

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