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    數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    2018-12-29 00:00:00高碩
    家長·下 2018年7期

    一、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用原則

    在高中數(shù)學(xué)解題中,數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用要堅持以下幾點原則:一是等價原則。二是雙向原則。三是簡潔原則。四是直觀與創(chuàng)新原則。

    二、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用策略

    (一)以形助數(shù),使抽象問題變得形象直觀

    在高中數(shù)學(xué)解題中,特別是對于一些數(shù)量關(guān)系既復(fù)雜又抽象的問題,學(xué)生難以理解,不容易找到解題的思路和方法。如果運用數(shù)形結(jié)合的思想方法,就可以把復(fù)雜抽象“數(shù)”的問題用直觀的圖形問題來解決,這樣就可以繞開冗長煩瑣的數(shù)量計算的過程,利用圖形能夠幫助學(xué)生有效解決復(fù)雜的數(shù)量問題,使學(xué)生對題目中的數(shù)量關(guān)系能夠正確理解, 即能夠把題目中抽象的數(shù)量問題變成形象直觀的圖形問題,可以使學(xué)生容易理解題意,快速準確地找出已知條件、未知關(guān)系,快速形成解題思路,快速正確地找出數(shù)量關(guān)系式,從而有效突破解題難點。

    例1:已知一個動圓P與兩個定圓相外切,定圓C1方程是:(x+4)2+y2=100, 定圓C2方程是:(x-4)2+y2=4,求這個動圓P的圓心軌跡的方程。

    解析:此題的解答如果直接運用求解方程的方法會非常麻煩,而如果運用數(shù)形結(jié)合的思想方法,通過借助于兩個圓圖像的“形”來求方程“數(shù)”的問題就比較方便。假設(shè)動圓的圓心為P(x,y),半徑是r,從方程可以得出:定圓C1的圓心是(-4,0),半徑是10;定圓C2的圓心是(4,0),半徑是2。借助圖形可以直觀看出:動圓C與定圓C1是相內(nèi)切的,與定圓C2是相外切,就能容易得出下面的式子:|C1P|=10-r,|C2P|=r+2,把兩個式子相加得:|C1P|+|C2P|=10-r+ r+2=12>|C1C2|=8,根據(jù)橢圓的定義可知點P的運動軌跡是橢圓。再根據(jù)圖形可得出c=4,a=6,可求出b2=20, 動圓P的圓心軌跡的方程是x235+y220=1。

    點評:在本題的求解中,借助于圖形的直觀性,通過做輔助線的方式,很快就能形成解題思路,使問題既簡單又快捷地得到解決,很好地體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的思想。

    (二)以數(shù)解形,使學(xué)生的解題思維更嚴謹

    數(shù)學(xué)作為一門非常嚴謹?shù)膶W(xué)科,在進行數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)或解題時必須要有嚴謹?shù)乃季S能力,許多學(xué)生在解題時,不夠嚴謹,經(jīng)常會粗心大意,造成解題錯誤或找不到正確的解題思路。如果學(xué)生在解決一些比較復(fù)雜的圖形問題時,借助于“數(shù)”的嚴謹性與精確性,來找出圖形中包含的數(shù)量關(guān)系,以此來解決幾何圖形問題,既容易找到解題思路,又能培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S能力。而且對于一些幾何圖形問題,有時候如果僅憑直覺觀察不容易找出圖形的特點和規(guī)律,借助于“數(shù)”的精確性,就能深入細致地刻畫圖形,能深入挖掘幾何圖形中的隱含條件,使解題更加嚴謹。

    例2:有一個圓M介于直線x=3和拋物線y2=2x所圍成的封閉區(qū)間里(含邊界區(qū)域),求這個圓M在此區(qū)域中能取得的半徑最大值是多少?

    分析:從圖形中可以大概看出圓半徑的數(shù)值,但無法得到精確的圓半徑數(shù)值。如果借助于代數(shù)的嚴謹、精確的計算,就能求出準確的圓半徑數(shù)值??煞謨煞N情況進行討論:第一,不含邊界時。 當(dāng)圓M在這個封閉區(qū)域中不含直線和拋物線邊界時,即圓M與直線和拋物線均不存在交點時,無法用聯(lián)立方程組的形式進行求解;第二,包含邊界時。當(dāng)圓M在這個封閉區(qū)域中包含直線和拋物線邊界時,即圓M與直線和拋物線均存在交點時,可用聯(lián)立方程組的形式進行求解。根據(jù)圖形可看出:圓M的圓心在x軸上,因此假設(shè)其圓心為(a,0)(0<a<3),這樣可得圓的方程是(x-a)2+y2=(3-a)2,把圓方程與拋物線方程聯(lián)立組成方程組,可得x2+21-ax+6a-9=0,?=[2(1-a)]2-46a-9=0,再結(jié)合a的取值范圍,就可求出a=4-6,因為3-a<a,因此,最大半徑是3-a=6-1。

    點評:要精確求解本題,關(guān)鍵是要用“數(shù)”的嚴謹性與精確性來求解圓半徑,即要用“數(shù)”來輔助求解“形”的問題。此外本題容易忽略3-a<a這個條件,這樣圓M就可能超出該封閉區(qū)域。

    三、結(jié)語

    總之,數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)知識體系,能夠把復(fù)雜抽象的問題變成形象直觀、容易解決的問題,能促進學(xué)生思維能力發(fā)展,因此,教師應(yīng)在教學(xué)中注重滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,從而提高解題質(zhì)量效率。

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