含過(guò)約束的串聯(lián)機(jī)器人受力分析與動(dòng)力學(xué)建模

武冰昕，吳連松，萬(wàn)英和，汪 旸，陳 芳

（1.北京機(jī)械工業(yè)自動(dòng)化研究所有限公司，北京 100120；2.北京萬(wàn)集科技股份有限公司，北京 100193）

0 引言

機(jī)器人的受力分析是機(jī)器人驅(qū)動(dòng)器、關(guān)節(jié)軸承、零件結(jié)構(gòu)等設(shè)計(jì)的前提和基礎(chǔ)。對(duì)機(jī)器人各個(gè)零件的校核、強(qiáng)度分析以及振動(dòng)特性研究，都必須已知機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副約束反力[1]。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)確定以后，可以由運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到機(jī)構(gòu)各桿件的速度、加速度，進(jìn)而求出慣性力與慣性力矩。對(duì)于運(yùn)動(dòng)確定的具有閉環(huán)結(jié)構(gòu)的多關(guān)節(jié)機(jī)器人，在求解運(yùn)動(dòng)副約束反力與驅(qū)動(dòng)力時(shí)，常常由于未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致未知數(shù)無(wú)法全部求解，出現(xiàn)靜不定問(wèn)題。韓先國(guó)、趙燕、李鐵民等人[2～4]對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)受力分析時(shí)出現(xiàn)的靜不定問(wèn)題進(jìn)行了分析與研究。然而對(duì)于桿件結(jié)構(gòu)復(fù)雜的串聯(lián)機(jī)構(gòu)受力分析時(shí)，出現(xiàn)的靜不定問(wèn)題，相應(yīng)的研究卻很少。本文以新型碼垛機(jī)器人為例，對(duì)此類(lèi)具有閉環(huán)結(jié)構(gòu)的串聯(lián)機(jī)器人受力分析時(shí)出現(xiàn)的靜不定問(wèn)題進(jìn)行分析與研究，建立相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程，完成動(dòng)態(tài)下碼垛機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。

1 碼垛機(jī)器人動(dòng)態(tài)下出現(xiàn)靜不定問(wèn)題的本質(zhì)

1.1 碼垛機(jī)器人描述

此款碼垛機(jī)器人是在ABB、川崎碼垛機(jī)器人基礎(chǔ)上研發(fā)的一種用于貨物碼垛的高速重載搬運(yùn)機(jī)器人，其實(shí)物圖與結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。機(jī)器人主要實(shí)現(xiàn)四種運(yùn)動(dòng)：腰座回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、大臂前后運(yùn)動(dòng)、小臂上下運(yùn)動(dòng)、手腕體末端執(zhí)行器回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（本文中暫不考慮此種運(yùn)動(dòng)）。

碼垛機(jī)器人含有三個(gè)閉環(huán)，均是平行四邊形閉環(huán)。平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ起到保持末端手腕體水平姿態(tài)的作用；含有轉(zhuǎn)臂的平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅲ在保證轉(zhuǎn)臂與小臂具有相同轉(zhuǎn)速的同時(shí)，可以將小臂驅(qū)動(dòng)電機(jī)安裝到腰座上，使機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性能得到改善[5]。

圖1 新型碼垛機(jī)器人實(shí)物圖與三維模型圖

1.2 動(dòng)態(tài)下出現(xiàn)靜不定問(wèn)題本質(zhì)

此款碼垛機(jī)器人主體部分（不包含機(jī)架）共有9個(gè)構(gòu)件，構(gòu)件之間通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副進(jìn)行連接，共有12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。當(dāng)大、小臂與腰座轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（動(dòng)態(tài)下），每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副具有5個(gè)約束，分別是3個(gè)約束力與2個(gè)約束力偶。對(duì)新型碼垛機(jī)器人動(dòng)態(tài)下任一瞬時(shí)進(jìn)行受力分析，求解關(guān)節(jié)力、關(guān)節(jié)力矩、驅(qū)動(dòng)力矩（大臂、小臂、腰座驅(qū)動(dòng)力矩）。碼垛機(jī)器人共有12×5+3=63個(gè)未知數(shù)，碼垛機(jī)器人主體9個(gè)桿件共有9×6=54個(gè)獨(dú)立方程，獨(dú)立方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少9個(gè)，動(dòng)態(tài)下新型碼垛機(jī)器人屬于9次超靜定結(jié)構(gòu)。碼垛機(jī)器人動(dòng)態(tài)下求解關(guān)節(jié)力、關(guān)節(jié)力矩、驅(qū)動(dòng)力矩屬于靜不定問(wèn)題。

出現(xiàn)靜不定問(wèn)題主要原因是3個(gè)平行四邊形閉環(huán)機(jī)構(gòu)存在過(guò)約束。機(jī)構(gòu)由于公共約束等因素的存在而發(fā)生過(guò)約束，由于其過(guò)約束的存在，使得其約束數(shù)目計(jì)算重復(fù)[6]，從而導(dǎo)致未知數(shù)個(gè)數(shù)多余獨(dú)立方程個(gè)數(shù)?，F(xiàn)對(duì)平行四邊形機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析。平行四邊形機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。在圖中坐標(biāo)系下，由螺旋理論知識(shí)[7]，可以得到機(jī)構(gòu)4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)螺旋為：

對(duì)于平行四邊形機(jī)構(gòu)4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，可以求得其運(yùn)動(dòng)螺旋系的秩為3。機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋表示機(jī)構(gòu)允許的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)螺旋的反螺旋表示機(jī)構(gòu)的約束[7]。對(duì)于平行四邊形機(jī)構(gòu)的反螺旋系則表示機(jī)構(gòu)的公共約束。

由螺旋與反螺旋互易積為零，可以求得平行四邊形機(jī)構(gòu)反螺旋系為：

由反螺旋系可知平行四邊形機(jī)構(gòu)存在3個(gè)公共約束：沿X軸方向的移動(dòng)；沿y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)；沿z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于新型碼垛機(jī)器人中存在的3個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)，共有9個(gè)過(guò)約束，因此動(dòng)態(tài)下，對(duì)碼垛機(jī)器人進(jìn)行受力分析時(shí)，機(jī)器人是9次超靜定結(jié)構(gòu)。

圖2 平行四邊形機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 碼垛機(jī)器人受力分析

2.1 碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析與慣性力計(jì)算

碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示。在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖中建立靜坐標(biāo)系o-xyz動(dòng)坐標(biāo)系o1-x1y1z1，動(dòng)坐標(biāo)系與腰座固聯(lián)，隨著腰座一起轉(zhuǎn)動(dòng)。在已知手腕體末端運(yùn)動(dòng)規(guī)律的情況下，可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解求出碼垛機(jī)器人各個(gè)桿件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這里不再討論。設(shè)靜坐標(biāo)系下各桿件角速度、角加速度、質(zhì)心點(diǎn)速度、質(zhì)心點(diǎn)的加速度分別為0ωi、0αi、0vi、0αi（i=1、2、3，…）。

圖3 碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

在靜坐標(biāo)系o-xyz下各桿件的慣性力與慣性力矩為：

在動(dòng)坐標(biāo)系o1-x1y1z1下各桿件的慣性力與慣性力矩可以表示為：

2.2 碼垛機(jī)器人驅(qū)動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)副約束

運(yùn)動(dòng)副約束可以分為約束力與約束力偶。在不考慮手腕體末端轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，新型碼垛機(jī)器人驅(qū)動(dòng)力矩為：腰座驅(qū)動(dòng)力矩T1、轉(zhuǎn)臂驅(qū)動(dòng)力矩T2、大臂驅(qū)動(dòng)力矩T3。在動(dòng)坐標(biāo)系o1-x1y1z1下，對(duì)于i（i=1，2，3，…，9）桿進(jìn)行受力分析，對(duì)于質(zhì)心點(diǎn)Pi可以列寫(xiě)牛頓—?dú)W拉方程：

以1桿受力分析為例，如圖4所示。對(duì)1桿質(zhì)心P1點(diǎn)，根據(jù)牛頓—?dú)W拉方程：

展開(kāi)可以得到6個(gè)獨(dú)立牛頓-歐拉方程。

圖4 1桿受力分析

圖4中，設(shè)在動(dòng)坐標(biāo)系下，i桿對(duì)j桿的作用力：Fij=(Fijx，F(xiàn)ijy，F(xiàn)ijz)；作用力矩：Mij=(Mijx，Mijy，Mijz)。

對(duì)于新型碼垛機(jī)器人主體中的9個(gè)桿件，每個(gè)桿件都可以列寫(xiě)6個(gè)獨(dú)立的牛頓-歐拉方程，共有9×6=54個(gè)獨(dú)立方程。對(duì)新型碼垛機(jī)器人動(dòng)態(tài)下任一瞬時(shí)進(jìn)行受力分析，求解關(guān)節(jié)力、關(guān)節(jié)力矩、驅(qū)動(dòng)力矩（大臂、小臂、腰座驅(qū)動(dòng)力矩）時(shí)，碼垛機(jī)器人共有12×5+3=63個(gè)未知數(shù)，獨(dú)立方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少9個(gè)，因此需要引入9個(gè)獨(dú)立變形協(xié)調(diào)方程。

3 引入變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程完成動(dòng)力學(xué)建模

由第1節(jié)可知，3個(gè)平行四邊形閉環(huán)中每個(gè)閉環(huán)存在3個(gè)過(guò)約束，因此對(duì)于每個(gè)平行四邊形均建立3個(gè)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程。動(dòng)態(tài)下任一瞬時(shí)為便于計(jì)算，進(jìn)行如下假設(shè)：1）轉(zhuǎn)動(dòng)副均被鎖住成了剛體并且不考慮各轉(zhuǎn)動(dòng)副的間隙；2）各桿件均是彈性小變形。

3.1 建立平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅰ的變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程

由新型碼垛機(jī)器人實(shí)物圖可知，對(duì)于平行四邊形機(jī)構(gòu)I，動(dòng)態(tài)下D點(diǎn)的變形遠(yuǎn)大于其他點(diǎn)處的變形。5桿受力如圖5所示。

圖5 5桿受力分析

假設(shè)某一時(shí)刻解除5桿D端的約束，C端約束仍然不變。則在G5，f5x，f5y，f5z，M5x，M5y，M5z，F(xiàn)45x，F(xiàn)45y，F(xiàn)45z，M45y，M45z的作用下5桿上D點(diǎn)必定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)微小位移Δ1與微小轉(zhuǎn)角dθ1。當(dāng)F65x、F65y、F65z、M65x、M65z單獨(dú)作用于5桿D端，則5桿D端也會(huì)有一個(gè)微小位移Δ2與微小轉(zhuǎn)角dθ2。

由于碼垛機(jī)器人任一瞬時(shí)均處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，因此：Δ1=-Δ2；dθ1=-dθ2。

設(shè)Δ1x為Δ1沿X1方向的位移分量；δ11、δ12、δ13、δ14、δ15分別表示F65x、F65y、F65z、M65x、M65z為單位力（力矩）且分別單獨(dú)作用時(shí)，D端點(diǎn)沿X1方向的位移。

設(shè)dθ1y為在外力G5，f5x，f5y，f5z，M5x，M5y，M5z，F(xiàn)45x，F(xiàn)45y，F(xiàn)45z，M45y，M45z作用下，5桿D端點(diǎn)沿Y1轉(zhuǎn)動(dòng)方向的微小轉(zhuǎn)角；δ21、δ22、δ23、δ24、δ25分別表示F65x、F65y、F65z、M65x、M65z為單位力（力矩），且分別單獨(dú)作用時(shí)，D端點(diǎn)沿Y1轉(zhuǎn)動(dòng)方向的微小轉(zhuǎn)角。

設(shè)dθ1z為在外力G5，f5x，f5y，f5z，M5x，M5y，M5z，F(xiàn)45x，F(xiàn)45y，F(xiàn)45z，M45y，M45z作用下，D端點(diǎn)沿Z1轉(zhuǎn)動(dòng)方向的微小轉(zhuǎn)角；δ31、δ32、δ33、δ34、δ35分別表示F65x、F65y、F65z、M65x、M65z為單位力（力矩），且分別單獨(dú)作用時(shí)，D端點(diǎn)沿Z1轉(zhuǎn)動(dòng)方向的微小轉(zhuǎn)角。

由上面三個(gè)式子可以建立一組獨(dú)立方程組：

3.2 建立平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅱ、Ⅲ的變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程

同理，對(duì)于4桿I點(diǎn)與7桿F點(diǎn)可以建立平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅱ、Ⅲ的變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程組：

式(4)、式(5)、式(6)總共建立了9個(gè)獨(dú)立變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程，加上之前建立的54個(gè)各桿件牛頓—?dú)W拉方程，總共63個(gè)獨(dú)立方程，獨(dú)立方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)，至此動(dòng)態(tài)下新型碼垛機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型建立完畢。

4 實(shí)例計(jì)算與動(dòng)力學(xué)仿真

對(duì)于新型碼垛機(jī)器人任意給定運(yùn)動(dòng)，如表1所示。在MATLAB編制新型碼垛機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型相關(guān)程序。對(duì)于給定的運(yùn)動(dòng)，可以計(jì)算出新型碼垛機(jī)器人任意時(shí)刻兩個(gè)桿件之間的關(guān)節(jié)力與關(guān)節(jié)力矩。限于篇幅原因，本文只給出小臂與手腕體連接處C關(guān)節(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)力與關(guān)節(jié)力矩，如圖6所示。

表1 給定運(yùn)動(dòng)

將新型碼垛機(jī)器人三維模型導(dǎo)入ADAMS軟件中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，對(duì)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)給定運(yùn)動(dòng)，如表1所示。輸出C關(guān)節(jié)處關(guān)節(jié)力與關(guān)節(jié)力矩如圖7所示。

圖6 C關(guān)節(jié)處關(guān)節(jié)力與關(guān)節(jié)力矩

圖7 C關(guān)節(jié)處關(guān)節(jié)力與關(guān)節(jié)力矩動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果

對(duì)比圖6動(dòng)力學(xué)模型理論計(jì)算結(jié)果與圖7ADAMS仿真結(jié)果可以看出二者變化趨勢(shì)基本一致，最大誤差不超過(guò)10%，因此可以認(rèn)為動(dòng)力學(xué)模型建模正確。

5 結(jié)論

本文以具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)的碼垛機(jī)器人為例，應(yīng)用螺旋理論分析了具有閉環(huán)結(jié)構(gòu)的串聯(lián)機(jī)器人出現(xiàn)靜定問(wèn)題的本質(zhì)。

采用拆桿法建立機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)下的靜力學(xué)平衡方程，并基于小變形疊加原理建立相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)補(bǔ)充方程，進(jìn)而完成新型碼垛機(jī)器人動(dòng)態(tài)下的受力分析并建立動(dòng)力學(xué)模型。

利用MATLAB編制新型碼垛機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型相應(yīng)程序，進(jìn)行關(guān)節(jié)力與關(guān)節(jié)力矩求解，并與三維模型ADAMS仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。這也為其他類(lèi)似含過(guò)約束串聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模提供了參考。