基于MATLAB的PUMA560機(jī)器人正逆解研究

（南華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，衡陽 421001）

0 引言

隨著我國工業(yè)的迅猛發(fā)展，機(jī)器人的應(yīng)用越來越廣泛。在機(jī)器人的生產(chǎn)與使用中需要考慮機(jī)器人的最佳使用位姿以保證機(jī)器人的使用壽命與其工作的穩(wěn)定性[1]，需要求出機(jī)器人的逆解，并選擇其最優(yōu)解。目前，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法分為數(shù)值解法與封閉解法，數(shù)值解法能夠精確的求出逆解并且能運(yùn)用于絕大多數(shù)的機(jī)器人，但是其運(yùn)算量較大，函數(shù)構(gòu)造較復(fù)雜[2～5]；本文研究的封閉解法在通用性上不如數(shù)值法，但其函數(shù)構(gòu)造簡便、計(jì)算方便快捷，對滿足pieper準(zhǔn)則的機(jī)器人具有通用性。本文對PUMA560機(jī)器人建立正向運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，利用封閉解法求出其逆解。

1 機(jī)器人的位姿正解

1.1 模型建立

PUMA560機(jī)器人D-H參數(shù)如表1所示。D-H參數(shù)法如圖1所示，ai-1為延xi-1，從zi-1移動(dòng)到zi的距離；αi-1為繞xi-1，從zi-1旋轉(zhuǎn)到zi的角度；di為延zi-1，從xi-1移動(dòng)到xi的距離；θi為繞zi-1，從xi-1旋轉(zhuǎn)到xi的角度。利用D-H參數(shù)進(jìn)行連桿建模[6]，廣義變換矩陣如式(1)所示：

表1 PUMA560機(jī)器人D-H參數(shù)

圖1 D-H參數(shù)表示法

式(1)中，R表示繞相應(yīng)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ或者αi-1角度，T表示沿對應(yīng)的軸移動(dòng)ai-1或者d長度。

1.2 機(jī)器人位姿正解

機(jī)器人位姿正解是求逆解的基礎(chǔ)，通過正解的計(jì)算求出末端執(zhí)行器最后的位姿，并將該位姿參數(shù)作為輸入應(yīng)用到逆解計(jì)算中。構(gòu)造機(jī)器人正解參數(shù)模型，首先從機(jī)器人的固定基座開始為連桿進(jìn)行編號(hào)，將固定基座記為連桿0，第一個(gè)可動(dòng)連桿為連桿1，依此類推，機(jī)器人最末端的連桿為連桿n。機(jī)器人至少有6個(gè)關(guān)節(jié)對應(yīng)6個(gè)自由度。末端執(zhí)行器需要3個(gè)位置和3個(gè)方位的參數(shù)才能保證其在三維空間中達(dá)到任意位姿。利用D-H參數(shù)分步建立各連桿變換矩陣，再依次連接各個(gè)變換矩陣。

根據(jù)變化矩陣求得機(jī)器人正解為：

2 機(jī)器人的位姿逆解

機(jī)器人的位姿逆解需要考慮三個(gè)方面因素[7,8]：

1）解的存在性

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解是否存在取決于期望位姿是否在機(jī)器人的工作空間內(nèi)。

2）多解性問題

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解的個(gè)數(shù)取決于機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)量，也與連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍有關(guān)，通常機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)量越多，連桿的非零參數(shù)越多，運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解的個(gè)數(shù)就越多。

3）逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解方法

當(dāng)今設(shè)計(jì)的絕大多數(shù)6自由度機(jī)器人都滿足pieper準(zhǔn)則，即相鄰的三個(gè)關(guān)節(jié)軸線相交于一點(diǎn)，因此它們都有封閉解，本文采用代數(shù)的方法求得各個(gè)參數(shù)的解。

式(3)中，向矢量處于夾手進(jìn)入物體的方向，稱為接近向量a；y方向矢量的方向從一個(gè)指尖指向另外一個(gè)指尖，稱為方向矢量o；最后一個(gè)矢量n，它與矢量o和a一起構(gòu)成一個(gè)右手矢量合集，矢量p描述坐標(biāo)系的原點(diǎn)至于夾手指尖的中心所在位置。以上12個(gè)參數(shù)都是已知的。由式(3)得知等號(hào)左右兩邊對應(yīng)元素相等，得到如下方程：

式(7)表示等式左邊第二行第四列與右邊第二行第四列對應(yīng)相等，并采用三角代換式(8)、式(9)進(jìn)行計(jì)算：

計(jì)算結(jié)果如下：

同理可得其余角度數(shù)值：

由于三角函數(shù)產(chǎn)生的正負(fù)號(hào)導(dǎo)致θ1與θ3分別都有兩個(gè)符號(hào)不同的解，因此其兩兩組合就能產(chǎn)生四組不同的解，其產(chǎn)生的解的組合如表2所示。

表2 機(jī)器人四組逆解

對于PUMA560機(jī)器人來說，由于本身結(jié)構(gòu)的性質(zhì)導(dǎo)致其到達(dá)某一位姿時(shí)有對稱解，因此到達(dá)某一位置除了上述四種逆解之外，通過機(jī)器人臂彎關(guān)節(jié)“翻轉(zhuǎn)”可以得到另外不同的四組解，如表3所示。

表3 機(jī)器人對稱四組逆解

3 程序?qū)崿F(xiàn)及分析

利用MATLAB對上述解析式進(jìn)行編程，輸入一組各關(guān)節(jié)的初始角度參數(shù)，生成末端位姿參數(shù)[9～11]，然后利用末端位姿參數(shù)反過來求逆解得到八組不同的解（在MATLAB平臺(tái)首先將角度值轉(zhuǎn)換為弧度值）。

初始狀態(tài)如表4所示。

表4 初始各關(guān)節(jié)角度參數(shù)

求出逆解如表5所示。

表5 逆解求解結(jié)果

通過上表數(shù)據(jù)可以看到第六組解與初始值接近，并且其余七組解在理論上也是滿足執(zhí)行器到達(dá)執(zhí)行位姿的解。此外，通過改變不同的初始位姿得到的逆解誤差都在允許范圍以內(nèi)，滿足機(jī)器人求逆解的精確度要求。

4 結(jié)束語

通過實(shí)驗(yàn)研究分析，在MATLAB平臺(tái)下進(jìn)行的逆解運(yùn)算能夠快速準(zhǔn)確的得出機(jī)器人在理論上能夠?qū)崿F(xiàn)的八組位姿逆解，再根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍使得其滿足機(jī)器人運(yùn)作平穩(wěn)、避障等相關(guān)條件的約束，具有重要的實(shí)際意義。