指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的《有理數(shù)乘法（1）》教學(xué)

孫丹青

摘 要：本節(jié)內(nèi)容選自浙教版七年級(jí)上第二章第三節(jié)第一課時(shí)，是七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法與減法的基礎(chǔ)上，對(duì)有理數(shù)運(yùn)算的進(jìn)一步深化，同時(shí)又為有理數(shù)的除法的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)內(nèi)容的目標(biāo)不僅僅是使學(xué)生在熟記乘法法則的基礎(chǔ)上會(huì)熟練地進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算，更應(yīng)側(cè)重為使學(xué)生經(jīng)歷探索有理數(shù)乘法法則運(yùn)算律的過(guò)程，這既是本節(jié)課的重點(diǎn)，同時(shí)又是一個(gè)具有探索性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，因此，為了有效落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課設(shè)計(jì)了“學(xué)生騎行”問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生從情境中初步掌握有理數(shù)乘法法則的關(guān)鍵所在——符號(hào)的確定，并自主歸納出有理數(shù)乘法基本模型，對(duì)有理數(shù)相乘法則的探究過(guò)程中，運(yùn)用了分類的數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系，兼顧思想、方法和趣味。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；問(wèn)題情境；有理數(shù)乘法

【教學(xué)目標(biāo)】

1.回顧小學(xué)所學(xué)數(shù)的乘法，經(jīng)歷乘法法則的發(fā)生過(guò)程，掌握有理數(shù)的乘法法則，并正確地進(jìn)行乘法運(yùn)算。

2.理解幾個(gè)有理數(shù)相乘，積的符號(hào)如何確定。理解有理數(shù)的倒數(shù)定義。

3.經(jīng)歷兩個(gè)有理數(shù)相乘法則的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象，建立數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的原創(chuàng)性與實(shí)踐性；初步經(jīng)歷“分析實(shí)際問(wèn)題—建立數(shù)學(xué)模型—得出數(shù)學(xué)結(jié)果—把結(jié)果帶入實(shí)際問(wèn)題檢驗(yàn)—用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴钡慕＿^(guò)程。

【教學(xué)過(guò)程】

環(huán)節(jié)一：知識(shí)回顧，引入新課

【設(shè)計(jì)】

1.回顧小學(xué)乘法運(yùn)算法則并引導(dǎo)學(xué)生回顧有理數(shù)的分類：正數(shù)、負(fù)數(shù)、0。

2.引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出兩個(gè)有理數(shù)相乘的所有情形：正數(shù)×正數(shù)，正數(shù)×負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)×正數(shù)，負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)，0×正數(shù)，0×負(fù)數(shù)。

3.提出問(wèn)題，引出課題。

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立思考并口述，順利引出課題。

（設(shè)計(jì)意圖：從熟知的正數(shù)×正數(shù)的乘法運(yùn)算到乘法的各種情形運(yùn)算，激活學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)或經(jīng)驗(yàn)，為下一步進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)做好鋪墊；在自然狀態(tài)下遭遇困難，學(xué)生會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生疑問(wèn)，進(jìn)而渴望尋求新方法。既降低思維難度，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)潛移默化地使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)螺旋式上升的編排。）

環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境，初現(xiàn)模型

【設(shè)計(jì)】

情境引入：已知小紅同學(xué)在這條東西走向的金惠路上以300米/分的速度騎行，早晨7時(shí)恰好到達(dá)學(xué)校正門口。

【問(wèn)題1】：2分鐘后，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？如果規(guī)定向東為正，學(xué)校正門為原點(diǎn)，如何在數(shù)軸上體現(xiàn)這一過(guò)程？

【問(wèn)題2】：2分鐘前，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

情境變化：此時(shí)小明同學(xué)正以300米/分的速度向西騎行，早晨7時(shí)也恰好到達(dá)學(xué)校正門口。

【問(wèn)題3】：2分鐘后，小明在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

師整理板書(shū)，提出問(wèn)題4

（設(shè)計(jì)意圖：以情境問(wèn)題為導(dǎo)引，由問(wèn)題特殊性過(guò)渡到一般性的探討，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識(shí)，學(xué)生可以深刻感受生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)列不同的乘法算式，對(duì)乘法的概念認(rèn)識(shí)會(huì)逐漸清晰，直至在學(xué)生頭腦中建立起“有理數(shù)乘法”的模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。問(wèn)題串形式一步步地引導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，啟發(fā)學(xué)生用類比的方法探索，順利完成從舊知到新知的遷移。）

【現(xiàn)場(chǎng)】

（PPT動(dòng)畫(huà)展示）已知小紅同學(xué)在這條東西走向的金惠路上以300米/分速度騎行，早晨7時(shí)恰好到達(dá)學(xué)校正門口。

問(wèn)題1：2分鐘后，她在什么位置？

生2：2分鐘后，她在距離學(xué)校正門東側(cè)600米處。

師：若規(guī)定向東為正，學(xué)校正門為原點(diǎn)，你能在數(shù)軸上表示此時(shí)的位置嗎？可以用怎樣的算式表示呢？

生3：（上臺(tái)板演）

300×2=600

師：很好，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)小紅朝的哪個(gè)方向？

生3：向東。

師：如何在數(shù)軸上體現(xiàn)呢？如何體現(xiàn)300乘以2的過(guò)程呢？

生4：（上臺(tái)板演并解釋）為了表示向東行駛，我用向右的箭頭表示。

問(wèn)題2：2分鐘前，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

生5：2分鐘前，她應(yīng)該在-600處，即學(xué)校門口西邊的600米。算式為（-300）×2=-600。

師：請(qǐng)問(wèn)這里的-300代表什么意義？

生5：-300代表向西300米。

師：請(qǐng)問(wèn)2分鐘前，小紅是朝哪個(gè)方向騎行呢？

生5：向西。哦，不，好像也是向東。

師：同學(xué)們，你們還認(rèn)同這位同學(xué)列的算式嗎？

生6：老師，我覺(jué)得算式應(yīng)該為300×（-2）=-600。

師：請(qǐng)你解釋一下你的算式中300以及-2的實(shí)際意義。

生6：因?yàn)榇藭r(shí)小紅還是向東行駛的，所以300應(yīng)該是正數(shù)，也就是說(shuō)300代表的每分鐘向東行駛300米，-2代表了2分鐘前，因?yàn)閯偛?分鐘后，我們用2表示了，所以現(xiàn)在2分鐘前就要用-2表示了。

師：你的想法非常好，你能在數(shù)軸上體現(xiàn)這個(gè)算式嗎？

生6（上臺(tái)板演）

師：你們同意他的畫(huà)法嗎？

生7：我認(rèn)為箭頭應(yīng)該向右，因?yàn)檫€是向右行駛的。

師修改生6的板書(shū)：

300×（-2）=-600

情境變化：此時(shí)小明同學(xué)正以300米/分的速度向西騎行，早晨7時(shí)也恰好到達(dá)學(xué)校正門口。

問(wèn)題3：2分鐘后，小明在什么位置？

生8：小明在學(xué)校正門西邊600米處，即-600。

師追問(wèn)：很好，如何用算式表示？

生8：2×（-300）=-600

師：請(qǐng)你解釋這里的2與-300的實(shí)際意義。

生8：因?yàn)檫€是規(guī)定向東為正，那么現(xiàn)在小明向西行，所以應(yīng)該是-300，根據(jù)之前的規(guī)定，2分鐘后應(yīng)該為正，所以就是+2.

師肯定了這位學(xué)生的表達(dá)，再次追問(wèn)：誰(shuí)能在數(shù)軸上體現(xiàn)這一過(guò)程？

生9（上臺(tái)板演）

環(huán)節(jié)三：合作交流，完善模型

【設(shè)計(jì)】

1.合作交流：你能求（-300）×（-2）的結(jié)果，并用實(shí)例解釋此算式的意義嗎？

2.用實(shí)例說(shuō)明0×負(fù)數(shù)仍是0。

3.引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述兩個(gè)有理數(shù)相乘的法則，教師做適當(dāng)補(bǔ)充。

師生活動(dòng)：?jiǎn)栴}4由學(xué)生小組交流共同完成，教師鼓勵(lì)小組代表上臺(tái)匯報(bào)解決問(wèn)題的方法、步驟、結(jié)果等，教師做適當(dāng)補(bǔ)充，師生共同得出問(wèn)題4的結(jié)論。然后引導(dǎo)學(xué)生利用已建立的模型解釋0×負(fù)數(shù)仍得0的結(jié)論。再由學(xué)生觀察，通過(guò)特例的歸納，鼓勵(lì)學(xué)生自己總結(jié)有理數(shù)乘法法則。并用自己的語(yǔ)言加以描述，教師完善板書(shū)。

（設(shè)計(jì)意圖：初步體驗(yàn)小組合作建立合適數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的原創(chuàng)性與實(shí)踐性。小組內(nèi)每位同學(xué)都能參與到數(shù)學(xué)建模的環(huán)節(jié)中，通過(guò)類比、分析、猜想、合作的數(shù)學(xué)建模歷程得出負(fù)負(fù)得正的合理性。緊接著利用小組以建立好的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大展示，鍛煉學(xué)生的語(yǔ)言組織能力和表達(dá)能力。問(wèn)題4的難度設(shè)置要大于個(gè)人能力，小于合作能力，因此小組間學(xué)生的思維有了碰撞，使他們解決問(wèn)題的思維過(guò)程暴露出來(lái)。并在展示思維成果的過(guò)程中，深化對(duì)負(fù)負(fù)得正的理解，進(jìn)一步提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)）

問(wèn)題4：你能求（-300）×（-2）的結(jié)果，并用實(shí)例解釋此算式的意義嗎？

此問(wèn)題是以小組交流的形式展開(kāi)，讓學(xué)生繪制在事先準(zhǔn)備好的白紙上，5分鐘后，以小組為單位展示交流成果。

小組1： 小組2：

生9：以上是我們小組的討論結(jié)果，其中-2代表2分鐘前，

-300表示向西行駛，那么這個(gè)算式的實(shí)際意義就是小明向西行駛，2分鐘前位于學(xué)校正門東門600米處，即（-300）×（-2）=600。

生展示完后，師補(bǔ)充板書(shū)：（+2）×（+300）=+600

（-2）×（-300）=+600

（-2）×（+300）=-600

（+2）×（-300）=-600

師：同學(xué)們，兩個(gè)有理數(shù)相乘除了以上四種情況，還有嗎？

生10：還有0。

生11： 0乘以任何數(shù)都得0。

師：為什么？

生11：小學(xué)里學(xué)過(guò)。

師：小學(xué)里我們只學(xué)了0與正數(shù)相乘，那0與負(fù)數(shù)相乘還成立嗎？比如0 ×（-300），你能用合適的生活情境解釋下嗎？

生12：老師，我們不妨用剛才的問(wèn)題解釋，0代表的就是0分鐘后，-300代表每分鐘向西行300米，那么0分鐘后還是在原地，就是0。

師：這位同學(xué)解釋得非常好，數(shù)學(xué)問(wèn)題從生活中來(lái)，又回到生活中去。接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們觀察以上五個(gè)等式的左右兩邊，符號(hào)有什么規(guī)律？絕對(duì)值又有什么規(guī)律？

環(huán)節(jié)四：指導(dǎo)應(yīng)用，深化理解

【設(shè)計(jì)】

1.口答：判斷下列各式的符號(hào)，并說(shuō)明理由。

（1）（+12）×（-5）

（2）（-3.5）×2

（3）（+3）×（+■）

（4）（-1■）×（-■）

（5）（-5）+（-3）

2.通過(guò)（3）與（4）的結(jié)果引出有關(guān)倒數(shù)的定義。

3.例1 計(jì)算：

（1）（-1■）×（+■） （2）（+0.75）×（-16）

（3）0 ×（-9.5） （4）（-2.5）×（-■）

師生活動(dòng)：首先，教師出示題組1，要求學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成，并組織學(xué)生以口答的形式馬上進(jìn)行反饋；接著引導(dǎo)學(xué)生類比小學(xué)對(duì)倒數(shù)的理解，完善倒數(shù)的定義。而后教師出示題組3，板演解題步驟，規(guī)范解法。鼓勵(lì)學(xué)生做題后小結(jié)：兩個(gè)有理數(shù)相乘的基本步驟。

4.當(dāng)堂練習(xí)1：

（1）（-1.5）×（-■） （2）（■）×（-■）

（3）（-2）×（-0.5） （4）（-■）×（-■）×（-2）

由（4）小題提出計(jì)算兩個(gè)以上的有理數(shù)相乘時(shí)如何確定積的符號(hào)。

師生活動(dòng)：教師出題組4，學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，尋找典型問(wèn)題，引出多個(gè)有理數(shù)相乘的法則。

（設(shè)計(jì)意圖：題組一從基礎(chǔ)出發(fā)，讓學(xué)生能初步體驗(yàn)成功，用學(xué)到的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)選擇適當(dāng)?shù)姆▌t進(jìn)行判斷，側(cè)重于考查法則的掌握度。題組三強(qiáng)化學(xué)生對(duì)法則運(yùn)用的熟練度，側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生從具體練習(xí)中觀察、辨析的能力。題組4（4）在練習(xí)反饋環(huán)節(jié)中利用“小展示”的設(shè)置，一方面是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)表達(dá)、展示的“舞臺(tái)”，另一方面也是課堂重要典型的一些體現(xiàn)，這些體現(xiàn)來(lái)源于教師在巡視過(guò)程中的發(fā)現(xiàn)和整理，通過(guò)三位同學(xué)的不同解法，達(dá)到了思維碰撞，為提出多個(gè)有理數(shù)相乘法則做鋪墊。）

環(huán)節(jié)五：再探新知，類比深化

【設(shè)計(jì)】

1.判斷下列各式的符號(hào)

（-1）×2

（-1）×2×3 （-1）×2×3

（-1）×2×3×4 （-1）×2×（-3）×4

（-1）×2×3×4×5… （-1）×2×（-3）×4×（-5）…

由學(xué)生歸納，教師適當(dāng)補(bǔ)充：

多個(gè)不為零的有理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定。

負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則積為負(fù)；

負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則積為正；

（-1）×（-2）×（-3）×（-4）×0=0

幾個(gè)有理數(shù)相乘，當(dāng)有一個(gè)因數(shù)為0時(shí)，積為0

2.當(dāng)堂練習(xí)2

計(jì)算：（1）（-4）×5×（-0.5）； （2）（-5）×0×■；

（3）（-6）×（-■）×（-4）； （4）|-1.25|×（-8）×4

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)鞏固性練習(xí)，學(xué)生在反思總結(jié)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了對(duì)多個(gè)有理數(shù)相乘的有關(guān)知識(shí)的深刻建構(gòu)。）

環(huán)節(jié)六：歸納小結(jié)，反思提高

【設(shè)計(jì)】

通過(guò)本課的探討學(xué)習(xí)，你獲得了哪些新的知識(shí)，你認(rèn)為有哪些方面的進(jìn)步？

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)行小結(jié)，經(jīng)過(guò)學(xué)生個(gè)人回顧—同桌交流—給大家說(shuō)說(shuō)的過(guò)程，總結(jié)本節(jié)課的所做、所聽(tīng)、所感，讓知識(shí)系統(tǒng)化、合理化。重視學(xué)生之間的相互補(bǔ)充，訓(xùn)練學(xué)生的歸納和表述能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。）

【課后反思】

1.本節(jié)課設(shè)置了豐富的問(wèn)題情境，讓學(xué)生體會(huì)到了有理數(shù)乘法法則的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，內(nèi)容的選擇和呈現(xiàn)都關(guān)注了現(xiàn)實(shí)意義和學(xué)生的興趣，學(xué)生經(jīng)歷了有理數(shù)乘法法則的過(guò)程，模型化的味道較濃，也符合課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的要求。

2.環(huán)節(jié)2與環(huán)節(jié)3的情境中通過(guò)諸多問(wèn)題引導(dǎo)，學(xué)生可以深刻感受生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)列不同的乘法算式，對(duì)乘法的概念認(rèn)識(shí)會(huì)逐漸清晰，直至在學(xué)生頭腦中建立起“有理數(shù)乘法”的模型，加之后期的應(yīng)用鞏固，用模型去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義，“有理數(shù)乘法”建模的教學(xué)可以較好地完成。

3.環(huán)節(jié)1中“知識(shí)回顧”的內(nèi)容是學(xué)生有關(guān)“小學(xué)乘法運(yùn)算”知識(shí)的儲(chǔ)備，屬于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容是熟悉的，但并不明晰，將這些內(nèi)容先進(jìn)行回顧梳理，是為本節(jié)課的教學(xué)奠定基礎(chǔ)，也可以認(rèn)為這也是進(jìn)行“有理數(shù)乘法”模型的自然滲透。

4.環(huán)節(jié)3中的小組交流的創(chuàng)設(shè)有利于加深學(xué)生對(duì)“負(fù)負(fù)得正”數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，生活問(wèn)題可以用“數(shù)學(xué)表達(dá)式”表示，反之，“數(shù)學(xué)表達(dá)式”也可以賦予有意義的生活背景。同時(shí)本環(huán)節(jié)的交流部分，學(xué)生分工合作，小組內(nèi)每位同學(xué)都能參與到數(shù)學(xué)建模的環(huán)節(jié)中。通過(guò)類比、分析、猜想、合作的數(shù)學(xué)建模歷程得出負(fù)負(fù)得正的合理性。緊接著利用小組已建立好的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大展示，鍛煉學(xué)生的語(yǔ)言組織能力和表達(dá)能力。

5.本節(jié)課努力將學(xué)生的自我評(píng)價(jià)、同伴評(píng)價(jià)、教師評(píng)價(jià)結(jié)合在一起，從更全面的角度看待學(xué)生。

總之，這節(jié)課是以素養(yǎng)立意的課時(shí)：用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析生活問(wèn)題，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)生活問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。學(xué)習(xí)知識(shí)真正的目的是能運(yùn)用于生活，能在看不到數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，才是學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的真正形成，教學(xué)要不斷引入開(kāi)放性的實(shí)際問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題的解決中獲得素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙小云.基于有效教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂情境設(shè)計(jì)：以“有理數(shù)的乘法”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（10）.

[2]劉海燕.初中數(shù)學(xué)建模思想初探[J].現(xiàn)代教育科學(xué)，2011（2）.

編輯 郭小琴