中國股票市場主要轉(zhuǎn)折點的識別：基于改進的小波領(lǐng)袖法與逼近技術(shù)的貝葉斯法

譚政勛，黃錦東，葉 誠

(1.湖南師范大學(xué)商學(xué)院，湖南 長沙 410002；2.暨南大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，廣東 廣州 510062)

1 引言

以股票為代表的資產(chǎn)價格或者其趨勢是否可以預(yù)測？對于這個富有挑戰(zhàn)性的問題，諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的獲得者給出了相互矛盾又相互兼容的答案。Fama[1]的“有效市場理論”認為，股票價格是隨機游走的，無論短期還是長期均無法預(yù)測。以Shiller[2]為代表的行為金融學(xué)和Peters[3-4]的分形市場理論認為，雖然短期內(nèi)無法準確預(yù)測股票價格；但長期來看，股票市場存在長期記憶性、趨勢和趨勢循環(huán)，因此可以判斷股票價格的運行趨勢及其變化的轉(zhuǎn)折點。本文基于這些背景，并在總結(jié)已有文獻不足的基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新，體現(xiàn)在三個方面。(1)理論模型上改進了小波領(lǐng)袖法，并利用改進的小波領(lǐng)袖法刻畫股票市場的波動性。小波領(lǐng)袖法存在各尺度加權(quán)不一致的缺陷，如果利用小波領(lǐng)袖法來估計股票市場的多重分形譜，將會導(dǎo)致多重分形譜的估計有偏,并低估奇異指數(shù)，本文的改進彌補了這些不足。(2)估計方法上，首次提出并利用基于逼近技術(shù)的貝葉斯法估計來識別上證綜合指數(shù)主要轉(zhuǎn)折點的多重分形參數(shù)。與基于最小二乘估計的勒讓德變換法相比，基于逼近技術(shù)的貝葉斯法可得到標準差更小、估計效率更高且無偏性不受影響的估計值；在識別股票市場的主要轉(zhuǎn)折點時，本文只需要1個參數(shù)，而傳統(tǒng)的勒讓德變換法需要估計2個參數(shù)。(3)實證上，首次識別了我國股票市場的長期趨勢以及趨勢發(fā)生變化的主要轉(zhuǎn)折點。

由于有效市場理論無法解釋資本市場的諸多異常現(xiàn)象，學(xué)者嘗試利用其它理論和方法彌補有效市場理論的不足。其中影響最大的是分形市場假說，這是Peters[3-4]整合有效市場假說和分形幾何學(xué)后而提出的。分形市場假說與有效市場理論的最大區(qū)別在于放松了投資者是理性、同質(zhì)的假設(shè)，并得出不同的結(jié)論。分形市場假說認為，股票價格對信息的反應(yīng)和調(diào)整是緩慢、不完全的，因此存在長期記憶和自相似性：股價的每個局部特征都與整體構(gòu)造相似，雖然每次上漲和下跌趨勢的幅度、周期不一樣，但在全局上具有趨勢和趨勢循環(huán)，即向一個方向持續(xù)一段時間才反轉(zhuǎn)，然后又向另一個方向持續(xù)一段時間。因此，股票價格指數(shù)的長期趨勢可以預(yù)測，這體現(xiàn)了整體秩序性與局部隨機性的統(tǒng)一。Mandelbrot[5]率先提出利用穩(wěn)定的帕累托分布描述股票收益率，Mandelbrot[6]利用經(jīng)典重標極差法(R/S分析法)估計股票市場的Hurst指數(shù)，以揭示金融市場時間序列的分形特征。Lo[7]指出，經(jīng)典R/S法對數(shù)據(jù)的短程相關(guān)十分敏感，容易將短期記憶誤判為長期記憶；針對這個缺陷，Lo[7]提出修正R/S法。Giraitis等[8]對KPSS統(tǒng)計量進行“中心化”，提出更加穩(wěn)健的V/S統(tǒng)計量，并用它檢驗英鎊兌美元匯率的長期記憶性。Grech和Mazur[9]利用DFA(Detrended Fluctuation Analysis)估計局部Hurst指數(shù)，準確識別出1929年至2003年間道瓊斯工業(yè)指數(shù)的轉(zhuǎn)折點。Grech和Pamula[10]、Kristoufek[11]使用DFA的二階波動矩分別計算了華沙和捷克布拉格股票交易指數(shù)的局部Hurst指數(shù)，提前識別了股票市場的暴跌。

上述的經(jīng)典R/S法、修正R/S法、V/S分析法和DFA法都屬于單分形模型。盡管單分形模型能夠在一定程度彌補有效市場假說的局限，但單分形模型對標度函數(shù)強加了線性約束，仍然無法反映金融市場的復(fù)雜性。Bacry等[12]認為，當(dāng)標度函數(shù)呈非線性形態(tài)時，單分形模型會失效，為此構(gòu)造了多重分形隨機游走(MRW)序列來模擬市場數(shù)據(jù)。MRW序列的標度函數(shù)可呈非線性形態(tài)，需用多重分形模型來識別，而識別的關(guān)鍵在于估計多重分形譜的參數(shù)。Kantelhardt等[13]提出MF-DFA來計算不同階矩下的廣義Hurst指數(shù)，苑瑩等[14]根據(jù)MF-DFA測算出了滬深兩市收益率序列的廣義Hurst指數(shù)，認為我國股票市場存在顯著的多重分形特征。為了簡化運行程序，提高計算效率，許多學(xué)者開始利用小波方法研究多重分形數(shù)據(jù)。Muzy等[15]最先將小波模極大值法(Wavelet Transform modulus Maxima Method, WTMM)引入多重分形譜的分析；Jaffard等[16]借助離散小波變換，首次建立了小波領(lǐng)袖法(Wavelet Leader, WL)；在實證方面，Ramsey等[17]最早利用小波變換法分析標普指數(shù)的波動情況；Pavlov等[18]采用小波模極大值法發(fā)現(xiàn)了金融市場的多重分形特征。不少國內(nèi)學(xué)者也將小波方法用于預(yù)測股票市場的趨勢變化和漲跌幅度。王哲等[19]通過二進小波變換下的多分辨率分析剔除了引起漲跌的偶然因素，并總結(jié)了股票價格漲跌的一般規(guī)律。周明磊[20]用db小波作為小波母函數(shù)對上證指數(shù)進行去噪和擬合，構(gòu)建了長短期組合趨勢線，總結(jié)了上證指數(shù)的變化規(guī)律。梁強等[21]利用小波的多尺度分析，準確地提取了油價的長期趨勢。樊穎等[22]通過多層次離散小波分解去除數(shù)據(jù)趨勢和噪聲，然后利用重構(gòu)的周期性信號表征平均周期與波動趨勢，以此分析北京市房地產(chǎn)市場的周期長度和景氣循環(huán)。劉向麗和王旭朋[23]利用小波多分辨率濾出日內(nèi)效應(yīng)，對我國股指期貨進行分解、重構(gòu)和預(yù)測。

據(jù)我們所知，已有的文獻沒有分析單分形模型與以小波變換法為代表的多重分形模型的關(guān)系；也沒有文獻系統(tǒng)比較過各多重分形模型之間的區(qū)別與聯(lián)系；更沒有文獻結(jié)合分形市場假說與小波領(lǐng)袖法來識別我國股票市場的主要轉(zhuǎn)折點。最為遺憾的是，已有文獻都是利用現(xiàn)成的小波模極大值法或小波領(lǐng)袖法進行分析，沒有文獻深入分析小波領(lǐng)袖法的缺陷及其帶來的不良影響；在刻畫股票市場的波動性后，多數(shù)文獻采用最小二乘法估計股票市場波動性與時間尺度的冪律關(guān)系。由于股票市場波動性與時間尺度的冪律關(guān)系一般不滿足最小二乘法所要求的假設(shè)，其結(jié)果往往是有偏的，標準差不是最小的，也不是漸進有效的。我們將針對上述不足進行創(chuàng)新。

2 不同分形時間序列模型的標度指數(shù)及求解方法

單分形方法通常先證明時間序列的標度不變性，然后估計單分形的奇異指數(shù)；其中估計單分形時間序列的標度指數(shù)是揭示標度不變性的關(guān)鍵。估計標度指數(shù)的常用思路是：如果時間序列滿足標度不變性，則可以在不同的時間尺度v上構(gòu)造一個波動指標Fv，使得Fv滿足

Fv～vH

(1)

通過數(shù)值算法，可求解式(1)中的標度指數(shù)H。R/S法最早被用于分析單分形時間序列。為了與小波領(lǐng)袖法進行比較，首先簡單介紹R/S法：將序列{X(t)}分割為N個長度均為v的子區(qū)間，每個子區(qū)間簡記為k，k=1,2,…,N，用(R/S)v代替式(1)的Fv，則變?yōu)椋?/p>

(R/S)v～vH

(2)

式(2)中的(R/S)v，即標準化后的極差的均值，

(3)

式(3)中的Rk、Sk分別是第k個區(qū)間的極差和標準差。對序列{X(t)}進行不同的分割，獲得不同v的(R/S)v，并估計方程

log[(R/S)v]=H*log(v)+α

(4)

對于多重分形模型，基于冪率關(guān)系的多重分形序列X(t)的標度指數(shù)為：

對于連續(xù)情形，當(dāng)q∈[qmin,qmax]且vj∈[vmin,vmax]時，

E|TX(vj,t)|q?Cq|vj|ζ(q)

(5)

對于離散情形，當(dāng)q∈[qmin,qmax]且vj∈[vmin,vmax]時，

(6)

上述關(guān)系包含分辨率vj和階數(shù)q兩個變量，且當(dāng)采取二進層級結(jié)構(gòu)時vj=2-j；nvj表示TX(vj,t)在第j層(即分辨率為vj的采樣數(shù)；而TX(vj,t)可以是序列增量或小波系數(shù)。如果ζ(q)≠qH,則稱序列X(t)為多重分形序列。無論是MF-DFA法、WTMM法或是WL法，它們關(guān)注的重點都是將原始時間序列進行轉(zhuǎn)換，然后挖掘新序列和時間尺度的冪律關(guān)系；其中增量矩估計法是分析多重分形最基本的方法。它的思路是：通過構(gòu)造平穩(wěn)增量矩來代替式(5)和(6)中的TX(vj,t)，進而估計出序列的標度指數(shù)。和傳統(tǒng)增量矩估計法相比，小波領(lǐng)袖法更為快速高效，將式(5)和(6)中的統(tǒng)計量TX(vj,t)視作小波細節(jié)系數(shù)，并按以下步驟挖掘冪律關(guān)系：

第1步，選取合適的母小波ψ0(x)，并根據(jù)母小波對序列X(t)進行二進尺度離散小波變換，在實數(shù)域上得到序列的小波細節(jié)系數(shù)矩陣d(j,k)，

(7)

上式中，Ψ*(a)為母小波的伸縮平移變換，即

Ψ*(a)=2-jΨ0(2-jt-k)

(8)

其中，j是母小波的伸縮層級數(shù)；k是小波平移變換的位移指標，其表示母小波經(jīng)過2jk的位移。如此一來，小波細節(jié)系數(shù)矩陣的第j行代表尺度2-j(或?qū)蛹塲)下的離散小波變換，而其第k列上的元素則反映了各層級的第k個時間區(qū)間的小波細節(jié)系數(shù)。

第2步，構(gòu)造移動區(qū)間λj,k=[k2j,(k+1)2j]和內(nèi)部聯(lián)合區(qū)間3λj,k=λj,k-1Uλj,kUλj,k+1，并按以下定義構(gòu)造小波領(lǐng)袖矩陣：

L(j,k)=supλ∈zλj,k|d(j,λ)|

(9)

第3步，將各層級小波分解下的q階結(jié)構(gòu)函數(shù)矩陣定義為其小波系數(shù)的q階矩：

(10)

式中nj是小波領(lǐng)袖第j層分解系數(shù)的個數(shù)；階數(shù)q為任意非0實數(shù)。式(10)就是小波領(lǐng)袖法對式(6)中的統(tǒng)計量TX(vj,f)的估計，因此冪律關(guān)系為：

S(q,j)?Cq2jζ(q)

(11)

3 小波領(lǐng)袖法的缺陷及改進

3.1 傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法的不合理性及其與R/S法的比較

小波領(lǐng)袖法的基本思路是：首先，通過離散小波變換將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成含有小波領(lǐng)袖矩陣元素，并且按照CMC幾何結(jié)構(gòu)排列的小波細節(jié)系數(shù)；然后，進一步利用新構(gòu)造的小波細節(jié)系數(shù)序列構(gòu)造小波領(lǐng)袖矩陣。按照Mallat[24]算法，離散小波變換的計算分解為三個步驟：(1)將初始數(shù)據(jù)進行連續(xù)小波變換，從而獲得新一層的數(shù)據(jù)序列；(2)對新的數(shù)據(jù)序列進行二進間隔采樣；(3)將最新層級的數(shù)據(jù)視作初始數(shù)據(jù)，重復(fù)上述兩個步驟。在上述小波變換法所構(gòu)造的多分辨率序列中，層級j上的每一個數(shù)據(jù)都可被視作和CMC中第j層級的子區(qū)間相關(guān)的指標值；層級j上的每一個數(shù)據(jù)都是利用小波母函數(shù)對j-1層級的一部分小波細節(jié)系數(shù)進行加權(quán)求和的結(jié)果。對于傳統(tǒng)的小波變換，用于作為序列權(quán)重的小波函數(shù)具有平方和為1的性質(zhì)，即：

(12)

式(12)是不合理的，因為層級為j的區(qū)間有兩個相鄰的，且層級為j-1的子區(qū)間合并而成。因此，分配到層級為j的子區(qū)間上的權(quán)重應(yīng)當(dāng)比分配在層級為j-1的子區(qū)間上的權(quán)重具有更大的能量，即平方和。根據(jù)式(12)，不同層級上的能量都等于1，這不符合事實。

由于單分形過程是多重分形隨機過程的特例，或者說多重分形模型是單分形模型的推廣，因此多重分形模型和單分形模型存在必然的聯(lián)系和共性。為了進一步研究R/S法和小波領(lǐng)袖算法的共性，以便對傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖方法進行改進，下面對經(jīng)典R/S法進行一系列的等式變換。

從式(3)可知：

(13)

對式(13)進行分解可得：

(14)

式中wi=(n/N)0.5。對式(14)進行拆分：(1)在不同子區(qū)間內(nèi)求累積離差和，并對該累積離差和進行標準化；(2)利用wi對第一步的結(jié)果加權(quán)求和；(3)在各子區(qū)間內(nèi)，對第二步的結(jié)果求極差。(4)對wi2進行累加，則wi的能量和等于各子區(qū)間的長度，

(15)

上面比較了R/S法與傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法的計算原理和步驟，并發(fā)現(xiàn)兩者均需要對數(shù)據(jù)進行加權(quán)求和，并構(gòu)造新的序列；式(15)與式(12)的共同點是描述了所有區(qū)間的權(quán)重的能量的總和。但兩者存在較大區(qū)別，式(12) 表明，隨著尺度的改變，式(7)的權(quán)重所對應(yīng)的總能量恒等于1；而式(15)中權(quán)值函數(shù)wi的能量和等于各子區(qū)間的長度，這意味著子區(qū)間越長，其能量和越大。簡而言之，在傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法中，小波函數(shù)的能量和具有歸一化性質(zhì)，即滿足式(12)；而在R/S分析法中，各子區(qū)間權(quán)重的能量和并不等于1，而是等于子區(qū)間的長度，即滿足式(15)。對修正R/S法、DFA法等單分形序列的分析模型進行分解，也能得到與R/S法一樣的推斷，即權(quán)值函數(shù)wi的能量和等于各子區(qū)間的長度。綜上所述，傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖算法不是單分形模型向多分形模型的完美延伸。

3.2 小波領(lǐng)袖法的改進

式(15)表明，任一尺度上的權(quán)值平方和應(yīng)隨尺度的增加而增加；比較式(12)和(15)可知，小波領(lǐng)袖算法不恰當(dāng)?shù)募訖?quán)方式將會造成標度指數(shù)的低估，進而影響奇異指數(shù)的估計，并造成多重分形譜的扭曲。為此，須對小波函數(shù)及其伸縮平移變換表達式進行適當(dāng)?shù)男ＵＲ远M尺度小波領(lǐng)袖估計為例，應(yīng)把式(12)中的小波函數(shù)校正

(16)

利用式(16)校正小波函數(shù)后，式(12)的能量和等于各個子區(qū)間的長度，即滿足：

(17)

通過式(17)，我們完成了小波領(lǐng)袖算法和R/S算法賦權(quán)口徑的統(tǒng)一。除了與經(jīng)典R/S分析保持著更多的一致性外，改進的小波領(lǐng)袖法比傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法具有更加嚴謹?shù)睦碚撨壿?。一方面，根?jù)小波變換理論，由式(16)構(gòu)造的小波母函數(shù)構(gòu)成了L2(R)L2(R)上的正交基，而由式(8)構(gòu)造的小波母函數(shù)只是其規(guī)范化后的形式，它們所計算出的小波細節(jié)系數(shù)d(j,k)都屬于L2(R)L2范數(shù)形式的小波細節(jié)系數(shù)。另一方面，雖然有效市場理論認為，所有投資者都會獲得等質(zhì)等量的信息，并形成相同的預(yù)期，因此股票價格的調(diào)整是非常迅速的，信息對市場的波動或影響只是短期的，但行為金融學(xué)認為，信息的傳遞可能因許多復(fù)雜因素而受到限制，且投資者從接受信息到采取行動又具有一定的時滯，這使得市場價格無法在短期內(nèi)對信息進行完全反應(yīng)。隨著時間跨度的延長，信息將得到更加充分的傳遞和解讀。因此股票價格的調(diào)整是緩慢的，若信息對市場的影響更加持久，股票價格的波動持續(xù)時間會更長、幅度可能更大，從而產(chǎn)生更多的能量。所以，應(yīng)當(dāng)為更長時間跨度內(nèi)的股價變化賦予具有更高能量的權(quán)重。因此，改進的小波領(lǐng)袖法更加符合股票市場的實際情況。

3.3 實證檢驗和Monte Carlo模擬

為了驗證本文所提出改進的小波領(lǐng)袖法的有效性和合理性，下面進行實證檢驗和Monte Carlo模擬，以便驗證改進的小波領(lǐng)袖法比傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法更能準確估計奇異指數(shù)。實證檢驗中，選取db2小波，并以2004年3月1日至2016年4月1日的上證指數(shù)為對象。上述數(shù)據(jù)涵蓋了我國上證指數(shù)的牛市、熊市、盤整和反彈行情，具有很好的代表性。

從圖1(a)可以看出，利用傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法所計出的小波系數(shù)的q矩陣函數(shù)logS(q,j)的斜率隨著尺度的增加而不斷減小，與層級j之間沒有呈現(xiàn)出良好的線性關(guān)系，兩者甚至是非線性相關(guān)的。這與分形市場假說理論和其他基于多重分形數(shù)學(xué)模型的“線性相關(guān)”的假設(shè)相悖。因此，傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法沒有很好挖掘出我國股市收益率所存在的標度現(xiàn)象。由此可知，使用線性回歸模型求解標度指數(shù)的做法將低估標度指數(shù)，進而嚴重扭曲多重分形譜的估計值。與圖1(a)相反，圖1(c)表明，改進算法估算出的結(jié)構(gòu)函數(shù)在j的大部分區(qū)間內(nèi)(尤其是在j∈[2,5]的時候)具有較好的線性關(guān)系，這表明修改后的小波領(lǐng)袖算法充分反映出了數(shù)據(jù)的標度現(xiàn)象。在此情況下，利用線性回歸模型對標度指數(shù)進行求解，不會導(dǎo)致太大的估計偏誤。最后，通過對比圖1(b)和(d)可知，雖然傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法和修正后小波領(lǐng)袖法得到的奇異指數(shù)h(q)h(q)都具有多標度現(xiàn)象；但前者h(q)的取值范圍均小于0.35，而后者h(q)的取值范圍集中在0.3到0.65內(nèi)，修正后小波領(lǐng)袖算法得到的奇異指數(shù)即h(q)遠遠大于傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法相應(yīng)的估計值，這就從實證上進一步驗證了前面的理論推測：傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖算法低估了金融時間序列的標度指數(shù)，進而使奇異指數(shù)的估計產(chǎn)生偏誤并造成多重分形譜的扭曲。本文還選擇db3等其他小波進行計算，其結(jié)果都顯示了改進算法的優(yōu)勢。

圖1 小波領(lǐng)袖算法改進前后的結(jié)果差異注：上述四幅圖中，圖(a)和圖(b)是基于傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖算法得到的結(jié)果；圖(c)和圖(d)是基于小波領(lǐng)袖改進算法得到的結(jié)果。圖(a)和圖(c)描繪的是，對數(shù)化結(jié)構(gòu)函數(shù)logS(q,j)與層級j之間的相關(guān)關(guān)系；圖(b)和圖(d)為收益率序列的多重分形譜；對于圖(b)和圖(d)的數(shù)值計算，標度指數(shù)在層級為[2,5]的區(qū)間下進行回歸求解，奇異指數(shù)h(q)由標度指數(shù)對q求導(dǎo)得出；分形維數(shù)由勒讓德變換(Legendre transform)計算得出。

(18)

ω是獨立于GH，服從高斯分布的隨機過程，該高斯分布的協(xié)方差矩陣服從：

cov[ω(k1),ω(k2)]

(19)

表1的結(jié)果說明，相比于傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖方法，本文提出的改進波領(lǐng)袖方法確實提高了奇異指數(shù)估計值的準確性。理由如下，第一，運用傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖方法所得到的奇異指數(shù)的估計值小于設(shè)定的真實值，偏差遠遠小于0，嚴重低估了真實的奇異指數(shù)；相反，運用改進的小波領(lǐng)袖法所得到的奇異指數(shù)H的估計值只是稍微大于真實值，但偏差幾乎為0。因此，根據(jù)模擬結(jié)果，傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖方法大大低估了真實的奇異指數(shù)。第二，通過標準化的偏差進一步分析可得知：在傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖方法中，所有S_ Bias的絕對值均大于2；在改進的小波領(lǐng)袖方法中，S_ Bias幾乎為0。因此同樣可以認為，傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖方法嚴重低估了奇異指數(shù)；而改進的小波領(lǐng)袖法則能夠準確估計出奇異指數(shù)，從而可以更加精準的刻畫多重分形譜。

表1 傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖方法和改進小波領(lǐng)袖方法的奇異指數(shù)H的估計結(jié)果

4 基于逼近技術(shù)的貝葉斯估計法

4.1 基于逼近技術(shù)的貝葉斯估計法

logS(q,j)=ζ(q)·log(2j)+α

(20)

其中2j是多分辨率的尺度，斜率ζ(q)是標度指數(shù)。ζ(q)可寫為二次函數(shù)

(21)

h(q)=c1+c2q

(22)

利用勒讓德變換，有

Dq(h)=infq≠0[1+c2q2/2]

(23)

估計出參數(shù)c1、c2后，在直角坐標上畫出基于貝葉斯估計的多重分形譜，即Dq～h(q)。雖然式(21)的多項式逼近估計法使多重分形參數(shù)損失了部分信息，但大大減少了噪聲。Dq～h(q)所對應(yīng)的坐標連線構(gòu)成一個開口向下的標準二次函數(shù)。容易推知，該二次函數(shù)的寬度

Δh=-2(-c2)-2/3

(24)

式(23)和(24)表明，參數(shù)c2能夠同時衡量多重分形程度的強弱和分形維數(shù)的大小，因此實際應(yīng)用中只需求解c2。下面利用基于多項式逼近技術(shù)的貝葉斯法估計c2：構(gòu)造對數(shù)小波領(lǐng)袖lx(j,k)的協(xié)方差矩陣的參數(shù)方程，lx(j,k)由式(9)取對數(shù)得到；在貝葉斯方法下，構(gòu)造對數(shù)化后小波領(lǐng)袖矩陣的后驗分布；最后根據(jù)后驗分布來估計參數(shù)。下面具體說明。

第二步，構(gòu)造對數(shù)化小波領(lǐng)袖矩陣的后驗分布。將不同層級的對數(shù)小波領(lǐng)袖矩陣元素值分別中心化，得到標準化矩陣

(25)

由式(25)可知，向量lj,X(k)的均值為零，協(xié)方差矩陣為:

(26)

(27)

根據(jù)貝葉斯定理，如果后驗分布f(γ2|lX)存在，則可由參數(shù)lX的似然函數(shù)f(lX|γ2)和參數(shù)γ2的先驗分布f(γ2)來構(gòu)造，即有

f(γ2|lX)∝f(lX|γ2)f(γ2)，f(lX|γ2)=Πjf(lj,X|γ2)

(28)

對f(lj,X|γ2)的設(shè)定，本文綜合了Wendt等[27]和Combrexelle等[28]的做法，第j層級的小波領(lǐng)袖矩陣的似然函數(shù)為:

(29)

(30)

(31)

Liu[29]和Brooks等[30]指出，所選擇的分布對Metropolis-Hastings的結(jié)果產(chǎn)生很大影響。如果選取的分布不恰當(dāng)，將導(dǎo)致接受概率ρ過高或過低。過高的接受概率將導(dǎo)致分布擬合能力過弱，而過低的接受概率將使得生成的樣本具有較強的序列相關(guān)，這都不利于獲得準確的估計值。鑒于目前未有較好的方法來選擇哪個分布，本文借鑒Wendt等[27]的做法：選取合適的η1和η2，使得接受概率的取值更加多樣化、抽樣也具有“良調(diào)配性質(zhì)”(Well mixing Property)。遵循這一思路，多次嘗試了參數(shù)的設(shè)定值，最終確定以0.0012和0.0019作為η1和η2的優(yōu)選設(shè)定值，然后把-0.009 和0.49分別作為c2和c20的初始值。根據(jù)上述標準對模型參數(shù)進行初始化后，參考夏南新[31]、譚政勛和張欠[32]，以256個交易日作為滑動窗口的寬度；在各個窗口內(nèi)對向量γ2t進行1500次迭代，并按照式(31)取后600個樣本的均值(Nmc=1500，Nbi=900，1500-900=600)，得到c2的估計值。

下面簡要總結(jié)基于逼近技術(shù)的貝葉斯估計法的思路。(1)假設(shè)待估參數(shù)服從某一先驗概率分布，并利用中心化后的對數(shù)小波領(lǐng)袖矩陣的協(xié)方差構(gòu)造似然函數(shù)。(2)將先驗概率密度函數(shù)與似然函數(shù)相乘，獲得參數(shù)的后驗分布。(3)運用Monte Carlo方法進行Gibbs采樣，并判斷所生成的隨機數(shù)是否服從后驗分布的標準：運用參數(shù)的后驗分布和蒙特卡羅的概率分布，計算所生成的樣本數(shù)據(jù)是否服從后驗分布的接受概率；如果接受，以新生成的隨機數(shù)作為序列的下一個數(shù)值，否則，將上一次抽樣所得到的隨機數(shù)作為序列的下一個數(shù)值，這樣得到服從后驗分布的隨機序列。最后把隨機序列的均值作為估計值。最后需指出，逼近技術(shù)的貝葉斯法體現(xiàn)在兩點：一是根據(jù)泰勒級數(shù)，采用二次多項式作為標度指數(shù)的逼近；二是采用分段函數(shù)來逼近小波領(lǐng)袖矩陣的協(xié)方差。在上述過程中，小波領(lǐng)袖矩陣及其協(xié)方差的計算利用了改進的小波領(lǐng)袖法，而不是傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖法；在計算候選參數(shù)的接受概率ρ時，也同樣利用了本文改進的小波領(lǐng)袖法。

4.2 識別股票市場主要轉(zhuǎn)折點的有關(guān)參數(shù)

無論在MF-DFA模型還是基于勒讓德變換法的小波領(lǐng)袖法中，都要計算2個參數(shù)：多重分形譜的寬度Δh和分形維數(shù)Dq(h)。但由于本文采用貝葉斯法來估計標度指數(shù)，我們只需要1個參數(shù)，即式(21)中的待估參數(shù)C2。原因在于，通過式(23)和(24)我們發(fā)現(xiàn)，多重分形譜的寬度Δh和分形維數(shù)Dq(h)都是C2的函數(shù)，只要把C2估計出來，這2個參數(shù)就隨之確定。下面討論多重分形譜的寬度Δhb和分形維數(shù)Dq(h)的經(jīng)濟學(xué)意義，以及C2與這兩個參數(shù)的關(guān)系。

Δh(q)=h(qmax)-h(qmin)，即多重分形譜的寬度，Δh(q)表示q在特定范圍內(nèi)取值時的多重分形譜寬度，其值為非負實數(shù)(對于單分形序列，Δh(q)=0)。Δh(q)能夠刻畫特定時間跨度內(nèi)收益率序列的紊亂程度：當(dāng)觀測窗口內(nèi)的收益率波動幅度越不一致的時候，重分形特征越顯著，此時Δh(q)的取值將會越大；當(dāng)觀測窗口內(nèi)的收益率波動幅度比較均勻的時候，股票市場的重分形特征越弱，此時Δh(q)的取值越小。重分形維數(shù)D(hmin)是指D(h)在奇異指數(shù)取最小值時的分形維數(shù)。由于奇異指數(shù)h(q)是q的函數(shù)，并且h(q)在q等于最大值即qmax的時候取值最小，所以D(hmin)是q取最大值時的分形維數(shù)。式(23)表明，在多重分譜參數(shù)h(q)和D(h)的計算過程中，高階矩的計算能夠?qū)⑤^小的小波領(lǐng)袖矩陣元素濾除，因此D(hmin)衡量的是收益率序列中巨幅波動的分形維數(shù)。根據(jù)分形維數(shù)的定義，分形維數(shù)D(h)是奇異指數(shù)為h時的股價波動的概率，這意味著D(hmin)衡量了股價大幅度波動的歷史概率。換言之，取值較低的D(hmin)表明，在觀測樣本期內(nèi)股票指數(shù)出現(xiàn)的大幅度波動屬于小概率事件，因此屬于更為異?；蛞饬现獾牟▌樱欢≈递^高的D(hmin)意味指數(shù)發(fā)生大幅度波動是正?，F(xiàn)象。上述定義表明，D(hmin)對股市具有一定的預(yù)測能力。第一，由于D(hmin)衡量的是收益率序列中巨幅波動的分形維數(shù)或者概率，而一般來說，股票指數(shù)的劇烈波動屬于小概率事件，因此一旦檢測到這些小概率事件，說明股票市場發(fā)生了劇烈波動。第二，從股票市場的運行規(guī)律來看，股票市場一旦發(fā)生劇烈波動，往往意味著在不久的將來，股票市場的運行趨勢將發(fā)生逆轉(zhuǎn)。第三，從行為金融學(xué)和分形市場理論來看，股票指數(shù)波幅的持續(xù)放大，意味著投資者的預(yù)期一致，投資者要么傾向于看多，流動性充足，這時股票以上漲為主；或者投資者均傾向于看空，流動性枯竭，這時股票指數(shù)以下跌為主甚至暴跌。第四，根據(jù)分形市場理論，“股票市場是局部隨機性與整體確定性的結(jié)合體”表明，短期內(nèi)或者局部來看，股票市場是無法預(yù)測的；但是當(dāng)股票市場長期處于上漲階段或下跌階段，股票市場在不久的將來會改變原來的運行趨勢，出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點即小概率事件發(fā)生。因此，當(dāng)較小的重分形維數(shù)D(hmin)出現(xiàn)時，說明檢測到“暴漲暴漲”這類小概率事件，而小概率事件的發(fā)生，意味著股票市場的轉(zhuǎn)折點即將出現(xiàn)。

綜上所述，多重分形譜寬度Δh(q)和分形維數(shù)D(hmin)分別根據(jù)收益率分布的均勻性和收益率巨幅波動發(fā)生概率來衡量股票市場的異常程度。通過多重分形譜寬度Δh(q)和指標D(hmin)大小的變化，可以動態(tài)評估投資者所面臨的市場風(fēng)險、識別股票市場的主要轉(zhuǎn)折點。具體而言，當(dāng)參數(shù)Δh(q)取值較高、D(hmin)取值較低的情況時，市場波動方向逆轉(zhuǎn)的可能性較大；而式(23)和(24)表明，當(dāng)C2變小時，Δh增加，而D(hmin)會變小。因此，我們只需關(guān)注較小的C2。

5 實證結(jié)果與分析

本文在理論方面，改進了傳統(tǒng)的小波領(lǐng)袖法；在估計方法中，首次提出基于多項式逼近技術(shù)的貝葉斯估計法。那么，這兩個方面的改進效果怎么樣？能不能準確識別我國股票市場的主要轉(zhuǎn)折點？現(xiàn)在來回答這個問題。我們先利用db2小波作為小波母函數(shù)，并采用貝葉斯法來估計式(21)中的參數(shù)C2；然后采用db3小波作為小波母函數(shù)來進行穩(wěn)健性檢驗。為了利用時變C2的估計值識別上證指數(shù)的主要轉(zhuǎn)折點，我們通過計算時變參數(shù)C2的3日移動平均值，記為C2_ MA3，以便過濾不必要的干擾信號。其次，我們檢驗了指標C2_ MA3是否服從正態(tài)分布或t分布；如果是，則可計算95%的置信區(qū)間。由前面的分析可知，我們只關(guān)心較小的C2_ MA3，即當(dāng)C2_ MA3小于臨界值“均值減去2倍標準差”時，則認為股票市場將改變原來運行趨勢、即出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點，在圖2和圖3中，用圓點來表示。為了更好地判斷模型給出的相鄰信號是否屬于同一個大趨勢，本文運用聚類算法對信號進行分組：(1)將時間間隔為120個交易日以內(nèi)的信號視為相同信號；(2)從前一輪信號開始，當(dāng)指數(shù)出現(xiàn)20%以下的漲跌幅。滿足上述兩個條件之一，我們視為同一個主要反轉(zhuǎn)信號。反之，當(dāng)超過120個交易日，且相鄰兩個圓點對應(yīng)的指數(shù)的漲跌幅超過20%時，我們認為是新的主要轉(zhuǎn)折點，在圖2和圖3中，用帶圈的圓點來表示。db2小波作為小波母函數(shù)的結(jié)果匯總在圖2中；db3小波作為小波母函數(shù)所及相應(yīng)的結(jié)果即圖3是對圖2的穩(wěn)健性檢驗。

根據(jù)前面的定義，圖2的圓點表示在此處股市市場的趨勢可能發(fā)生變化，那么這些點應(yīng)該位于指數(shù)的頂部或者底部。在圖2中，帶圈的圓點位于全局的頂部或底部，而陰影部分以外的圓點基本位于局部的頂部或底部。從圖2看出，貝葉斯估計法能夠很好地識別出自2005年以來的多次市場行情。更進一步，使用本文提出的聚類算法對這些行情進行分類，可以進一步剔除屬于市場次要周期的提示信號，并確定7個市場主要反轉(zhuǎn)信號：2005年9月開啟的加速上漲、2007年10月的股市崩盤、2008年10月開始的“熊轉(zhuǎn)小?！狈磸椥星?、2010年市場見頂及其后4年大熊市、2014年7月開始的牛市、2015年6月開始的股災(zāi)、2016年1月末的反彈。

為了更準確識別股票市場的主要轉(zhuǎn)折點，我們把圖2中的信號的時間和上證指數(shù)本身的趨勢發(fā)生主要變化的時間總結(jié)在表2中。表2的第2行、第3行分別是信號1、信號2所對應(yīng)的時間，最后一行是上證指數(shù)長期趨勢發(fā)生變化的實際時間。信號1指圖2中帶圈的圓點，信號2指緊跟帶圈的圓點之后的第一個圓點。把表2的信號1、信號2的時間與實際時間進行對比，可以發(fā)現(xiàn)，信號1的時間平均比實際時間提前1個月左右，而信號2的時間比實際時間晚半個月左右，即實際時間基本處于兩個信號觸發(fā)時點之間，因此我們認為，信號1表示上漲指數(shù)的主要趨勢即將發(fā)生逆轉(zhuǎn)，信號2則進一步對信號1進行確認。更加直觀的說，如果投資者在帶圈的圓點錯過了買入或賣出的時機，那么在緊跟其后的圓點買入或賣出也是不錯的選擇。以2015年6月15日開始的股災(zāi)為例，信號1對應(yīng)的時間是2015年4月27日，這時警示市場已經(jīng)進入風(fēng)險區(qū)域，投資者應(yīng)該選擇只賣不買的決策；如果錯過了上述賣出的時間窗口，應(yīng)該在信號2對應(yīng)的時間即2015年6月18日果斷清倉，雖然沒有在最高點賣出，但仍可保留絕大部分盈利。另外需要指出的是，根據(jù)本文的聚類分析標準，在下一個帶圈的圓點出現(xiàn)以前，股票市場將維持原來的運行趨勢。以圖2的A點(對應(yīng)的時間為2015年8月27日)為例，雖然這是局部低點，但不是主要轉(zhuǎn)折點。相反，經(jīng)過前期的暴跌，風(fēng)險得到充分釋放，圖2的B點(對應(yīng)的時間為2016年1月21日)是主要轉(zhuǎn)折點，C點是對趨勢發(fā)生逆轉(zhuǎn)的確認，即市場趨勢將由原來的下跌轉(zhuǎn)為上漲。結(jié)合市場的實際情況，上漲指數(shù)的收盤價從2015年12月22日的3651.77下跌到2016年1月28日的2655.66，在這么短的時間里，上漲指數(shù)下跌了996.11，跌幅達到27.28%；區(qū)間的極差為1046.27(2015年12月23日的最高指數(shù)3684.57減去2016年1月17日的最低指數(shù)2638.3)。從稍長的時間來看，上漲指數(shù)從2015年6月12日的最高點即5178.19下跌到2016年1月17日的2638.3，在7個月的時間中，幾乎下跌50%，幅度非常大。因此，結(jié)合上漲指數(shù)本身的暴跌，我們有充分的理由相信，上證指數(shù)在2016年1月28日已經(jīng)見底，并從下一個交易日轉(zhuǎn)為上漲趨勢?？偠灾覀儨蚀_識別了2005年以來的主要轉(zhuǎn)折點，沒有遺漏，也沒有錯誤信號；略顯遺憾的是，模型給出的轉(zhuǎn)折點與上證綜指實際發(fā)生的轉(zhuǎn)折點有點差異，但誤差沒有超過14個交易日。本文與譚政勛、張欠[32]均有效識別了上證指數(shù)的主要轉(zhuǎn)折點；另外，Zheng Xiaolian和Chen[33]利用系統(tǒng)自適應(yīng)的方法也識別了道瓊斯指數(shù)、恒生指數(shù)和上證指數(shù)的主要轉(zhuǎn)折點。

圖2還表明，股市“熊轉(zhuǎn)牛”所需的時間比“牛轉(zhuǎn)熊”所需的時間更長，如上證指數(shù)在2013年6月底至2014年7月底的底部區(qū)域震蕩了1年左右后，才進入牛市；而在2015年6月15日開始的熊市，上證指數(shù)只調(diào)整了不到10個交易日，就由原來的上漲轉(zhuǎn)為下跌趨勢。但是，一旦確立上漲趨勢，上漲過程相對簡單，沒有太多的調(diào)整，是一氣呵成的上漲；而下跌趨勢非常復(fù)雜，下跌過程中伴隨著時間較短、幅度較小的上漲，甚至在下跌過程中形成了局部小牛市，如2008年10月28至2011年11月24。原因在于：機構(gòu)投資者在熊市底部要經(jīng)過很長的時間來洗盤，以利于后市的拉升；另一方面，經(jīng)過漫長熊市的煎熬，投資者的心態(tài)受到嚴重打擊，被摧毀的市場信心需要較長時間方能得到修復(fù)。在“牛轉(zhuǎn)熊”階段即股票市場的頂部，不僅投資者的盈利非常豐厚，而且股票價格被過度投機，泡沫很大；“聰明的投資者”往往以迅雷不及掩耳之勢來出貨，因此“牛轉(zhuǎn)熊”的時間相對很短。那么，本文所提出的判斷股票市場趨勢的方法與投資者的經(jīng)驗方法有什么不同呢？首先，我們的判斷方法非常簡單，只需知道參數(shù)C2是否處于臨界點的下方，如果這樣，原來的運行趨勢即將發(fā)生逆轉(zhuǎn)。另外，投資者根據(jù)經(jīng)驗判斷，其主觀性很強；相反，本文是以分形市場理論為基礎(chǔ)，并根據(jù)股票市場多重分形的特征來預(yù)測股票市場的長期趨勢。

圖2 上證綜指趨勢變化的主要轉(zhuǎn)折點：db2作為母小波

采用db3小波作為小波母函數(shù)，重新進行估計和識別上證指數(shù)主要轉(zhuǎn)折點，從而檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)健性。結(jié)果匯總在圖3中。對比圖2和圖3，可以發(fā)現(xiàn)，兩個圖中的圓點，以及每個時期的第一個轉(zhuǎn)折點即帶圈的圓點的位置或者說出現(xiàn)的時間幾乎一樣。這說明采用db3小波的定位結(jié)果和采用db2小波的定位結(jié)果非常接近。綜合上述結(jié)果，本文提出的基于逼近技術(shù)的貝葉斯估計法能夠在進行股市主要風(fēng)險定位分析的時候很好地排除因小波母函數(shù)的選取而帶來的干擾。該方法不僅能夠識別上證綜指長期趨勢發(fā)生逆轉(zhuǎn)的主要轉(zhuǎn)折點，而且結(jié)果非常穩(wěn)健。

6 結(jié)語

通過對傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法和R/S法進行歸納和總結(jié)，本文發(fā)現(xiàn)，盡管傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法和R/S法的計算原理具有較高的共性，但兩者對數(shù)據(jù)進行加權(quán)的方法存在很大差別。具體而言，R/S法的權(quán)重滿足“能量和等于數(shù)據(jù)離散采樣尺度”的性質(zhì)，而在傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法中，作為序列權(quán)重的小波母函數(shù)卻具有“能量和為1”的性質(zhì)。因此，傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法不是成熟的以R/S法為代表的單分形模型的完美拓展，這會進一步導(dǎo)致估計偏誤、不能充分反映股票市場的多重分形特征，低估股票市場的標度指數(shù)和奇異指數(shù)。在此基礎(chǔ)上，本文對傳統(tǒng)小波領(lǐng)袖法的諸多方面進行改進，如對母函數(shù)、小波細節(jié)系數(shù)矩陣、母小波的伸縮平移變換、小波領(lǐng)袖矩陣、小波系數(shù)的q階矩陣進行校正。實證結(jié)果和Monte Carlo模擬表明，改進的小波領(lǐng)袖法不僅具有“能量和等于數(shù)據(jù)離散采樣尺度”的性質(zhì)，而且克服了對標度指數(shù)和對奇異指數(shù)的低估。在改進的小波領(lǐng)袖法的框架下，利用基于逼近技術(shù)的貝葉斯法估計了用于識別上證指數(shù)主要轉(zhuǎn)折點的相關(guān)參數(shù)。在為參數(shù)設(shè)置合適的標準后，準確識別了樣本期間上證指數(shù)的主要轉(zhuǎn)折點，比如提前識別了2015年6月發(fā)生的暴跌以及2016年1月開始的反彈。因此，以上證綜合指數(shù)為代表的我國股票市場的長期趨勢是可以預(yù)測的，并且長期上漲趨勢和下跌趨勢交替出現(xiàn)，存在非標準的周期性波動；并非有效市場理論所宣稱的“股票價格(指數(shù))無論短期還是長期都是不可預(yù)測的”。

圖3 上證綜指趨勢變化的主要轉(zhuǎn)折點：db3作為母小波上接注：圖2、3都分為上下兩部分：上半部分是上證指數(shù)走勢圖，下半部分是c2的3日移動平均即C2_ MA3。圓點標識出當(dāng)C2_ MA3落在兩倍標準差置信區(qū)間以外的交易日。從帶圈的圓點開始的陰影部分表示使用聚類算法后，能夠成功識別出的上證指數(shù)主要轉(zhuǎn)折期：其中陰影部分對應(yīng)的是長期趨勢由上漲轉(zhuǎn)為下跌的轉(zhuǎn)折期，以及由下跌轉(zhuǎn)為上漲的轉(zhuǎn)折期。在下半部分，水平虛線標識出了C2_ MA3的95%置信區(qū)間的下界。

表2 基于db2小波識別的主要轉(zhuǎn)折點

注：表4中的信號1的時間和信號2的時間分別是圖2中第1個圓點即帶圈的圓點、緊跟第1個圓點之后的第2個圓點所對應(yīng)的時間，實際時間是上證指數(shù)本身的趨勢發(fā)生逆轉(zhuǎn)的時間。

本文所識別的股票市場的主要轉(zhuǎn)折點，無論對于證監(jiān)會、上海和深圳證券交易所，還是投資者，無疑具有重要的現(xiàn)實意義和啟示。(1)本文的多重分形模型和估計程序有助于提前識別出市場的主要轉(zhuǎn)折點和提前采取預(yù)防措施，在最大程度上避免股票市場的暴漲暴跌，顯然這更有利于股票市場的健康發(fā)展，從而能更好的為企業(yè)進行股權(quán)融資、促進實體經(jīng)濟的發(fā)展。比如當(dāng)股票市場處于上漲趨勢時，要嚴格控制違規(guī)資金進入股票市場，并建議取消目前的融資政策，以期避免股票市場的過快上漲；而在股票市場處于下跌階段，尤其是長期處于熊市時，如2007年10月底至2014年6月長達近7年的熊市，這時要合理引導(dǎo)資金進入股票市場并取消“融券”政策，把我國股票市場的格局從“牛短熊長”逐步轉(zhuǎn)化為“牛長熊短”。(2)對于二級市場的投資者而言，要充分認識理解并利用我國股票市場存在的長期趨勢和趨勢循環(huán)。這有助于投資者在買賣股票時順勢而為，在股價處于高位時果斷減少倉位甚至清倉；而在股價低估時，果斷加大投資。(3)一級市場投資者在進行項目估值時，需要重點評估市場的多重分形特征，并根據(jù)多重分形特征對估值做出適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險調(diào)整。原因在于，市場非正態(tài)、非線性、多重分形特征的存在將導(dǎo)致簡單的標準差法無法全面刻畫市場風(fēng)險，這意味著傳統(tǒng)的資本資產(chǎn)定價模型所估計出的折現(xiàn)率會出現(xiàn)偏誤。同時，因投資情緒驅(qū)動而大幅偏離實際價值的股票價格，也會造成市盈率、市凈率的扭曲。