基于模態(tài)應(yīng)變能的結(jié)構(gòu)模態(tài)截?cái)喾治?

呂 雷 張開銀 姜 惠 杜 密

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063)

0 引 言

大型結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治鰰r(shí)，在保證結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性計(jì)算精度的同時(shí)，還應(yīng)充分提高計(jì)算效率，由此便產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)模態(tài)截?cái)嗟募夹g(shù)問題.傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)法一般截取結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)感興趣的2～3倍頻率值所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)[1]，該方法缺乏理論支撐，具有較大的隨意性，有可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)主導(dǎo)模態(tài)的遺漏；或因截取的結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)過多致使計(jì)算效率低下.由結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)可知，低階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)貢獻(xiàn)相對(duì)較大，而高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)貢獻(xiàn)相對(duì)較小，以致于在結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性與結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)程分析等工程問題中往往側(cè)重于考慮結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的貢獻(xiàn)，從而忽視了結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的作用[2].但高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)[3]，在結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)分析中有必要考慮更多高階模態(tài)分量的影響，如在結(jié)構(gòu)損傷累積與疲勞破壞等工程問題中，其結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性決定了結(jié)構(gòu)的應(yīng)力循環(huán)特征和應(yīng)力狀態(tài)[4-5].文獻(xiàn)[6]提出了基于勢(shì)能判據(jù)的子結(jié)構(gòu)模態(tài)截?cái)鄿?zhǔn)則；文獻(xiàn)[7]提出了系統(tǒng)機(jī)械能能量范數(shù)收斂的子結(jié)構(gòu)模態(tài)截?cái)喾椒?，這兩種方法均僅考慮了結(jié)構(gòu)少數(shù)低階模態(tài)被激發(fā)(高階模態(tài)未被激發(fā))的情況.理論上，結(jié)構(gòu)響應(yīng)參與模態(tài)與結(jié)構(gòu)固有特性和激勵(lì)特性密切相關(guān)，因此，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析時(shí)，應(yīng)從結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的目標(biāo)、計(jì)算精度和分析效率等方面綜合權(quán)衡，合理截取結(jié)構(gòu)參與模態(tài).鑒于目前模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)尚無完備的理論，本文將結(jié)構(gòu)自身特性、激勵(lì)特性與結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)聯(lián)系在一起，以梁結(jié)構(gòu)為理論研究對(duì)象，從結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)、應(yīng)力響應(yīng)和模態(tài)應(yīng)變能三個(gè)方面，研究梁結(jié)構(gòu)在特定頻率激勵(lì)環(huán)境下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，通過分析結(jié)構(gòu)各階模態(tài)應(yīng)變能分布情況，從而提出了基于結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能的結(jié)構(gòu)模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù).同時(shí)，用結(jié)構(gòu)有限元方法分析一鋼結(jié)構(gòu)平臺(tái)在不同頻率環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，對(duì)該模態(tài)截?cái)喾椒ǖ挠行赃M(jìn)行驗(yàn)證說明.

1 結(jié)構(gòu)模態(tài)參與因子

對(duì)于n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)體系，其強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為

(1)

采用Rayleigh阻尼模型，假設(shè)C=aM+bK(a，b為常數(shù))，進(jìn)行正則坐標(biāo)變換

y=Φη(t)

(2)

式中：Φ為結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣；η(t)為正則坐標(biāo)(或模態(tài)參與因子).

將式(2)代入式(1)，并利用結(jié)構(gòu)振型的正交性，可得到n個(gè)正則坐標(biāo)解耦的振動(dòng)微分方程

i=1,2,…,n

(3)

式中：Mi為第i階模態(tài)質(zhì)量；Ci為第i階模態(tài)阻尼；Ki為第i階模態(tài)剛度；Fi(t)為第i階廣義荷載.

i=1,2,…,n

(4)

式(4)類似于n個(gè)單自由度振動(dòng)微分方程.若初位移和初速度均為零，用Duhamel積分解此方程得到各階模態(tài)的正則坐標(biāo)ηi(t).

i=1,2,…,n

(5)

由式(2)可知，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)y依賴于模態(tài)矩陣Φ和模態(tài)參與因子ηi(t)，其中模態(tài)矩陣表征了結(jié)構(gòu)振動(dòng)各階模態(tài)的固有型態(tài)，而模態(tài)參與因子表征了各階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度.同時(shí)由式(5)可知，模態(tài)參與因子與結(jié)構(gòu)激勵(lì)特性和結(jié)構(gòu)自身性質(zhì)有關(guān)，所以結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)依賴于結(jié)構(gòu)自身特性和激勵(lì)特性.

2 梁結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能

(6)

則梁結(jié)構(gòu)第i階位移模態(tài)為

(7)

第i階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)為

(8)

根據(jù)初等梁理論，那么第i階模態(tài)的應(yīng)變能(彎曲應(yīng)變能)為

(9)

由式(9)可知，簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，第i階模態(tài)所蘊(yùn)含的應(yīng)變能與模態(tài)階數(shù)的4次方和模態(tài)參與因子有關(guān).對(duì)于結(jié)構(gòu)第i階和第j階模態(tài)而言，當(dāng)兩階模態(tài)具有相同的位移貢獻(xiàn)時(shí)(ηiAi=ηjAj)，所對(duì)應(yīng)模態(tài)的應(yīng)變能之比為[8]

(10)

由式(10)可知，假如在特定的激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)與第2階模態(tài)具有相同的位移貢獻(xiàn)，第2階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能卻是第1階模態(tài)的16倍；同理，若結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)與第2階模態(tài)具有相同的應(yīng)變能，第2階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的位移振幅僅為第1階模態(tài)的1/4.

定義梁結(jié)構(gòu)前N(N

(11)

由式(11)可知，對(duì)于被激發(fā)的結(jié)構(gòu)模態(tài)，E(N)為有界的單調(diào)遞增函數(shù)，隨著模態(tài)階數(shù)增加，E(N)將趨近于收斂.那么，E(N-1)與E(N)之比為

(12)

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析可知，結(jié)構(gòu)在單一簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，與激勵(lì)頻率鄰近的那些固有頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)有較大的貢獻(xiàn).當(dāng)梁結(jié)構(gòu)第N階固有頻率大于激勵(lì)頻率時(shí)，由式(12)計(jì)算出r(N)值，當(dāng)r(N)接近于1時(shí)，說明第N階模態(tài)的應(yīng)變能相對(duì)很小，即結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能主要分布于前N階模態(tài)，而后續(xù)n-N階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)，則截取結(jié)構(gòu)前N階模態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析即可.該判別方法同樣適用于大型結(jié)構(gòu).

3 算例

3.1 算例1

對(duì)于圖1的等截面勻質(zhì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，其跨中作用一簡(jiǎn)諧激勵(lì)p(t)=Psin(ωt).

圖1 簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)及荷載

若激勵(lì)頻率Ω=1.1ω7，由式(4)得其正則坐標(biāo)表示的振動(dòng)微分方程為

(13)

分別將簡(jiǎn)支梁各階模態(tài)跨中位移響應(yīng)幅值、跨中應(yīng)力響應(yīng)幅值和結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能相對(duì)于第1階模態(tài)作歸一處理，其各階模態(tài)位移響應(yīng)幅值比、應(yīng)力響應(yīng)幅值比和結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能比見圖2.

表1 結(jié)構(gòu)模態(tài)參與因子

圖2 激勵(lì)頻率Ω=1.1ω7時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

由圖2可知，當(dāng)激勵(lì)頻率接近結(jié)構(gòu)第7階固有頻率時(shí)，其相鄰階的模態(tài)具有較大的動(dòng)力響應(yīng).就結(jié)構(gòu)第7階模態(tài)和第1階模態(tài)而言，位移響應(yīng)幅值之比為1.11，位移響應(yīng)水平相當(dāng)；而應(yīng)力響應(yīng)幅值之比為50.93，對(duì)應(yīng)模態(tài)的應(yīng)變能之比為2908.26，其表明第7階模態(tài)的應(yīng)力響應(yīng)貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于第1階模態(tài).而對(duì)于結(jié)構(gòu)第11階模態(tài)和第3階模態(tài)，位移響應(yīng)幅值之比為0.15，結(jié)構(gòu)第11階模態(tài)相對(duì)于第3階模態(tài)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)貢獻(xiàn)較小；而應(yīng)力響應(yīng)幅值之比為1.93，對(duì)應(yīng)模態(tài)的應(yīng)變能之比為3.75，結(jié)構(gòu)第11階模態(tài)的應(yīng)力響應(yīng)貢獻(xiàn)反而要大于第3階模態(tài)的應(yīng)力響應(yīng)貢獻(xiàn).再者，結(jié)構(gòu)第1、3、5、7階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)貢獻(xiàn)基本相當(dāng)，但對(duì)應(yīng)模態(tài)的應(yīng)力響應(yīng)貢獻(xiàn)程度差異非常之大.

上述重點(diǎn)說明了梁結(jié)構(gòu)第7階模態(tài)及其相鄰模態(tài)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)中的貢獻(xiàn).由式(12)計(jì)算可知，結(jié)構(gòu)前11階模態(tài)的應(yīng)變能之和與前13階模態(tài)的應(yīng)變能之和的比值為0.95，即結(jié)構(gòu)前13階模態(tài)幾乎包含了結(jié)構(gòu)全部的應(yīng)變能，故只需截取結(jié)構(gòu)前13階模態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析.

由此可見，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析中，結(jié)構(gòu)分析模態(tài)的取舍，不能僅考慮結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對(duì)位移響應(yīng)貢獻(xiàn)的大小，更重要的要考慮結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對(duì)應(yīng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn).特別在結(jié)構(gòu)疲勞破壞和結(jié)構(gòu)疲勞壽命評(píng)估中，根據(jù)材料應(yīng)力幅與疲勞壽命(S-N)曲線關(guān)系可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)某一高階模態(tài)起主導(dǎo)作用時(shí)，一方面結(jié)構(gòu)應(yīng)力循環(huán)幅值顯著提高，另一方面循環(huán)周期大幅度縮短，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)實(shí)際使用壽命遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使用壽命.

3.2 算例2

對(duì)于一鋼結(jié)構(gòu)平臺(tái)，見圖3.材料彈性模量為210 GPa，密度為7 800 kg/m3,泊松比為0.3，該有限元結(jié)構(gòu)包含2 592個(gè)單元，4 107個(gè)節(jié)點(diǎn).將四根柱對(duì)應(yīng)底板位置進(jìn)行固定約束.

圖3 鋼結(jié)構(gòu)平臺(tái)

在節(jié)點(diǎn)1處z方向作用簡(jiǎn)諧荷載p(t)=P0sin(ωt)，其中P0=-1 000 N，用有限元法分別計(jì)算激勵(lì)頻率ω=0.9ω6、ω=1.2ω10，ω=1.2ω15下結(jié)構(gòu)應(yīng)變能E(N)與模態(tài)階數(shù)的關(guān)系，見圖4.

圖4 應(yīng)變能與模態(tài)階數(shù)的關(guān)系曲線

由圖4可知，鋼結(jié)構(gòu)平臺(tái)在不同頻率的特定激勵(lì)下，整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能隨截取的模態(tài)數(shù)量有明顯差異.激勵(lì)頻率越大，需截取包含與激勵(lì)頻率接近的模態(tài)及更多階模態(tài).由式(12)計(jì)算可知，當(dāng)激勵(lì)頻率激勵(lì)頻率ω=0.9ω6時(shí)，需截取13階模態(tài)，當(dāng)激勵(lì)頻率ω=1.2ω10時(shí)，需截取16階模態(tài)，當(dāng)激勵(lì)頻率ω=1.2ω15時(shí)，需截取23階模態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析.

5 結(jié) 束 語

本文以梁結(jié)構(gòu)為理論研究對(duì)象，對(duì)比分析了其在特定頻率激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)、應(yīng)力響應(yīng)和模態(tài)應(yīng)變能.結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)不僅與結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān)，同時(shí)與激勵(lì)特性有關(guān).結(jié)構(gòu)分析模態(tài)的截取，不能僅考慮結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對(duì)位移響應(yīng)貢獻(xiàn)的大小，更重要的要考慮結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對(duì)應(yīng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)，提出以結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能為依據(jù)的模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù).當(dāng)結(jié)構(gòu)第N階固有頻率大于激勵(lì)頻率，且前N-1階模態(tài)的應(yīng)變能總和與前N階模態(tài)的應(yīng)變能總和之比接近于1時(shí)，只需截取前N階模態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析.該模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)為結(jié)構(gòu)動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)疲勞破壞失效分析和結(jié)構(gòu)故障診斷等提供了一種可靠的模態(tài)截?cái)喾椒?