基于點(diǎn)云切片技術(shù)的曲面擬合方法研究

張開源，鄭德華，張崇軍

（1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 211100）

三維激光掃描儀是以“面”的測(cè)量手段采集點(diǎn)云數(shù)據(jù)，由于其具有測(cè)量精度高、工作速度快、采集信息量大等諸多優(yōu)點(diǎn)，故而又被稱為“實(shí)景復(fù)制技術(shù)”[1]。該技術(shù)能實(shí)現(xiàn)迅速、海量獲取三維點(diǎn)云，是測(cè)繪領(lǐng)域的一大創(chuàng)新[2]。

三維激光掃描數(shù)據(jù)處理的結(jié)果是通過進(jìn)行物體表面曲面擬合來(lái)建立三維模型。由于獲取的點(diǎn)云是海量數(shù)據(jù)以及目標(biāo)物體的形態(tài)具有多樣性等特點(diǎn)，使得對(duì)該類數(shù)據(jù)處理難度變大?，F(xiàn)有的大部分點(diǎn)云曲面擬合方法擬合得到的結(jié)果能夠保留一部分甚至絕大部分的原始點(diǎn)云特征，但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)局部失真的情況，尤其是對(duì)于復(fù)雜曲面，從而造成擬合結(jié)果精確性不高，影響擬合的效果。此外大部分點(diǎn)云曲面擬合方法的時(shí)間復(fù)雜度較高，擬合效率較低，尤其是針對(duì)包含多種曲面特征的復(fù)雜區(qū)域，擬合效率更低。為了能夠有效地對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，引入了數(shù)據(jù)分割方法。數(shù)據(jù)分割[3]不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)點(diǎn)云的分塊和合并處理，而且建立了點(diǎn)云數(shù)據(jù)間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為后續(xù)整體點(diǎn)云進(jìn)行分塊曲面擬合提供了便利。

本文首先引入切片方法來(lái)對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面擬合，切片方法通過投影將點(diǎn)云數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)降維處理，可以克服曲率和法矢變化帶來(lái)的部分影響。通過切片處理，將整體點(diǎn)云數(shù)據(jù)分割成適量切片，能克服復(fù)雜曲面的不利影響。然后對(duì)基于切片的點(diǎn)云曲面擬合方法進(jìn)行改進(jìn)，從多個(gè)方向上對(duì)切片后的點(diǎn)云進(jìn)行處理，得到點(diǎn)云擬合區(qū)域的擬合數(shù)據(jù)。為提高整體點(diǎn)云的光滑性，可使用基于移動(dòng)最小二乘的方法對(duì)擬合后數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)整體光滑處理。該方法保證了點(diǎn)云曲面擬合的質(zhì)量，保留了更多的原始點(diǎn)云特征，可有效提高點(diǎn)云曲面擬合的精確性。

1 基于切片技術(shù)的點(diǎn)云曲面擬合方法

基于切片的點(diǎn)云曲面擬合方法可以分為兩步：切片數(shù)據(jù)的獲取及投影擬合。對(duì)切片數(shù)據(jù)的獲取，分別采用定寬和自適應(yīng)切片兩種方法來(lái)對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。對(duì)切片的投影擬合，引入移動(dòng)最小二乘方法來(lái)提高切片的擬合精度。同時(shí)，提出使用雙向切片法來(lái)提升點(diǎn)云曲面擬合的穩(wěn)定性和可靠性。

1.1 點(diǎn)云切片寬度

在點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，以某一指定方向?yàn)榉ǚ较?，沿該方向設(shè)置一個(gè)平面族Γ，則某一平面E的表面線即為該平面處的點(diǎn)云切片，其本質(zhì)為平面E和點(diǎn)云相交后得到的點(diǎn)云區(qū)域。在實(shí)際應(yīng)用中，由于各種因素的影響，要嚴(yán)格以平面上的點(diǎn)來(lái)計(jì)算獲取該平面處的點(diǎn)云切片是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，因此引入“切片寬度”，即將該平面E沿著法方向的兩側(cè)各移動(dòng)相等寬度，生成兩個(gè)新的平面El和Er，則兩個(gè)新的平面El和Er中間的點(diǎn)云即為該平面所在的點(diǎn)云切片。點(diǎn)云切片寬度的確定是基于切片的點(diǎn)云曲面擬合方法研究的關(guān)鍵步驟之一，主要可以分為兩大類：定寬切片寬度的確定和自適應(yīng)切片寬度的確定。

1.1.1 定寬切片寬度的確定

定寬切片是比較常見的切片獲取方法，它是通過計(jì)算獲得切片的寬度，以此寬度為基準(zhǔn)對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行切片處理，獲得許多寬度相等的切片。目前常用的切片寬度計(jì)算方法為密度法，通過計(jì)算得出點(diǎn)云的密度，然后確定切片的寬度。本文介紹基于空間格網(wǎng)劃分的密度法[4-5]，這種方法是以K鄰點(diǎn)搜索中的空間分塊策略方法為基礎(chǔ)的[6]。根據(jù)劃分好的空間包圍盒網(wǎng)格，統(tǒng)計(jì)網(wǎng)格中空的包圍盒個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

式中，Vt為所有小包圍盒的個(gè)數(shù)；Ve為所有空的小包圍盒的個(gè)數(shù)；K為鄰近點(diǎn)的個(gè)數(shù)；n為點(diǎn)云的總數(shù)。

根據(jù)公式求解點(diǎn)云數(shù)據(jù)密度，進(jìn)一步求解切片寬度：

式中，k1為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，一般取值4～8。

1.1.2 自適應(yīng)切片寬度的確定

定寬切片處理得到的切片寬度是一樣的，適用于曲率變化小的平緩點(diǎn)云或平面點(diǎn)云。對(duì)于曲率變化較大或局部密度不均勻的區(qū)域，如果仍使用定寬切片的處理方法，得到的切片進(jìn)行投影之后，就會(huì)出現(xiàn)厚度相差較大的情況，會(huì)對(duì)后續(xù)擬合產(chǎn)生重大影響，進(jìn)一步影響到點(diǎn)云曲面的擬合。因此，本節(jié)引入一種自適應(yīng)的切片獲取方法，通過對(duì)切片投影厚度的控制，來(lái)調(diào)節(jié)切片的寬度，得到寬度不等的點(diǎn)云切片數(shù)據(jù)。自適應(yīng)切片方法的主要思想是：

1）首先確定自適應(yīng)處理過程中一些基本變量，例如以沿X軸為切片方向，則取最小值和最大值Xmin、Xmax作為切片的起止點(diǎn)。設(shè)切片的初始寬度為ΔX，這個(gè)初始寬度可以通過密度法計(jì)算得到。

2）在X1=Xmin時(shí)作為第一個(gè)切片平面，根據(jù)計(jì)算得到切片的初始寬度△X，則在X2=X1+ΔX時(shí)取第二個(gè)切片平面，兩個(gè)平面之間的數(shù)據(jù)即為第一個(gè)切片數(shù)據(jù)。

3）將第一個(gè)切片數(shù)據(jù)投影到切片平面上，得到切片投影數(shù)據(jù)，判斷切片投影數(shù)據(jù)的最大厚度是否超過設(shè)定的閾值。若超過設(shè)定的閾值，則進(jìn)入到步驟（4）；若沒有超過，則進(jìn)入到步驟（5）。

5）比較X2是否超過Xmax，如果超過Xmax，則令X2=Xmax，進(jìn)入步驟（6）；如果沒有超過Xmax，則令X1=X2，X2=X1+ΔX，重復(fù)步驟（3）中的操作。

6）提取切片數(shù)據(jù)，處理完成。

1.2 切片擬合

點(diǎn)云切片數(shù)據(jù)的投影擬合是基于切片的點(diǎn)云曲面擬合方法的另一個(gè)關(guān)鍵步驟，根據(jù)切片處理方法得到點(diǎn)云的切片數(shù)據(jù)，對(duì)切片數(shù)據(jù)進(jìn)行投影處理，然后擬合投影數(shù)據(jù)。本文引入了移動(dòng)最小二乘法[7-9]（moving least square，簡(jiǎn)稱MLS）來(lái)對(duì)切片的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。首先求出切片數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的緊支撐域，選取合適的權(quán)函數(shù)和基函數(shù)后，根據(jù)相應(yīng)公式即可求出擬合后的數(shù)據(jù)。基于MLS法的擬合方法，通過選取不階基函數(shù)和權(quán)函數(shù)得到不同的精度和光滑度，能夠在一定程度上克服最小二乘法適用于數(shù)據(jù)量不大、切片形狀簡(jiǎn)單的情況，但對(duì)于線形復(fù)雜、數(shù)據(jù)量較大的切片數(shù)據(jù)，則需要進(jìn)行分塊擬合。

1.3 基于雙向切片技術(shù)的曲面擬合

在利用切片技術(shù)進(jìn)行曲面擬合時(shí)，單一方向的切片方法能在一定程度上滿足點(diǎn)云數(shù)據(jù)曲面擬合的需要。大量的實(shí)驗(yàn)表明，不同方向的切片得到的擬合數(shù)據(jù)效果不同。在對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象做切片處理時(shí)，求出的最佳切片方向僅僅是針對(duì)某一部分?jǐn)?shù)據(jù)而言，不存在對(duì)所有點(diǎn)云數(shù)據(jù)的切片效果都最佳的切片方向。

由于不同方向切片的擬合效果具有差異性，不同方向的切片擬合效果具有不穩(wěn)定性，對(duì)多個(gè)方向進(jìn)行切片得到的切片數(shù)據(jù)具有一定的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)性。本文提出使用一種基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的點(diǎn)云曲面擬合方法，通過在多個(gè)方向上對(duì)同一實(shí)驗(yàn)對(duì)象做切片處理，得到不同方向的擬合數(shù)據(jù)。為避免擬合數(shù)據(jù)過多而造成誤差累積，選取其中擬合效果最好或具有優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)效果的兩個(gè)方向的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)移動(dòng)最小二乘法原理，采用穩(wěn)健光滑方法對(duì)兩個(gè)方向的擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪光滑處理，可得到最終的擬合數(shù)據(jù)。具體算法流程如下：

1）對(duì)待擬合點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行多方向切片擬合處理，根據(jù)條件選擇其中擬合效果最好或具有優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的兩個(gè)方向切片數(shù)據(jù)，使用移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行整合處理；

2）將原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)和整合后的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和計(jì)算，得出擬合后點(diǎn)云數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差Vi以及中誤差σ；

4）利用剩下的點(diǎn)重新計(jì)算，循環(huán)執(zhí)行（2）～（3）環(huán)節(jié)，直至所有點(diǎn)的誤差都在要求范圍內(nèi)為止；

5）利用移動(dòng)最小二乘法對(duì)最終得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)再次進(jìn)行光順處理，即可得到最佳擬合結(jié)果。

相比于最小二乘法而言，移動(dòng)最小二乘法的擬合函數(shù)構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，由于引入緊支撐域，能有效提高擬合數(shù)據(jù)的光滑度，且穩(wěn)健過程能有效剔除擬合過程中產(chǎn)生的粗差，保證了最終的擬合精度。

2 實(shí)驗(yàn)案例及分析

使用Trimble GX型號(hào)三維激光掃描儀對(duì)石質(zhì)雕像進(jìn)行測(cè)量，得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)，對(duì)預(yù)處理過的數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，獲得石質(zhì)雕像的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。由于雕像表面凹凸不平，毫無(wú)規(guī)則，所以選取整塊雕像點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和選取部分雕像點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)效果類似，為方便后續(xù)的實(shí)驗(yàn)對(duì)比，在聚類分割后的某一區(qū)域中截取一部分具有代表性的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

截取點(diǎn)云及其附近數(shù)據(jù)共5 768個(gè)，然后提取點(diǎn)云數(shù)據(jù)的外邊界數(shù)據(jù)步驟為：①取K值為30，進(jìn)行K鄰點(diǎn)搜索；②計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)的法矢，并對(duì)其做方向一致性調(diào)整；③根據(jù)點(diǎn)云數(shù)據(jù)邊界探測(cè)度量原則探測(cè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)的邊界點(diǎn)；④使用旋向法對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)的外邊界進(jìn)行提取，得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)的外邊界數(shù)據(jù)。

對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)使用三次多項(xiàng)式擬合方法做擬合處理，得到函數(shù)為：

根據(jù)曲面函數(shù)對(duì)點(diǎn)云曲面數(shù)據(jù)及其附近數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算得到插值數(shù)據(jù)，再根據(jù)邊界數(shù)據(jù)對(duì)點(diǎn)云曲面擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行提取，得到擬合數(shù)據(jù)共2 479個(gè)（見圖 1）。

使用基于切片的點(diǎn)云曲面擬合方法對(duì)點(diǎn)云曲面進(jìn)行擬合，主要有定寬切片方法和自適應(yīng)切片方法。使用基于自適應(yīng)切片（X方向）的點(diǎn)云曲面擬合方法對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行切片、擬合處理得到切片擬合數(shù)據(jù)，得到33條切片數(shù)據(jù)、擬合數(shù)據(jù)5 380個(gè)（見圖2）。使用密度法計(jì)算得到點(diǎn)云定寬切片的寬度為12.5 mm，使用基于定寬切片（X方向）的點(diǎn)云曲面擬合方法對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行切片、擬合處理得到切片擬合數(shù)據(jù)，得到48條切片數(shù)據(jù)、擬合數(shù)據(jù)2 357個(gè)（見圖3）。

基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的曲面擬合方法，在多個(gè)方向上對(duì)同一實(shí)驗(yàn)對(duì)象實(shí)現(xiàn)切片化，選取其中優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的兩個(gè)方向（本實(shí)驗(yàn)使用X、Y軸兩個(gè)方向進(jìn)行處理）上的數(shù)據(jù)，使用穩(wěn)健移動(dòng)最小二乘方法進(jìn)行綜合處理，得到最終的擬合數(shù)據(jù)共8 736個(gè)（見圖4）。

圖1 基于多項(xiàng)式方法的點(diǎn)云曲面擬合效果圖

圖2 基于自適應(yīng)(X方向)切片的點(diǎn)云曲面擬合效果圖

圖3 基于定寬(X方向)切片的點(diǎn)云曲面擬合效果圖

圖4 基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的點(diǎn)云曲面擬合效果圖

將本文使用的點(diǎn)云曲面擬合方法所得到的擬合效果進(jìn)行整理，以使用最普遍的多項(xiàng)式曲面擬合方法為參照對(duì)象，將其他方法得出的結(jié)果與其比較，計(jì)算各方法提升的精度百分比（見表1）。

表1 不同點(diǎn)云曲面擬合方法擬合效果對(duì)比表

以散亂無(wú)規(guī)則、表面凹凸不平且分布不均勻的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，從以上各種方法的效果圖可以看出，這些方法的擬合數(shù)據(jù)能夠覆蓋原始點(diǎn)云曲面區(qū)域，滿足點(diǎn)云曲面擬合的要求，根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到如下結(jié)論：

1）對(duì)比不同點(diǎn)云曲面擬合方法的擬合效果，面對(duì)表面情況復(fù)雜、密度不均勻的點(diǎn)云，非切片法曲面擬合效果一般，切片法擬合效果明顯優(yōu)于非切片法擬合效果，非切片方法法擬合的中誤差在6.99～7.88 mm，最大殘差在21.26～22.59 mm。切片方法擬合的中誤差在6.25～6.76 mm，最大殘差在14.60～19.44mm。由擬合的效果可以看出，對(duì)含有多種曲面特征的點(diǎn)云曲面數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，基于切片的點(diǎn)云曲面擬合方法優(yōu)于其他方法。

2）基于定寬（X方向）切片擬合的中誤差為6.76 mm，最大殘差為19.44 mm?；谧赃m應(yīng)（X方向）切片擬合的中誤差為6.51 mm，最大殘差為18.13 mm。自適應(yīng)切片能夠根據(jù)點(diǎn)云曲率和厚度的變化合理地進(jìn)行切片處理，由擬合的效果可以看出基于自適應(yīng)切片的方法優(yōu)于基于定寬切片的方法。

3）基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的擬合方法的中誤差為6.25 mm，最大殘差為14.60 mm。使用單向切片方法對(duì)點(diǎn)云曲面擬合的效果具有不穩(wěn)定性，因此本文提出使用雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的方法來(lái)提高點(diǎn)云曲面擬合的穩(wěn)定性。由擬合的效果、擬合后數(shù)據(jù)量及精度提升百分比可以看出，基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的點(diǎn)云曲面擬合方法明顯優(yōu)于單向切片方法。

3 結(jié) 語(yǔ)

使用單向的點(diǎn)云切片方法能夠快速、高效地對(duì)點(diǎn)云曲面數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，由于切片方向不是唯一的，造成點(diǎn)云曲面擬合效果存在不穩(wěn)定性。本文提出了一種基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的點(diǎn)云曲面擬合方法，選擇擬合效果最好或具有優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)效果的兩個(gè)方向的數(shù)據(jù)，利用移動(dòng)最小二乘方法進(jìn)行穩(wěn)健光滑處理來(lái)獲得最終的擬合數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，相對(duì)于多項(xiàng)式擬合方法、單向切片方法，基于雙向切片優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的點(diǎn)云曲面擬合方法在精度和穩(wěn)定性方面均有了明顯提升。但本文主要對(duì)雙向切片方法進(jìn)行了研究，在今后的工作中，可以進(jìn)行深入研究一種基于三維空間特征方向或者更多方向的切片方法來(lái)提高點(diǎn)云曲面擬合結(jié)果的穩(wěn)定性和可靠性。