一道2018福建省質(zhì)檢試題的評(píng)析與啟示

曾建東

1 試題再現(xiàn)

題如圖是某小區(qū)2017年1月至2018年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)（單位：萬(wàn)元/平方米）的散點(diǎn)圖.（圖中月份代碼1-13分別對(duì)應(yīng)2017年1月-2018年1月）

根據(jù)散點(diǎn)圖選擇y=a+b√x和y=c+dlnx兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為y=0.9369+0.0285√x和y=0.9554 +0.03061nx，并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值：

（1）請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好;

（2）某位購(gòu)房者擬于2018年6月份購(gòu)買(mǎi)這個(gè)小區(qū)m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲購(gòu)房為其家庭首套房）.若購(gòu)房時(shí)該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2年但未滿5年，請(qǐng)你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問(wèn)題：

（i）估算該購(gòu)房者應(yīng)支付的購(gòu)房金額.（購(gòu)房金額=房款+稅費(fèi);房屋均價(jià)精確到0.001萬(wàn)元/平方米）

（ii）若該購(gòu)房者擬用不超過(guò)100萬(wàn)元的資金購(gòu)買(mǎi)該小區(qū)一套二手房，試估算其可購(gòu)買(mǎi)的最大面積.（精確到1平方米）

附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項(xiàng)稅費(fèi)，稅費(fèi)是按房屋的計(jì)稅價(jià)格進(jìn)行征收.（計(jì)稅價(jià)格=房款）

征收方式見(jiàn)下表：

2 試題評(píng)析

試題設(shè)問(wèn)很像2015年新課標(biāo)全國(guó)卷I的第19題，試題立足教材和大綱，不超綱，題材來(lái)源于生活，使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，在工作和生活中有著廣泛而又重要應(yīng)用，形成自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐的意識(shí)，提高綜合實(shí)踐能力，這體現(xiàn)了課標(biāo)中注重情感態(tài)度與價(jià)值觀、過(guò)程與方法、實(shí)踐與創(chuàng)新的課程理念，充分體現(xiàn)了全國(guó)卷I對(duì)高三學(xué)生在統(tǒng)計(jì)及函數(shù)應(yīng)用方面的具體要求，試題入手容易但要解答完整卻并不簡(jiǎn)單，知識(shí)的綜合性強(qiáng)，閱讀量大，也有一定的計(jì)算量，需要學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)提取有用信息來(lái)解決問(wèn)題，整題對(duì)運(yùn)算求解能力要求較高，需要學(xué)生掌握一定的運(yùn)算技巧，計(jì)算“既快又準(zhǔn)”，試題的區(qū)分度較好，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及數(shù)據(jù)處理能力，

第（1）題以購(gòu)房問(wèn)題為背景，以散點(diǎn)圖、相關(guān)指數(shù)R2為載體，考查回歸分析等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想等，學(xué)生只要理解相關(guān)指數(shù)R²的意義：R2越接近于1，表示回歸的效果越好，便可通過(guò)簡(jiǎn)單估算解決問(wèn)題，

第（2）（i）題以估算購(gòu)房金額為載體，考查回歸分析、函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想等，考查學(xué)生在復(fù)雜的問(wèn)題情境中獲取有用信息分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，通過(guò)散點(diǎn)圖確定2018年6月對(duì)應(yīng)的x =18，代入（1）中擬合效果更好的模型y=0.9554+0.0306·Inx，并利用參考數(shù)據(jù)In2≈0.69，In3≈1.10即可求出二手房均價(jià)的預(yù)測(cè)值為1.044萬(wàn)元/平方米，通過(guò)閱讀稅收征收方式對(duì)應(yīng)的圖表信息，選擇有用的信息進(jìn)行合理分類，建立分段函數(shù)模型，

第（2）（ii）題以估算可購(gòu)房屋最大面積問(wèn)題為載體，考查函數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想等，首先通過(guò)估算得到，90平方米的購(gòu)房金額小于100萬(wàn)，100平方米的房款大于100萬(wàn)，從而判斷100萬(wàn)可購(gòu)買(mǎi)的面積在90至100平方米之間，便可利用（2）（i）中相應(yīng)的結(jié)論求解.

3 一點(diǎn)商榷

這道題第一步考查利用相關(guān)指數(shù)R2判斷題目所給的兩個(gè)模型中哪個(gè)模型的擬合效果更好，參考公式只給出了相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式，但湘教版選修2-3沒(méi)有涉及相關(guān)指數(shù)R²2、殘差，人教版選修2-3在85頁(yè)有詳細(xì)闡述相關(guān)指數(shù)R2，這樣對(duì)于采用湘教版選修2-3教材的學(xué)生有失公平，他們或許沒(méi)學(xué)過(guò)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷模型擬合效果好壞的依據(jù)，這樣做這道題只能靠猜測(cè)了，可以在題目條件或者參考公式中補(bǔ)充：相關(guān)指數(shù)R²越接近于1，表示回歸的效果越好，命題者在命題時(shí)要考慮教材的差異，確保公平，對(duì)于新的概念、新的符號(hào)一定要在題目中給予必要的交代.

4 對(duì)今后備考復(fù)習(xí)的啟示

從2018年的《考試大綱》和《考試說(shuō)明》及近幾年的高考試題，結(jié)合各省質(zhì)檢卷的分析可以發(fā)現(xiàn)，全國(guó)卷在統(tǒng)計(jì)與概率這一部分命題基本穩(wěn)定，2018年在考查內(nèi)容、試題數(shù)量與分值、出現(xiàn)位置、難度系數(shù)、創(chuàng)新方向等方面依然會(huì)保持原有的風(fēng)格，下面給出復(fù)習(xí)建議供讀者參考.

4.1 關(guān)注閱讀理解能力的培養(yǎng)

全國(guó)卷統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用題往往與實(shí)際生活背景結(jié)合在一起，題目長(zhǎng)達(dá)一頁(yè)，需要學(xué)生快速提取有用信息，理解題意，建議邊讀邊做些記號(hào)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基本概念的理解、基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本方法的應(yīng)用，在概念教學(xué)中要準(zhǔn)確掌握概念的內(nèi)涵、外延，精選典型案例，通過(guò)引導(dǎo)辨析、鞏固、應(yīng)用等，使學(xué)生正確理解概念的本質(zhì)屬性，比如2017年全國(guó)卷的統(tǒng)計(jì)題就要求學(xué)生剔除（μ- 3σ，μ+3σ）之外的數(shù)據(jù).

4.2 重視基礎(chǔ)，回歸教材

高三復(fù)習(xí)應(yīng)改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用知識(shí)處理分析問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)《考試大綱》的精髓和《考試說(shuō)明》的要求，同時(shí)認(rèn)真研究2013-2017的新課標(biāo)全國(guó)卷I高考真題，平時(shí)在訓(xùn)練中要加大對(duì)頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表的訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握從圖表中讀取信息，如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等，熟練掌握散點(diǎn)圖、線性回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)、正態(tài)分布等有關(guān)知識(shí)，掌握通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)的方法，同時(shí)個(gè)別非主干的冷門(mén)知識(shí)也不能忽視，如相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)、殘差圖、擬合效果等，

近幾年的全國(guó)卷越來(lái)越重視實(shí)踐性、應(yīng)用性，要求學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題，因此在最后階段要根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容，適時(shí)設(shè)置合適的應(yīng)用性問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中逐步學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，訓(xùn)練數(shù)學(xué)建模能力，提高分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)注利潤(rùn)問(wèn)題、分段函數(shù)問(wèn)題，加強(qiáng)應(yīng)用題的答題規(guī)范訓(xùn)練，學(xué)會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟——將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，并將數(shù)學(xué)問(wèn)題的運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而解釋實(shí)際問(wèn)題.

4.4 重視數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高運(yùn)算能力

全國(guó)卷統(tǒng)計(jì)與概率題數(shù)據(jù)往往比較多，對(duì)運(yùn)算技能的要求高，運(yùn)算技能是基本的數(shù)學(xué)技能，是解題的基本功，運(yùn)算的合理性、簡(jiǎn)捷性與準(zhǔn)確性仍是后期復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，減少運(yùn)算的步驟，巧妙利用題目所給的參考數(shù)據(jù)提高解題速度，使學(xué)生解決問(wèn)題更加簡(jiǎn)便、科學(xué)、合理，平時(shí)加強(qiáng)運(yùn)算的限時(shí)訓(xùn)練，避免“一算就錯(cuò)”，重視答題規(guī)范，向非智力因素要分.

4.5 重視考試心態(tài)，增強(qiáng)應(yīng)變能力

面對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率題目敘述長(zhǎng)、數(shù)據(jù)多的特點(diǎn)，許多學(xué)生可能遇到挫折，所以在平時(shí)的日常教學(xué)中要對(duì)學(xué)生的心理素質(zhì)和應(yīng)變能力加以指導(dǎo)，經(jīng)受挫折和失敗的考驗(yàn)，增強(qiáng)抵抗壓力的能力，碰到難題，不能慌張，也可以通過(guò)這樣想“題目越長(zhǎng)越簡(jiǎn)單”“我難別人更難”來(lái)增強(qiáng)自信心，如果有些題目第一步暫時(shí)無(wú)法解出，可以把第一步的結(jié)論當(dāng)作第二步的條件來(lái)用，靈活應(yīng)變，在最后訓(xùn)練過(guò)程中，把每一次訓(xùn)練當(dāng)成高考，而把高考當(dāng)成平時(shí)的練習(xí)，爭(zhēng)取高考超常發(fā)揮.