不等式證明的方法

王菲

摘要：證明不等式的方法多種多樣，對于不同的不等式，采用合適的證明方法，可以快捷地解決不等式問題。研究和探討證明不等式的方法，對于進一步了解和研究不等式有十分重要的意義，同時為研究不等式應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)和學(xué)術(shù)指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：不等式；證明；函數(shù)

1.1、利用單調(diào)性，函數(shù)構(gòu)造法

函數(shù)構(gòu)造法是證明不等式常用的一種方法，構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，通過判別函數(shù)的單調(diào)性，比較具體函數(shù)值的大小，從而證明不等式成立。如果未知函數(shù)具體形式的不等式，則不能用求導(dǎo)的方法來證明，這時我們就可以運用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性來解決問題，同時還可以結(jié)合函數(shù)圖形，更直觀地證明不等式。對于一些可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的不等式，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，判別函數(shù)單調(diào)性和奇偶性來解答不等式。

1.2、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，通過圖形將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系，直接形象地翻譯出來，使數(shù)學(xué)問題獲得簡捷的解法。數(shù)形結(jié)合法是一種比較常用的證明不等式的方法，與其他證明方法相比，往往更直接更容易明白，解題更快。

1.3、比較法、綜合法和分析法

比較法是一種比較常用的證明不等式的方法。比較法是通過觀察和分析，找出研究問題的相同之處和不同之處。比較法一般分為作差比較和作商比較。作差比較法，顧名思義，就是兩式相減與零比較大小。作商比較法，就是兩式相比的結(jié)果與1比較大小。比較法運用比較廣泛，很多定理性質(zhì)都要用到比較法。比較法是證明不等式的最基本的方法，采用作差法還是作商法，關(guān)鍵在于所證不等式的結(jié)構(gòu)和條件，其目的在于作差或坐商后，是否易于解決問題。比較法一般用于證明常數(shù)不等式。

綜合法是由因及果，分析所證不等式的兩邊，得出結(jié)果。分析法是由果及因，從所證不等式一步一步分析，化簡后的不等式明顯成立。

1.4、放縮法

放縮法是根據(jù)不等式的傳遞性將不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，從而使不等式簡單明了，進而證明不等式成立。放縮法關(guān)鍵是放大或者縮小，放縮過程是一個逐步放大或者縮小的過程，要根據(jù)式子的特點來掌握放縮程度。放縮可以增、減項放縮，從而達到目的。放縮可以裂項，通過前后相減，簡化不等式，從而達到目的。一般來說，放縮法主要運用于含字母的不等式的證明。

參考文獻

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[2] 楊學(xué)枝.不等式研究[M].拉薩：西藏人民出版社，2000