探究方波電場對帶電粒子做功問題的解法

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對于帶電粒子在方波交變電場中的運動，有時雖然位移不為零，但電場力做功可能為零；有時雖然位移為零，但電場力做功可能不為零.利用運動學公式和牛頓第二定律可以證明，當物體在恒力作用下沿曲線運動時，可在兩個相互垂直的方向上分別應(yīng)用動能定理，由此解答有關(guān)方波交變電場做功問題可化繁為簡.

1 對稱方波電場

【例1】如圖1所示，平行板電容器兩極板相距0.1 m，加在兩極板上的電壓如圖2所示，當t=0時，電子從兩極板中央平行于極板射入勻強電場中，剛好從極板邊緣飛出，求：(1)電子在進入電場1×10-8s時偏離OO′中線多遠？(2)電子通過電場過程中動能增加多少？(電子的比荷為1.76×10-11C/kg，質(zhì)量9.1×10-31kg)

圖1 平行板電容器

圖2 對稱方波形電壓

解析:(1)電子在垂直于極板方向做初速度為零的勻加速運動，加速度為

由于經(jīng)歷的時間t=1×10-8s為半個周期，所以電子發(fā)生的側(cè)向位移為

(2)在垂直于極板方向，電子一直向正極板運動，即先做初速度為零的勻加速運動，再勻減速運動，而且加速度大小相同，當速度達到零時，經(jīng)歷一個周期；然后重復上述過程.電子在平行于極板方向做勻速直線運動，那么在一個周期時間內(nèi)，電子的動能先增加再減少到初始值.

y′=6y=6×8×10-3m=0.048 m

在周期的整數(shù)倍時間內(nèi)，雖然側(cè)向位移不為零，但電場力做的功為零，因此對電子的動能無影響，那么動能的變化只由從開始運動經(jīng)歷最大整數(shù)倍周期之后剩余時間內(nèi)的位移決定.此時電子到正極板的距離為h=0.002 m，而且處于電壓變化的正半周，將加速運動，由動能定理可知電子增加的動能為

計算距離h還有一種方法：電子通過電場的側(cè)向位移與半周期內(nèi)的側(cè)向位移的倍數(shù)關(guān)系為

可知電子經(jīng)歷3個周期后到正極板的距離為h=0.25y=0.002 m.但電子通過側(cè)向位移h=0.002 m所經(jīng)歷的時間并非0.25t=0.125×10-8s，而是0.5×10-8s.

點評:解題關(guān)鍵是計算電子通過電場所用的時間是多少個周期,電子在經(jīng)歷整數(shù)個周期時到最近極板的距離，以及電子離開電場時處于一個周期中的什么時刻.如果直接計算電子的動能比較麻煩，而應(yīng)用動能定理和電功公式間接計算動能則很簡單.

根據(jù)GB/T 18341—2001《地質(zhì)礦產(chǎn)勘查測量規(guī)范》的要求，平面點位中誤差≤±5cm，高程中誤差≤±6cm，符合規(guī)范要求，由此可說明利用CORS技術(shù)在礦區(qū)進行控制測量是完全可行的。

2 非對稱方波電場

【例2】如圖1所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A和B板加上如圖3所示的方波形電壓，當t=0時，A板的電勢比B板高，電壓的正向值與反向值均為U0.現(xiàn)有由質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子組成粒子束，從AB的中點O處以速度v0沿平行于金屬板方向的直線OO′的方向射入，所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力的影響.求電場力對每個擊中O′的粒子做的總功.

圖3 時間非對稱方波形電壓

解析:粒子在OO′方向不受力，做勻速直線運動，而初速度一定，金屬板長度一定，則在AB間的飛行時間一定，初速度和長度選取一定的數(shù)值可使飛行時間為T，等于交變電場的一個周期.

在電場力方向上，初速度為零，飛出電場時的速度為vy，由動量定理有FT=mvy.畫出電場力的圖像如圖4所示，由圖像可知，無論時間起點如何，在任意一個周期內(nèi)，圖像與t軸圍成的面積總為正值而且相等，表示沖量的大小，由動量定理有

而

所以電場力做的總功為

點評:解題關(guān)鍵是畫出力隨時間變化的圖像，利用圖像面積應(yīng)用動量定理求出電場方向的分速度為恒量.如果分段計算功將很麻煩，而對全過程應(yīng)用動能定理、在某一方向上應(yīng)用動能定理則非常簡單.

圖4 電場力圖像

拓展:對于例題2，若方波形電壓如圖5所示，其他條件不變，求：(1)若粒子在交變電壓的正半周進入電場，則擊中O′點的粒子進入電場的時刻為何？(2)電場力對每個擊中O′點的粒子做的功是多少？

圖5 峰值非對稱方波形電壓

圖6 一個周期內(nèi)的側(cè)向速度圖像

v1=a1Δt

由位移公式可知各段時間內(nèi)的位移分別為

而側(cè)向總位移為零，即

s=s1+s2+s3=0

利用電場力圖像的面積和動量定理可知，無論方波電壓特點如何，只要粒子沿垂直于電場方向進入電場運動一個周期，末速度就相同.由此可知，若粒子在電壓的負半周進入電場，則側(cè)向速度圖像如圖7所示，易知粒子在第一個負半周運動的時間為

圖7 粒子在電壓的負半周進入電場時的側(cè)向速度圖像

(2)由于粒子受到的電場力與位移在同一直線上，則電場力在各段位移上做的功等于力與位移之積.由于F3與F1同向，而且大小相等，F(xiàn)2與F1反向，則

那么電場力做的功為

W=F1s1+F2s2+F1s3=

還可應(yīng)用動能定理進行解答.由圖6可知，第三段傾斜直線對應(yīng)的整個勻加速運動的時間為

由速公式可知粒子在電場方向的末速度為

在電場力方向應(yīng)用動能定理得

若粒子從電壓的負半周進入電場，則電場力做的功相等.

點評:在分段計算功時，由于各段位移已經(jīng)是矢量，那么就應(yīng)考慮各力的矢量性，以正半周的力方向為正，則負半周的力方向為負，故取負值.還可分別判斷正、負號，3個力分別是正、負、正，而3個位移分別是正、負、正，因此3個功都是正的.雖然總位移為零，但電場力做的功不為零，原因是這種方波電場并非恒定電場，或者說電場力不是恒力，不能對整個過程應(yīng)用功的公式W=Fs或W=qU.

總之，對于帶電粒子的整個運動過程，在電場力方向上應(yīng)用動能定理求功或動能的變化量最簡單.