關(guān)于角動量的教學(xué)探討*

周鵬宇 李晗 宋更新 劉 帥 王 波 侯樸賡

(東北電力大學(xué)理學(xué)院 吉林 吉林 132012)(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院文理學(xué)院 吉林 吉林 132101)(東北電力大學(xué)理學(xué)院 吉林 吉林 132012)

角動量是研究物體轉(zhuǎn)動的重要物理量, 是轉(zhuǎn)動動力學(xué)的核心概念之一.目前, 絕大多數(shù)大學(xué)物理教材在介紹角動量時[1～7], 都是先定義質(zhì)點角動量, 再通過質(zhì)點角動量推演出剛體和一般質(zhì)點系的角動量.然而, 由于質(zhì)點角動量是力學(xué)中最初涉及物理量間矢積運算的物理量之一, 它與學(xué)生之前所遇到的物理量都不相似, 具有明顯的特殊性, 會使初次接觸它的學(xué)生感到十分陌生, 不容易理解和掌握.本文提出了講解和闡釋剛體、質(zhì)點以及一般質(zhì)點系角動量概念和相關(guān)理論的新思路: 通過將描述剛體轉(zhuǎn)動物理量和描述質(zhì)點平動物理量進(jìn)行類比, 引入剛體角動量概念及其表達(dá)式; 利用轉(zhuǎn)動定律推導(dǎo)出角動量定理, 闡釋角動量引入的合理性和物理意義;再通過剛體角動量的表達(dá)式討論得出質(zhì)點角動量和一般質(zhì)點系的角動量, 說明角動量概念及其相關(guān)理論的普適性.

用來研究剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量, 如角速度ω,轉(zhuǎn)動動能ET,轉(zhuǎn)動慣量J,力矩M和角加速度α等, 與用來研究質(zhì)點運動的物理量, 如速度v,動能Ek,質(zhì)量m,力F和加速度a等具有很強的對應(yīng)關(guān)系, 比如:ω和v相似, 都代表研究對象運動的快慢; 剛體的ET可由質(zhì)點的Ek導(dǎo)出, 且表達(dá)式相似

L=Jω

(1)

那么猜想得到的這個新概念是否合理和有意義呢？這需要驗證一下.如何驗證?可以檢驗它與已知物理量間是否存在聯(lián)系, 或者看看它是否可以由已知的物理量衍生出來.由于角動量L表達(dá)式中含有J和ω兩個量, 因此它應(yīng)與力矩M有緊密聯(lián)系; 因為M=Jα, 與L相似都是由轉(zhuǎn)動慣量和角量構(gòu)成.將M=Jα式子的兩邊同時對時間積分得

(2)

由此可知, 作用在剛體上的力矩對時間的累積等于剛體末態(tài)角動量和初態(tài)角動量之差, 這表明是一個用來描述剛體轉(zhuǎn)動的狀態(tài)參量.

一般情況下, 剛體可能會同時受到多個力矩作用.按照這些力矩來源的不同可將它們劃分為內(nèi)力矩和外力矩.對于剛體(或一般物體)而言, 內(nèi)力是源于其內(nèi)部各質(zhì)元的相互作用, 由牛頓第三定律可知, 作用力和反作用力始終大小相等、方向相反, 且作用的位置相互重合; 由此可知作用力和反作用力形成的力矩必然是大小相等方向相反的, 又由于作用力和反作用力總是成對出現(xiàn), 因此可知它們對總力矩貢獻(xiàn)為零, 即內(nèi)力矩之和為零.由此推論, 一個剛體(或一般物體)角動量的變化應(yīng)來源于合外力矩的作用, 即

(3)

此為角動量定理.

角動量定理還有一個重要的推論: 當(dāng)合外力矩M外=0時,L2=L1.該推論稱為角動量守恒定律.

上面通過類比法, 引入剛體角動量概念, 并且討論得出角動量和力矩之間的關(guān)系, 以及角動量守恒.對于角動量這個概念, 它不僅可以用來描述剛體轉(zhuǎn)動, 而且可以用來描述和研究一般的質(zhì)點和質(zhì)點系的運動, 例如:繞固定點作勻速圓周運動的質(zhì)點, 假設(shè)質(zhì)點質(zhì)量為m, 圓周半徑為R, 角速度為ω, 那么, 該質(zhì)點相對于固定點的轉(zhuǎn)動慣量為

J=mR2

其角動量為

L=Jω=mR2ω

下面來考慮作一般運動質(zhì)點相對于空間中某參考點的角動量.

如圖1所示, 一質(zhì)點, 其質(zhì)量為m, 速度為v, 相對于參考點O的位矢為r.質(zhì)點運動過程中位矢r相對于水平線的夾角θ隨時間變化, 因此質(zhì)點相對于點O應(yīng)具角速度ω.將v向與r平行和垂直的兩個方向上投影, 分解成v∥和v⊥.

圖1 求解質(zhì)點m相對于參考點O的角動量的示意圖

由圖像可知, 只有v⊥對ω有貢獻(xiàn), 而v∥對ω?zé)o貢獻(xiàn); 利用角速度和線速度的關(guān)系可得

那么, 該質(zhì)點相對于O點的角動量為

根據(jù)圖1中各矢量的關(guān)系可得, 質(zhì)點角動量表達(dá)式的矢量形式應(yīng)為

L=r×mv=r×p

(4)

單一質(zhì)點相對于某一參考點的角動量也可視為該質(zhì)點相對于穿過該參考點且與速度矢量和參考點所在平面垂直的假想軸的角動量[8], 那么可推知, 由多個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系相對于某個軸也應(yīng)具有角動量.根據(jù)矢量的可疊加性可知, 某一質(zhì)點系的總角動量應(yīng)等于其內(nèi)部各個質(zhì)點的角動量之和, 即

(5)

以上討論表明, 質(zhì)點和質(zhì)點系的角動量表達(dá)式可由剛體角動量表達(dá)式衍生出來, 因此質(zhì)點和質(zhì)點系相對于某個參考點的角動量同樣滿足角動量定理和角動量守恒定律.