由錯誤引發(fā)的真理
——薩凱里對非歐幾何的貢獻(xiàn)

郭嬋嬋

(1.西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院,陜西 西安 710127;2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

意大利數(shù)學(xué)家薩凱里(Girolamo Saccheri,1667—1733)是非歐幾何的重要先驅(qū)者之一,他的工作將歐氏幾何和非歐幾何建立了聯(lián)系。從歐幾里得《原本》問世,平行公設(shè)的證明就成為困擾數(shù)學(xué)家的難題,許多數(shù)學(xué)家試圖直接證明平行公設(shè)或?qū)ふ姨娲O(shè),但都以失敗告終。薩凱里嘗試了證明平行公設(shè)的新途徑,提出直角、鈍角和銳角假設(shè),按照《原本》傳統(tǒng)的純幾何推理方式,他得出直角假設(shè)與平行公設(shè)等價,試圖證明后兩種假設(shè)存在矛盾而只有平行公設(shè)正確。雖然薩凱里也沒有成功證明平行公設(shè),但他在銳角假設(shè)下得到的結(jié)論,成為雙曲幾何的基本理論[1]?？藚胃駹?S. Klügel,1739—1812)批評了薩凱里的錯誤,這引起蘭伯特(J.H. Lambert,1728—1777)的對薩凱里工作的重視。蘭伯特利用代數(shù)方法提出了一些更具深遠(yuǎn)意義的非歐幾何結(jié)論,這使得數(shù)學(xué)家們開始懷疑除歐氏幾何外的另一種幾何的存在。

薩凱里四邊形及銳角假設(shè)的主要結(jié)論在通史類文獻(xiàn)中都有提及[2-5],一些學(xué)者研究了薩凱里在推導(dǎo)銳角假設(shè)矛盾過程中的錯誤及原因,他們認(rèn)為薩凱里雖然得到了新幾何的有趣結(jié)論,但不愿意承認(rèn)這些與直觀相悖的結(jié)論,并將其歸咎于他維護(hù)歐幾里得的決心[6-8]。直觀或經(jīng)驗的因素是一方面,更重要的是薩凱里邏輯學(xué)著作的影響。薩凱里究竟如何看待銳角假設(shè)的結(jié)論,他錯誤的原因是什么,他的工作為非歐幾何的誕生起到了哪些奠基性作用,這些問題對于薩凱里幾何工作的合理定位,認(rèn)識非歐幾何建立的思想來源,了解非歐幾何的早期歷史都具有重要意義。本文將在薩凱里幾何著作原始文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,結(jié)合其邏輯證明著作,試圖解決以上歷史問題。

1 薩凱里證明平行公設(shè)的出發(fā)點(diǎn)和邏輯方法

1733年,薩凱里的幾何著作《免除所有污點(diǎn)的歐幾里得》[8](EuclidesabOmniNaevoVindicatus, 1733)出版(以下簡稱《免除》),全書共有兩卷,第一卷證明平行公設(shè),包括39個命題以及若干推論和注釋;第二卷考察比和比例。薩凱里四邊形以及銳角假設(shè)下的各種結(jié)論被認(rèn)為是18世紀(jì)的幾何杰作之一,在非歐幾何的建立和發(fā)展中扮演了重要角色。薩凱里用歸謬法證明平行公設(shè)的唯一確定性,試圖解決平行公設(shè)獨(dú)立與否的問題,其動機(jī)與他關(guān)于邏輯和證明的工作息息相關(guān)。數(shù)學(xué)史研究的主要目的是回答歷史上為什么會產(chǎn)生這樣的數(shù)學(xué)[9],因此很自然地提出下列問題,薩凱里為什么要證明平行公設(shè)?他使用了什么方法?

在《免除》的前言部分,薩凱里指出不同時代的數(shù)學(xué)家針對《原本》中若干“污點(diǎn)”的討論,包括平行公設(shè)缺乏顯然性,由證明平行公設(shè)產(chǎn)生的對平行線定義的爭論,即能否用等距直線定義平行線,以及比例和復(fù)比的問題。薩凱里聲明:

“在這本書中,歐幾里得幾何的第一原則將被嚴(yán)格地證明……同時說明歐幾里得的名望受到了不公正的抨擊?！盵8]

薩凱里證明平行公設(shè)的另外一個出發(fā)點(diǎn)是實踐他早年著作《邏輯證明》(LogicaDemostrativa,1697)中提出的原則和方法。他在《邏輯證明》中考察了公理的一致性以及由定義得到的隱含條件,這致使他對幾何基礎(chǔ)的進(jìn)一步研究。薩凱里自己也稱《邏輯證明》是他“智慧的結(jié)晶”(childofhisgenius)[10]。

《邏輯證明》為薩凱里提供了證明平行公設(shè)的方法。薩凱里認(rèn)為即使是不證自明的公理也需要證明,且公理一定能夠證明,而證明公理的最好方法就是絕妙推理(consequentiamirabilis)[11]。絕妙推理是從命題結(jié)論的否定出發(fā)的論證方法,如果命題可以由其否定推導(dǎo)得出,那么該命題為真,即(P→P)→P。絕妙推理與歸謬法(reductioadadsurdum)類似,都是先假定命題的否定成立,然后在此基礎(chǔ)上推導(dǎo);二者的區(qū)別在于,歸謬法只需要推導(dǎo)的結(jié)論與公理,前提假設(shè),或已證明的命題三者之一矛盾即可,而絕妙推理要求最終得出的結(jié)論必須是命題本身,因此并不具有普適性。1573年,克拉維烏斯在《原本》的修訂本中指出,歐幾里得在第九卷的命題12[注]Eu9.12:已知p為任意素數(shù),a為自然數(shù),若p|an,那么p|a. 歐幾里得的證明用現(xiàn)代語言表示為:假設(shè)p不整除a,即p與a互素,因為p|an=an-1·a,所以p|an-1,同理,p整除an-2,an-3…a.所以p整除a.中使用了絕妙推理[12]。該修訂本啟發(fā)薩凱里試圖證明平行公設(shè)是公理,并為他提供了絕妙推理的證明方法。他認(rèn)為不論證明過程有多長,用到多少定理,只要從公理的反面出發(fā)得到公理本身,就證明了公理。因此,薩凱里的目的是使用絕妙推理證明平行公設(shè)不是定理,而是一個公理,從而說明歐幾里得并沒有錯。

薩凱里首次使用絕妙推理檢驗幾何公設(shè),也是第一個考慮一組公設(shè)中各公設(shè)獨(dú)立性和相關(guān)性的數(shù)學(xué)家[13]。他在《免除》中大量使用該方法,并在第一卷的結(jié)語中寫道:

“我如此熱切地證明每個不真的假設(shè)的矛盾……是因為每個原本真實的命題都有這樣的特點(diǎn),假設(shè)其否定為真,一定能通過完美的絕妙推理最終回到命題本身。我承認(rèn)這是我早年在《邏輯證明》中對一些真命題研究的結(jié)果?！盵8]

綜合以上,薩凱里證明平行公設(shè)的外在目的是為歐幾里得辯護(hù),更深層次的目的是使用《邏輯證明》的原則和方法檢驗幾何公理的獨(dú)立性,從而在幾何上實踐他提出的證明方法論。

2 薩凱里在銳角假設(shè)下得到的重要結(jié)論和證明漏洞

薩凱里使用絕妙推理即假設(shè)命題的否定成立而推出命題本身,結(jié)合歸謬法來證明平行公設(shè)。首先,薩凱里引入一個雙直角等腰四邊形ABCD,其中AC與BD相等并垂直于底邊AB(如圖1),用《原本》第I卷的命題4和命題8可證明兩頂角相等,并且頂角為直角時線段AB等于CD,頂角為鈍角時線段AB小于CD,頂角為銳角時線段AB大于CD。這三種情況分別對應(yīng)著直角假設(shè)、鈍角假設(shè)或銳角假設(shè)。

圖1 薩凱里四邊形Fig.1 Sacchrei Quadrilateral

根據(jù)薩凱里的邏輯證明方法,他一方面要用絕妙推理證明平行公設(shè)成立,另一方面證明鈍角假設(shè)和銳角假設(shè)不成立。首先,結(jié)合《原本》第I卷前28個命題,薩凱里證明了在直角假設(shè)和鈍角假設(shè)下,兩條直線被第三條直線所截,若形成的同旁內(nèi)角小于兩直角,那么這兩條直線一定會在有限處相交。而在鈍角假設(shè)下的這一結(jié)論最終推導(dǎo)出三角形兩內(nèi)角之和大于兩直角,這與《原本》第I卷命題17(在任何三角形中,任意兩角之和小于兩直角)矛盾,因此鈍角假設(shè)不成立。其次,與前兩種假設(shè)的證明方式相同,薩凱里試圖說明在銳角假設(shè)中上述兩直線在無限延伸后的相交情況,得出兩直線在無限遠(yuǎn)處相切,但這與直線的自然特性矛盾,因此銳角假設(shè)也不成立。薩凱里又用五個引理說明直線的自然特性包括兩條直線不能包圍一塊空間;兩條直線不能有公共線段等。證明公理的絕妙推理是從命題的否定推出命題本身,而薩凱里前面的證明是歸謬法,只能說明平行公設(shè)是一個定理。因此,在最后的6個命題中,薩凱里從等距直線的角度重新證明銳角假設(shè)和鈍角假設(shè)的矛盾,試圖證明平行公設(shè)是公理。

薩凱里運(yùn)用巧妙的假設(shè)技巧,通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?得到了一些重要的非歐幾何基本結(jié)論,但與此同時,證明中的漏洞和謬誤導(dǎo)致他對這些結(jié)論的錯誤判斷。

2.1 銳角假設(shè)的重要結(jié)論

薩凱里用純幾何推理的方式證明了非歐幾何的基本結(jié)論,例如,任意三角形(四邊形)內(nèi)角和在直角、銳角、鈍角假設(shè)下分別等于、小于、大于兩直角 (四個直角);若3種假設(shè)之一在一個圖形中成立,那么在所有圖形中都成立,現(xiàn)在被稱為薩凱里-勒讓德定理。在銳角假設(shè)下,當(dāng)兩條直線被第三條直線所截,形成的同旁內(nèi)角之和小于兩直角時,要么在有限處相交,要么在無窮遠(yuǎn)處彼此接近(漸近直線);兩條直線在無窮遠(yuǎn)處要么在某點(diǎn)相切,要么在該點(diǎn)有公垂線。這些結(jié)論觸及到了雙曲空間的性質(zhì),被認(rèn)為代表薩凱里幾何工作的最高點(diǎn)[8]。作為前面結(jié)論的總結(jié),薩凱里在《免除》的命題32中敘述如下:

在銳角假設(shè)下,有一個確定的銳角BAX決定了AX與BX僅在無限遠(yuǎn)處相遇(meet),因此AX部分是內(nèi)極限(intrinsiclimit),部分是外極限(extrinsiclimit);一方面,所有與AB所成角小于角BAX的直線都與BX在有限處相交,另一方面,所有與AB所成角大于角BAX但小于等于直角的直線都與BX在不同的兩點(diǎn)處具有公垂線[8]。

圖2 命題32Fig.2 Proposition 32

可以看出,這個命題與羅巴切夫斯基(N. Lobachevsky,1792—1856)對平行線的定義不謀而合。羅氏將平行線定義為過直線外一點(diǎn)與已知直線的相交線和不相交線的邊界[14]。極限線AX事實上就是羅氏的平行線,位于AX上方的線與BX不相交(超平行),位于AX下方的線都與BX相交。

2.2 薩凱里的證明漏洞

首先,薩凱里在鈍角假設(shè)推出的結(jié)論與《原本》第I卷的命題17矛盾,而歐幾里得在證明這兩個命題時默認(rèn)了直線可以無限延長且可以延長到任意長度,這個原理在當(dāng)時是具有爭議的,薩凱里自己也意識到這一點(diǎn),因此,他在《免除》的前言中強(qiáng)調(diào),他僅在有界的三角形中使用了這兩個命題。薩凱里的證明本身是嚴(yán)格的,鈍角假設(shè)對應(yīng)的幾何模型是球面幾何或橢圓幾何,而這兩種幾何中直線都是有限長且命題16并不成立[8],因此薩凱里在默認(rèn)命題16-17的前提下自然很容易就推出鈍角假設(shè)的矛盾。但由于它們在銳角假設(shè)下成立,類似的矛盾不能同樣容易地推出,所以他用了大量篇幅去推翻銳角假設(shè)。

其次,銳角假設(shè)與直線的自然特性矛盾并不具有說服力。在命題33中斷言AX和BX將在無限遠(yuǎn)處相遇,要么相切且在切點(diǎn)處有公垂線,要么彼此匯合成為一條直線。因此他稱這些結(jié)論與直線的自然特性不相容(repugnant),所以銳角假設(shè)自相矛盾。這里,他錯誤地將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是有限處的點(diǎn),從而假設(shè)兩條直線在無窮遠(yuǎn)處的某點(diǎn)相遇后可以繼續(xù)延長。另外,從邏輯證明的角度,薩凱里對直線自然特性的“證明”因為經(jīng)驗的影響并不是絕對正確的結(jié)論,因此與直線自然特性矛盾并不能作為銳角假設(shè)錯誤的依據(jù)。

第三,薩凱里使用絕妙推理時出現(xiàn)的數(shù)學(xué)錯誤。在《免除》第一卷的最后6個命題中,薩凱里考慮了與已知線段AC等距的點(diǎn)的連線。根據(jù)銳角假設(shè)的基本命題,不斷二等分CD與AB,連接對應(yīng)的中點(diǎn),得到的一系列垂線段都小于AC,且垂線段的長度隨著與AC或BD的接近而增加。將這些垂線段延長使得各自的長度等于AC或BD,垂線段端點(diǎn)的連線,或與AB距離相等的點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡就是曲線CKD(如圖3)。薩凱里證明了曲線CKD上的每一點(diǎn)都存在唯一的切線,他利用切線的微元近似代替曲線的微元,并認(rèn)為切線的微元與底邊AB的微元相等,從而曲線CKD與底邊AB長度相等。

圖3 命題37Fig.3 Proposition 37

“…確定無疑的是,切線的無窮小量K既不會大于也不會小于,而是完全等于底邊AB的無窮小量M,因為顯然可以假設(shè)線段MK是由點(diǎn)M到K的勻速運(yùn)動的軌跡…”[8]

這樣,由于CKD大于弦CD,那么AB大于CD,這與銳角假設(shè)下AB小于CD矛盾,即推出了銳角假設(shè)的否定。雖然上述過程滿足絕妙定理的要求,要證明P,假設(shè)P成立,最后推出P,即(P→P)→P,但薩凱里犯了一個錯誤,即具有無窮小寬度的垂線MK將曲線CKD與底邊AB對應(yīng)地分割為不同的點(diǎn),從而曲線和直線上的點(diǎn)一一對應(yīng),又因為它們都是點(diǎn),因此曲線和直線等長。薩凱里將線段上的點(diǎn)當(dāng)作實無窮小量,是一個明顯的數(shù)學(xué)錯誤。

由于邏輯和數(shù)學(xué)上的錯誤,薩凱里并沒有得出銳角假設(shè)的矛盾。盡管如此,他第一次結(jié)合《原本》中不需要平行公設(shè)的28個命題,從命題的否定出發(fā)證明命題本身;更重要的是,在為歐幾里得辯護(hù)的過程中,他原創(chuàng)性地證明了另外兩種幾何即雙曲幾何和橢圓幾何的基本結(jié)論,為非歐幾何的誕生奠定了基礎(chǔ)。

3 薩凱里幾何工作的影響

薩凱里對非歐幾何的創(chuàng)立者產(chǎn)生了重要影響,他首次將幾何分為3個分支并詳細(xì)論述各種幾何的基本理論。他在《免除》中使用正確的邏輯證明方法得出雙曲幾何創(chuàng)立所需要的基本結(jié)論,他證明的錯誤進(jìn)一步觸及到了公理化方法以及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。第一次從數(shù)學(xué)的角度研究薩凱里平行線思想的是克呂格爾,在1763年的畢業(yè)論文中,他綜述了前人的30多種對平行公設(shè)的證明,用七分之一的篇幅敘述了薩凱里的證明,并指出薩凱里證明的錯誤:“……如果這樣的話,任意曲線經(jīng)過同樣的方式被底邊上的垂線逐次二等分,都可以等于底邊?！盵8]克呂格爾的綜述是薩凱里幾何思想傳播和演進(jìn)的關(guān)節(jié)點(diǎn),引起同時代數(shù)學(xué)家對薩凱里幾何工作的關(guān)注。

3.1 對同時代數(shù)學(xué)家的影響

蘭伯特通過克呂格爾的文章了解到薩凱里證明平行公設(shè)的主要步驟和重要定理。1766年,蘭伯特完成了著作《平行線理論》[15](TheoriederParallellinien,1786)。他接納了代數(shù)方法和三角函數(shù)理論,得到了一些更加深刻的非歐幾何理論,例如,在銳角假設(shè)下存在長度的絕對度量,銳角假設(shè)在虛半徑球面上成立等。對于薩凱里的數(shù)學(xué)錯誤,蘭伯特提出在銳角假設(shè)下,與底邊AB等距點(diǎn)的連線的長度取決于距離AC的大小,這在當(dāng)時是十分先進(jìn)的觀點(diǎn)。

蘭伯特的工作擴(kuò)大了薩凱里平行線思想在歐洲的傳播范圍,但也減少了數(shù)學(xué)家對《免除》的關(guān)注。雖然18世紀(jì)末到19世紀(jì)初的數(shù)學(xué)迅速向前發(fā)展,但數(shù)學(xué)家仍然在關(guān)注作為幾何基礎(chǔ)的平行公設(shè)的證明。高斯(C.F.Guass,1777—1855)、羅巴切夫斯基和波約(J. Bolyai,1802—1860)都嘗試了證明平行公設(shè),但最終都轉(zhuǎn)向?qū)︿J角假設(shè)下的幾何即雙曲幾何的研究。薩凱里和蘭伯特的平行線思想和理論是他們研究的起點(diǎn)。例如,羅巴切夫斯基將平行線定義為漸近直線,并用解析方法討論了薩凱里四邊形的邊角關(guān)系等。

在1830年到1860年之間,薩凱里的工作很少被提及,最多是出于收集資料的目的被收錄在文選中。1889年,Manganotti神父重新發(fā)現(xiàn)了薩凱里的書并將其送給貝爾特拉米(Beltrami,1835—1900)[5]。貝爾特拉米研讀后寫了一篇重要的文章,說明薩凱里是羅巴切夫斯基和波約的先驅(qū)者。這引來了學(xué)者對薩凱里的大量研究,探究他的工作對非歐幾何的意義,他的全部著作以及歷史影響。1895年,F. Engel和P. St?ckel的《平行線理論:從歐幾里得到高斯》收錄了《免除》第一卷的德文版;1920年,G.B. Halsted出版了《免除》的英文版。作為非歐幾何的先驅(qū)者,薩凱里的工作逐漸被后世所知。

3.2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)史家的評價

薩凱里的工作對非歐幾何創(chuàng)立的重要意義是所有數(shù)學(xué)史家都認(rèn)同的,正如數(shù)學(xué)史家M.J. Greenberg的比喻,薩凱里發(fā)現(xiàn)了鉆石,但他不相信自己看到的而聲稱它是玻璃[3]。銳角假設(shè)本身沒有矛盾,而由于對無窮和基數(shù)的誤解他得出銳角假設(shè)自相矛盾的錯誤論斷。在很大程度上,這個錯誤引起了當(dāng)時數(shù)學(xué)家對薩凱里平行線思想的進(jìn)一步探討,對非歐幾何的創(chuàng)立具有重要意義。另外,對于17世紀(jì)末到18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家來說,犯這樣的錯誤是有些出乎意料的,因此許多數(shù)學(xué)史家都探討了薩凱里錯誤的原因。

數(shù)學(xué)史家將薩凱里錯誤的原因歸結(jié)為:首先,薩凱里的出發(fā)點(diǎn)是為歐幾里得辯護(hù),在證明之前就有平行公設(shè)是唯一正確的信念[6]；其次,幾何在當(dāng)時既是數(shù)學(xué)研究的一部分,也是描述物理空間的學(xué)科,經(jīng)驗阻礙了薩凱里對銳角假設(shè)結(jié)論的認(rèn)同[7]；第三,薩凱里在證明中堅持使用綜合幾何的方法,導(dǎo)致他錯過新幾何的發(fā)現(xiàn)[8]。事實上,從薩凱里的證明步驟以及對前人的批評可以看出,他對證明的邏輯嚴(yán)格性要求極高,不可能承認(rèn)一個未被嚴(yán)格證明的結(jié)論。在《邏輯證明》中薩凱里已經(jīng)討論了關(guān)于幾何連續(xù)統(tǒng)無限可分的亞里士多德學(xué)派和芝諾悖論,他一方面認(rèn)為如果存在一個無限可分的連續(xù)統(tǒng),那么它一定可以真實地分割(即實無窮),另一方面又認(rèn)為點(diǎn)可以無限分割[13]。他在《邏輯證明》中對無窮的迷惑為平行公設(shè)證明的錯誤埋下了種子。薩凱里用切線微元近似代替曲線微元說明他對風(fēng)靡當(dāng)時的微積分方法并非一無所知,他對無窮小的深入討論也表明當(dāng)時一些數(shù)學(xué)家開始對微積分基礎(chǔ)的質(zhì)疑。因此,可以看出薩凱里不會為了說明歐幾里得正確而不承認(rèn)銳角假設(shè)的結(jié)論,而是完全相信自己已經(jīng)推導(dǎo)出銳角假設(shè)的矛盾。

4 結(jié) 語

薩凱里為了在幾何上實踐其《邏輯證明》的思想和方法,利用綜合幾何的方法證明歐幾里得平行公設(shè)的獨(dú)立性。對無窮和基數(shù)錯誤理解以及對幾何的有限認(rèn)識,導(dǎo)致薩凱里對銳角假設(shè)產(chǎn)生錯誤的見解,但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硪约芭行运季S,使得他推導(dǎo)出了非歐幾何的基本結(jié)論。結(jié)合其幾何工作的目的和方法,我們可以發(fā)現(xiàn),薩凱里并非為了說明平行公設(shè)唯一正確而不愿意承認(rèn)銳角假設(shè)的結(jié)論,他堅信自己用絕妙推理證明了銳角假設(shè)自相矛盾,從而認(rèn)為自己已經(jīng)證明了平行公設(shè)。數(shù)學(xué)史上的許多重大發(fā)現(xiàn)都不是個別數(shù)學(xué)家靈機(jī)一動的結(jié)果,而是建立在對前人工作繼承和改進(jìn)的基礎(chǔ)上,當(dāng)然,其中也包括前人工作的錯誤,如非歐幾何的先驅(qū)薩凱里。