簡(jiǎn)單案例為主線的《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教學(xué)模式研究

劉淑嫻，楊文忠

（新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，烏魯木齊830046）

0 引言

隨著人們對(duì)信息安全的重視，信息安全領(lǐng)域越來越受到關(guān)注，信息安全學(xué)科是一門新興的學(xué)科，涉及通信學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息學(xué)和數(shù)學(xué)等多個(gè)學(xué)科。應(yīng)用于信息安全的數(shù)學(xué)理論和知識(shí)涉及數(shù)論、代數(shù)系統(tǒng)、橢圓曲線論等，為此，信息安全專業(yè)的學(xué)生需要學(xué)習(xí)《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程。《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》不僅作為信息安全專業(yè)的基礎(chǔ)課程，更是信息安全專業(yè)的專業(yè)數(shù)學(xué)課程。奠定良好的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，有利于提高學(xué)生對(duì)后續(xù)課程（如：現(xiàn)代密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)安全基礎(chǔ)、協(xié)議分析等）的學(xué)習(xí)興趣。沒有基礎(chǔ)，就沒有進(jìn)階，知識(shí)體系環(huán)環(huán)相扣，是統(tǒng)一的整體，沒有夯實(shí)的基礎(chǔ)，就像木桶中的短板一樣，最終會(huì)成為影響專業(yè)系統(tǒng)性學(xué)習(xí)的瓶頸。本文通過分析信息安全專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的問題，探討以簡(jiǎn)單案例為主線的教學(xué)模式，使學(xué)生更容易掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

1 目前存在的問題

習(xí)近平總書記明確指出，網(wǎng)絡(luò)安全和信息化是事關(guān)國家安全和國家發(fā)展、事關(guān)廣大人民群眾工作生活的重大戰(zhàn)略問題，要從國際國內(nèi)大勢(shì)出發(fā)，總體布局，統(tǒng)籌各方，創(chuàng)新發(fā)展，努力把我國建設(shè)成為網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)國。黨的十八屆五中全會(huì)明確提出實(shí)施網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)國戰(zhàn)略。

作為地處祖國西北邊陲的新疆，網(wǎng)絡(luò)安全建設(shè)不容忽視，2006年新疆大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院開設(shè)信息安全專業(yè)，成為新疆維吾爾自治區(qū)第一所開設(shè)信息安全專業(yè)的高校；2012年新疆大學(xué)信息安全專業(yè)被批準(zhǔn)為第二輪新疆維吾爾自治區(qū)緊缺專業(yè)；2017年新疆大學(xué)信息安全專業(yè)獲批為新疆維吾爾自治區(qū)戰(zhàn)略新興專業(yè)。

習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，高校思想政治工作關(guān)系高校培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人這個(gè)根本問題。要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面。

新疆大學(xué)擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)思想政治過硬、基礎(chǔ)理論功底扎實(shí)、專業(yè)技術(shù)熟練的信息安全人才的重要使命，不僅關(guān)系著新疆地方經(jīng)濟(jì)建設(shè)和發(fā)展，更關(guān)系著新疆的社會(huì)穩(wěn)定和長(zhǎng)治久安總目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，關(guān)系著國家的網(wǎng)絡(luò)安全事業(yè)。

目前新疆大學(xué)信息安全專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程中，主要存在以下3方面問題。

1.1 同一專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同

2018年7月至8月，新疆大學(xué)面向全國27個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）共錄取普通本科新生5098人，其中，省內(nèi)新生3500人（包括民語言新生），省外新生1598人。各省市的生源質(zhì)量不均衡，對(duì)于新疆維吾爾自治區(qū)的學(xué)生來說，南疆和北疆的教學(xué)質(zhì)量也不均衡，因此學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，對(duì)《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程的學(xué)習(xí)有較大的影響，為了更加深入掌握《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》背后的算法，理論基本功的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練是不可缺少的。

1.2 教學(xué)案例選擇考慮不充分

《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程教學(xué)內(nèi)容主要包括兩大部分：數(shù)論和群論。在數(shù)論學(xué)習(xí)中，了解掌握各種計(jì)算方法，并知曉與后續(xù)課程之間的關(guān)系，教學(xué)中如若強(qiáng)調(diào)各種定理證明，部分學(xué)生本身數(shù)學(xué)底子薄，對(duì)證明的理解存在困難，從而造成學(xué)生在學(xué)習(xí)中沒有成就感，感受不到學(xué)習(xí)的樂趣。在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域等，可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運(yùn)算和公理而形成的。在群論學(xué)習(xí)中，由于內(nèi)容比較抽象，若選取的案例不合適，會(huì)造成學(xué)生不能充分理解基本概念，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)望而生畏。

1.3 教學(xué)手段較落后

由于課時(shí)有限，在有限的課時(shí)里為了完成教學(xué)任務(wù)，課堂教學(xué)仍以傳統(tǒng)教學(xué)手段為主，沒有真正體現(xiàn)“授人以漁”的理念，不能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，僅滿足于上課聽課、下課完成作業(yè)、考試合格的基本要求，未能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與專業(yè)學(xué)習(xí)相結(jié)合，未達(dá)到以數(shù)學(xué)理論功底帶動(dòng)專業(yè)算法實(shí)踐的目的。

2 應(yīng)用實(shí)例

案例教學(xué)法起源于上世紀(jì)20年代，由美國哈佛商學(xué)院所倡導(dǎo)，當(dāng)時(shí)是采取一種很獨(dú)特的案例型式的教學(xué)，這些案例都是來自于商業(yè)管理的真實(shí)情境或事件，透過此種方式，有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生主動(dòng)參與課堂討論，實(shí)施之后，頗具績(jī)效。上世紀(jì)90年代末，國內(nèi)教育界開始探究案例教學(xué)法。該方法能鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考；引導(dǎo)學(xué)生變注重知識(shí)為注重能力；重視雙向交流。

1.1 研究對(duì)象 選取2015年1月至2017年6月在我院診斷為SUI的女性患者120例為病例組，同期選取無癥狀健康女性70例為對(duì)照組。病例組年齡25～66(47±13)歲，對(duì)照組年齡21～70(39±18)歲，統(tǒng)計(jì)兩組女性體質(zhì)量指數(shù)(body mass index，BMI)、孕次、產(chǎn)次。所有入選女性均無急性婦科、泌尿系炎癥，無盆腔巨大包塊史，無盆底手術(shù)、盆底外傷，無慢性咳嗽便秘史，無嚴(yán)重內(nèi)、外科疾病，近3個(gè)月內(nèi)無激素替代治療。

由于《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程具有基礎(chǔ)性、系統(tǒng)性、前沿性、專業(yè)性和工程性，若在教學(xué)中選擇的案例過于復(fù)雜，不僅影響教學(xué)效果，也會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文所提出的簡(jiǎn)單案例是指內(nèi)容單一，容易理解、使用或處理的教學(xué)范例。通過簡(jiǎn)單案例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本原理來處理實(shí)際問題，懂得與后續(xù)課程之間的銜接。

選取簡(jiǎn)單案例的主要原則：

（1）簡(jiǎn)單。選擇計(jì)算容易的問題，能夠反映數(shù)學(xué)問題的實(shí)例進(jìn)行講解。

（2）主線特點(diǎn)明顯。采取“以點(diǎn)帶面”的方式，通過一例的學(xué)習(xí)，延續(xù)至后續(xù)各知識(shí)點(diǎn)中，其結(jié)果也能夠繼續(xù)復(fù)用。

（3）舉一反三。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是概念多、計(jì)算量大，在教學(xué)中通過簡(jiǎn)單案例的分析，讓學(xué)生迅速掌握知識(shí)點(diǎn)，在作業(yè)及后續(xù)學(xué)習(xí)中，循序漸進(jìn)，學(xué)會(huì)解決更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

在《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程教學(xué)中，教師根據(jù)教學(xué)大綱，依次為學(xué)生講授整數(shù)的可除性、同余、同余式、二次同余式與平方剩余、原根與指標(biāo)、素性檢驗(yàn)、群、群的結(jié)構(gòu)、環(huán)與理想、多項(xiàng)式環(huán)、域和Galois理論、域的結(jié)構(gòu)、橢圓曲線等內(nèi)容。在這一系列問題的學(xué)習(xí)中，我們完全可以用簡(jiǎn)單案例作為主線，將各學(xué)習(xí)點(diǎn)通過這一主線串起來。例如：我們?cè)谶@里采用兩個(gè)整數(shù)a和m，令a=5，m=17，設(shè)計(jì)合理的案例，將歐幾里得除法、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)、同余、剩余類、歐拉定理、同余式求解、平方剩余、原根、群、有限域及橢圓曲線等知識(shí)點(diǎn)貫穿在一起。

由于涉及知識(shí)點(diǎn)較多，本文僅選取歐幾里得除法、最大公因數(shù)、原根和有限域等4個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行介紹，涵蓋了數(shù)論到群論的重要知識(shí)點(diǎn)。

2.1 學(xué)習(xí)歐幾里得除法

歐幾里得除法定義為：設(shè)a，m是兩個(gè)整數(shù)，其中b>0。則對(duì)任意的整數(shù)c，存在唯一的整數(shù)q，r使得a=q·m+r，c≤r

若令 a=17，m=5，取整數(shù) c=0，0≤ r<5。若 q=0，則17=0·5+17，但是17不在0≤r<5的取值范圍；若q=1，則 17=1·5+12，若 q=2，則 17=2·5+7，但是 12、7 均不在0≤ r<5 的取值范圍；若 q=3，則 17=3·5+2，2 在 0≤ r<5的取值范圍；若 q=4，則 17=4·5+（-3），但是-3 不在 0≤r<5的取值范圍。因此a=17，m=5，取整數(shù)c=0時(shí)，由歐幾里得除法定義可知 17=3·5+2，即：q=3，r=2。

以上兩例說明，不論a與m的大小關(guān)系如何，歐幾里得除法均適用，并且通過上述分析，為學(xué)生引入q與r的表示式，即：不完全商，余數(shù) r=a-q·m。

2.2 學(xué)習(xí)最大公因數(shù)

根據(jù)定理：設(shè)a，m，r是三個(gè)不全為零的整數(shù)，如果a=q·m+r，其中 q 是整數(shù)，則（a,m）=（m,r）。

以及最大公因數(shù)的定義，我們引出廣義歐幾里得除法（也叫輾轉(zhuǎn)相除法）求解兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)。

設(shè)a，m是任意兩個(gè)整數(shù)，記r-2=a，r-1=m，反復(fù)運(yùn)用歐幾里得除法，有：

案例設(shè)計(jì)：令 a=17，m=5，則：r-2=17，r-1=5，反復(fù)運(yùn)用歐幾里得除法，有：

所以，（17,5）=1，并且對(duì)于（a,m）=1，稱 a與 m 互素，本例中a=17與m=5互素。

2.3 學(xué)習(xí)原根

要學(xué)習(xí)原根，首先要了解指數(shù)的概念：設(shè)m>1是整數(shù)，a是與m互素的正整數(shù)，則使得ae≡1（mod m）成立的最小正整數(shù)e叫做a對(duì)模m的指數(shù)，記作ordm（a）。如果a對(duì)模m的指數(shù)是φ（m），則a叫做模m的原根。

案例設(shè)計(jì)：令 a=5，m=17。

求解mod 17的原根有多種方法：

（1）根據(jù)定義，直接計(jì)算判斷a=5是否是模m=17的一個(gè)原根。

所以，Ord17（5）=φ（17）=16，即a=5是模m=17的一個(gè)原根。

（2）由歐拉定理，aφ（m）≡1（mod m），（a,m）=1，所以ordm（a）|φ（m）。

所以，對(duì)于原根判斷，我們只需考察φ（m）的因數(shù)d，即：d|φ（m）。

上例新解：令 a=5，m=17。

對(duì)比第一種方法，第二種方法的效率要更高。

（3）m=17是奇素?cái)?shù)，根據(jù)定理，m-1的所有不同素因數(shù)是 q1,…,qs，則 a是模 m原根的充要條件是

m-1=17-1=16=24，所 有 不 同 素 因 數(shù) q=2，因

所以，a=5是模m=17的一個(gè)原根。

2.4 學(xué)習(xí)有限域

有限域是信息安全領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的概念，扎實(shí)掌握這一知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于橢圓曲線的學(xué)習(xí)非常重要，同時(shí)也體現(xiàn)在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中，如：現(xiàn)代密碼學(xué)等。

為了讓學(xué)生較輕松地掌握有限域地概念，我們不妨利用之前學(xué)生已經(jīng)較好掌握的知識(shí)進(jìn)行擴(kuò)充，首先以GF（p）為例進(jìn)行有限域?qū)W習(xí)的引入。

根據(jù)原根知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，a=5是模m=17的一個(gè)原根，所以a=5是有限域GF（17）的一個(gè)生成元，并且GF*（17）的所有元素，都可以表示為 ai（mod m），i=0，1,…,φ（m）-1。

3 結(jié)語

在多年《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程教學(xué)中，為了提高教學(xué)質(zhì)量我們一直尋求突破點(diǎn)，運(yùn)用多種教學(xué)手段，不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。經(jīng)過多年教學(xué)與實(shí)踐，本文倡導(dǎo)的以簡(jiǎn)單案例為主線的教學(xué)模式已取得初步成果，以本文案例為例，在教學(xué)中能有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)地理解，并且能體會(huì)知識(shí)的系統(tǒng)性和連續(xù)性，收到了較好的教學(xué)效果。