曼哈頓距離的思考

■浙江省天臺(tái)中學(xué)

曼哈頓距離的定義：曼哈頓距離也叫出租車幾何,是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來(lái)的,它是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ),用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和。

圖1

我們用通俗一點(diǎn)的語(yǔ)言來(lái)解釋:如圖1所示,直線①是A、B兩點(diǎn)間的直線距離,我們通常把它叫作歐式距離,而其他幾條線的長(zhǎng)度就是這兩點(diǎn)間的曼哈頓距離。雖然我們都知道兩點(diǎn)之間線段最短,不過(guò)在生活中卻不一定能直接來(lái)按照最短的那一條直線來(lái)走,因?yàn)槲覀冎荒茏哂新返牡胤?而不能“穿墻而過(guò)”。

曼哈頓距離與我們高中數(shù)學(xué)中的哪些問題相關(guān)呢?

問題：在平面直角坐標(biāo)系中,定義d(P,Q)=x1-x2+y1-y1為兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”,則圓(x-4)2+(y-3)2=4上一點(diǎn)與直線x+y=0上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是 。

分析：這里的折線距離就是曼哈頓距離,為了解決這類問題,我們先去研究 x +y的性質(zhì)。對(duì)于 x +y=a(a＞0),我們知道這個(gè)表示的是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的平行四邊形(準(zhǔn)確地說(shuō)是如圖2所示的正方形),并且隨著a值的不斷變大,這個(gè)正方形也在逐漸變大,但對(duì)于每個(gè)正方形中的點(diǎn)(x,y),x +y的值保持不變。

圖2

例1 已知2x+y=4,求 x +y 的最小值。

解析：如圖3所示,當(dāng)正方形與直線剛好相交時(shí),x +y 的值最小,最小值為2。

例2 已知x2+y2=1,求x +y的最值。

圖3

分析：如果將例1、例2題目中的結(jié)論“x +y ”改為“x-1+y-1”,則“以原點(diǎn)為中心的正方形”就改為“以(1,1)為中心的正方形”。那么我們可以得到以下兩個(gè)結(jié)論。

結(jié)論一：已知直線l:Ax+By+C=0(AB≠0),P(x0,y0)是直線外一點(diǎn),Q是直線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)分別作x軸,y軸的垂線,交直線l于點(diǎn)M,N,則:

(1)若PM=PN,則當(dāng)點(diǎn)Q在線段MN上時(shí),兩點(diǎn)間的“折線距離”最小,最小值為PN或PM,并且此時(shí)直線l的斜率為±1,若點(diǎn)P到直線l的距離為d,則PN=PM=2d；

(2)若PM＞PN,則當(dāng)點(diǎn)Q在線段MN上時(shí),兩點(diǎn)間的“折線距離”最小,最小值為PN；

(3)若PM＜PN,則當(dāng)點(diǎn)Q在線段MN上時(shí),兩點(diǎn)間的“折線距離”最小,最小值為PM。

圖4

結(jié)論二：若兩條直線l1,l2平行,則l1上任意一點(diǎn)P(x0,y0)到l2上點(diǎn)Q的“折線距離”最小值都相等。根據(jù)上述結(jié)論我們可以建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系,并定義d(P,Q)=x1-x2+y1-y1為兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“折線距離”,這樣求本題的最值就轉(zhuǎn)化為求圓(x-4)2+(y-3)2=4上一點(diǎn)與直線x+y=0上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值。

解析：將直線x+y=0平移到與圓相切,求出此時(shí)的直線方程為x+y-7+22=0,利用結(jié)論二可知,圓(x-4)2+(y-3)2=4上一點(diǎn)與直線x+y=0上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是7-22。

高考銜接：已知a＞0,函數(shù)f(x)=x2+x-a -3在區(qū)間 [- 1,1]上的最大值是2,求a的值

解析：令t=x2+x-a,x∈[- 1,1],本題等價(jià)于-1≤t≤5恒成立,并至少一邊“=”成立。

t=x2+x-a,x∈[- 1,1]可以理解為點(diǎn)(x,x2)到點(diǎn)(a,0)的“折線距離”(其中點(diǎn)(x,x2)在y=x2上)。

由圖5所示的圖像知點(diǎn)(-1,1)到點(diǎn)(a,0)的“折線距離”最大。

圖5