立體幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)與題型展現(xiàn)

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)

一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

二、重點(diǎn)知識(shí)剖析

(一)空間幾何體的表面積和體積

對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積和體積的考查以公式為主,一般情況下,只要記住公式,題目就可以順利求解。因此,這類題目從難度上講屬于中、低檔題,在高考中直接出題的可能性大,容易出現(xiàn)相關(guān)的選擇題或填空題。

例1 已知三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,側(cè)面積分別是6,4,3,則三棱錐的表面積是____,體積是____。

解：如圖1所示,設(shè)PA=a,PB=b,a2b2c2=12×8×6,所以

圖1

因?yàn)閭?cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,所以

總結(jié):(1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積分別是側(cè)面展開(kāi)圖的面積,因此,弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及各棱的位置關(guān)系是求側(cè)面積問(wèn)題的關(guān)鍵。

(2)求柱體、錐體、臺(tái)體的體積,關(guān)鍵是找到相應(yīng)的底面積和高?？沙浞诌\(yùn)用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。

拓展：若三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,則類比直角三角形中的勾股定理有:

(二)空間幾何體的直觀圖與三視圖

將幾何體由前至后、由左至右、由上至下分別作正投影得到的三個(gè)投影圖依次叫作該幾何體的正(主)視圖、左(側(cè))視圖、俯視圖,統(tǒng)稱三視圖。它們依次反映了幾何體的高度與長(zhǎng)度、高度與寬度、長(zhǎng)度與寬度。

在高考中,主要考查三視圖和直觀圖,特別是通過(guò)三視圖確定原幾何體的相關(guān)量。多以選擇題、填空題為主,也不排除通過(guò)三視圖來(lái)還原幾何體的直觀圖的解答題,側(cè)重于考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,以及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

例2 一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體,所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖2所示,則該幾何體的俯視圖為圖3中的( )。

圖2

圖3

解：因?yàn)樵搸缀误w是一個(gè)大長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體,結(jié)合正視圖及側(cè)視圖中的線段均為實(shí)線,所以“缺口”就在前面的左上方,所以俯視圖“缺口”必在左下方且為實(shí)線。故選D。

(三)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

要證明“點(diǎn)共面”、“線共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在該平面內(nèi)(即納入法)；證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線,只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上,因此共線；證明“線共點(diǎn)”問(wèn)題是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn),思路是:先證明兩條直線交于一點(diǎn),再證明交點(diǎn)在第三條直線上。

平面的基本性質(zhì)、公理、公理的推論及直線與平面的位置關(guān)系,都是每年必考的知識(shí)點(diǎn),試題難度不大,多為選擇題和填空題。

例3 如圖4所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是____。(寫出所有正確命題的編號(hào))

圖4

分析：本題重點(diǎn)考查截面問(wèn)題,對(duì)于截面問(wèn)題要利用平面的性質(zhì)定理作為理論背景,尤其是兩條平行直線確定一個(gè)平面。

解：對(duì)于①②,因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,當(dāng)這時(shí)過(guò)A,P,Q的截面與正方體表面交于點(diǎn)D1,且PQ∥AD1,如圖5截面S為等腰梯形。當(dāng)時(shí),過(guò)A,P,Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱DD1上,截面S為四邊形,如圖6所示,故①②正確。

圖5

圖6

圖7

對(duì)于⑤,如圖9所示,當(dāng)CQ=1時(shí),則過(guò)點(diǎn)A,P,Q的截面APQE為菱形,其對(duì)角線EP=2,AQ=3,所以S的面積為

圖8

圖9

綜上,正確命題的序號(hào)是①②③⑤。

總結(jié):截面問(wèn)題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用,先由確定平面的條件確定平面,然后作出該截面,并確定該截面的形狀。

(四)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

有關(guān)平行的問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容,主要分為兩大類:一類是空間線面關(guān)系的判定和推理；一類是幾何量的計(jì)算。主要考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。

平行關(guān)系是立體幾何中的一種重要位置關(guān)系,在高考中,選擇題、填空題幾乎每年都考,難度一般為中檔題,且常常以棱柱、棱錐為背景。

例4 如圖10所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,O為AC的中點(diǎn)。問(wèn):在BC1上是否存在一點(diǎn)E,使得OE∥平面A1ABB1?若不存在,說(shuō)明理由；若存在,確定點(diǎn)E的位置。

分析：欲證線面平行,一般通過(guò)線線平行來(lái)證明。要證線線平行,就在一個(gè)平面內(nèi)進(jìn)行,通常利用平行四邊形或者三角形的性質(zhì)來(lái)處理。

圖10

解：在BC1上存在點(diǎn)E,使得OE∥平面A1ABB1,且E為BC1的中點(diǎn),證明如下:如圖11所示,連接B1C,設(shè)B1C∩BC1=E,連接OE。由三棱柱ABCA1B1C1可知四邊形BCC1B1為平行四邊形,故E為B1C的中點(diǎn)。又O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)E為△AB1C的中位線,所以O(shè)E∥AB1。又OE?平面A1ABB1,AB1?平面A1ABB1,所以O(shè)E∥平面A1ABB1。得證。

(五)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

在高考中,對(duì)垂直關(guān)系的考查一般有兩種方式:

(1)考查垂直關(guān)系的有關(guān)定義、判定及性質(zhì),即通過(guò)有關(guān)命題的真假判定,直接考查有關(guān)的判定和性質(zhì)定理。

(2)以空間幾何體為載體,證明有關(guān)線線、線面、面面的垂直關(guān)系。

圖11

例5 如圖12所示,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),F為線段EC上(端點(diǎn)除外)一動(dòng)點(diǎn)。現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF,在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足,如圖13。設(shè)AK=t,則t的取值范圍是____。

圖12

圖13

分析：對(duì)這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題要深入地抓住其中的定性,掌握變中不變的因素是解題的關(guān)鍵。就本題而言,在矩形ABCD中,引DK⊥AF于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)K,在折起的過(guò)程中,DM,MK始終保持與AF垂直的關(guān)系,即點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影Dˊ始終保持著與點(diǎn)M、K共線,所以我們可以把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,即在點(diǎn)F的位置確定后,點(diǎn)K的位置將固定不動(dòng),t值也不會(huì)因折起而變化,因此在平面圖形中,利用相似建立t的表達(dá)式,即可求其取值范圍。

解：如圖14所示,過(guò)點(diǎn)K作KM⊥AF于點(diǎn)M,連接DM,易得DM⊥AF,與折前的圖形相比,可知折前的圖形中,D,M,K三點(diǎn)共線,且DK⊥AF(如圖15所示)。于是△DAK∽△FDA,

圖14

圖15

總結(jié):本題的解法是借助平面圖形解決空間問(wèn)題的典范,抓住面面垂直、線面垂直等空間問(wèn)題的核心內(nèi)容是解答各種立體幾何問(wèn)題的基本思路。

(六)空間角與距離

異面直線所成角、線面角、二面角是高考中考查的熱點(diǎn),解答與空間角有關(guān)的問(wèn)題時(shí),既可用傳統(tǒng)法,又可用向量法。在新課程標(biāo)準(zhǔn)下,對(duì)立體幾何的基本理論知識(shí)要求有所降低,因此,應(yīng)用向量這一工具解題更為重要,特別是要熟練掌握利用空間圖形的特殊性,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題的方法,并能靈活應(yīng)用。

空間角是立體幾何中的一個(gè)重要概念,它是空間圖形的一個(gè)突出量化指標(biāo),是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn),故以高頻的考點(diǎn)出現(xiàn)在歷屆高考試題中,在選擇題、填空題及解答題中均有出現(xiàn)。

例6 如圖16所示,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,MD⊥平面ABCD,且MD=NB=1,MD∥NB,E為BC的中點(diǎn),求異面直線NE與AM所成角的余弦值。

分析：利用向量法可以輕松求解異面直線所成的角。

解法一：如圖17所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,依題意,得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,(-1,0,1)。

圖16

圖17

解法二：對(duì)幾何體細(xì)心觀察,正三棱錐B-ANC的三條側(cè)棱兩兩垂直,它分明是正方體的一角,從這個(gè)視角出發(fā),又聯(lián)系到MD⊥平面ABCD,四邊形ABCD又恰好是正方形(正方體的一個(gè)面),如此分析,應(yīng)當(dāng)想到已知形體是正方體的一部分,于是“補(bǔ)全”正方體是合乎情理的。

如圖18所示,連接BQ,易知BQ∥AM,設(shè)BQ∩NE=F,則∠NFQ即為異面直線AM與NE所成的角。

在正方形BCQN中,E為BC的中點(diǎn),NQ=1。

圖18