高中數學解題的類比推理運用分析

邵姝媛

（山東壽光現代中學高二37班，山東 壽光）

在抽象知識的學習中高效應用類比推理思想可以將已經學習過的實際問題遷移到尚未學習的、抽象的、較難理解的數學知識中。發(fā)揮類比推理的工具作用，明確其數學意義，并在數學實踐中增強應用，幫助減輕高中數學解題實踐難點。

一、數學類比推理能力培養(yǎng)現狀分析

1.教學中忽視，缺乏研究意識

數學是演藝、歸納的科學，但長期以來高中數學學習中忽視合情推理的應用。演繹推理固然可以解決很多問題，但不借助數學“發(fā)現問題”這一優(yōu)勢。當前數學教學中僅僅將類比推理局限在數學解題的應用中，不重視思維能力的培養(yǎng)，導致多數同學自我認知意識弱，創(chuàng)新思維得不到開發(fā)。此外，課本中相應教學素材少，僅出現在選修部分的“推理與證明”一章。教師更多將精力放在“證明”的講解和應用上。長期忽視類比推理，缺乏研究意識，實際教學環(huán)節(jié)該部分能力培養(yǎng)脫節(jié)。

2.局限于解題研究，教學中體現不足

學生類比推理能力的培養(yǎng)局限在數學解題研究中，仍以題海訓練，疲于應付高考。為了提升解題能力，教學和學習中會采用分類講解的辦法，探究不同題目的相似性，便于學生通過典型題目的解題思路和方法，類比遷移至其他題目中，提升解題能力。但數學教學過程中，深層次的類比推理思想無法在教學中體現出來。

3.學生類比推理認知弱，整體水平不高

目前數學學習中，多數同學發(fā)現問題、提出問題、勇于創(chuàng)新和挑戰(zhàn)的意識還未養(yǎng)成。機械模仿教師方案、簡單套用教學內容的現象十分普遍。更多時候，學生只是知識的搬運工，無法通過類比推理的應用，透過數學概念、原理、模型等進行數學學習的深層次延伸。類比推理能力水平整體低下，對類比的屬性判斷不清，且無法進一步延伸到實際問題的應用中。對類比推理的概念理解不到位，只能做到詞句之間的表征結構對比，無法從內容本質上進行類比加工，對上升的高階關系等相似性無法理解應用。

二、數學類比推理能力發(fā)展的意義

類比推理的本質是對思維本質和結構的提升重塑。類比推理能力的提升可以促進思維水平的發(fā)展，開發(fā)思維創(chuàng)新能力。對高中生而言，類比推理是思維創(chuàng)新的起點，而數學學科的基礎性地位，使其思維能力開發(fā)、大腦訓練以及理性思維得到不同程度的訓練。

當前數學學習中的原理、定理、結論都是經過類比、歸納等探究過程的反復分析，才能得出實踐問題的解決方法和結論，并經過反復論證、猜想，在確立推翻過程中得到新結論。

高中階段大腦思維水平和能力處于上升時期，類比推理能力的提高可以促進思維靈敏度、創(chuàng)新性思維的發(fā)展。這一思維品質的提升可以促進同學們自主學習能力和學習興趣的提高。類比推理能力的培養(yǎng)是促進科學創(chuàng)新與探究發(fā)現的關鍵機制，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要法寶，更是執(zhí)行素質教育的有力武器。

三、高中數學解題的類比推理運用分析

1.幾何解析題目中巧借形式、概念以及方法相似性進行解題

例1：有正方形ABCD，M是邊BC上一點，E是邊CD的中點，AE平分∠DAM。①試證明AM=AD+MC；②AM=DE+BM，是否夠成立，若成立給出證明，不成立給出理由。③若四邊形ABCD是長寬不等的矩形，其他條件不變，則①②中結論是否依然成立，請做出判斷。四邊形如下圖所示。

對于①式的證明，兩個四邊形ABCD都可以通過做AE和BC的延長線，構造相似三角形，得證邊相等。并利用角平分線性質得出三角形“等角對等邊”。通過等邊轉換問題得證。②式同樣通過對四邊形做輔助線，創(chuàng)造邊角相等條件，并借助三角形形似、角平分線、四邊形性質以及邊角轉換等層層遞進尋找問題的答案。

例1利用類比方法，對正方形和矩形幾何題進行證明。通過將題目的求解任務進行層層分解，通過簡單問題的層層深入，理清思路，找到解題路徑，并將解題方法遷移至類似的情景中。通過相似問題的解決，在自主解題過程中具有帶入感，更容易找到解決途徑。

高中階段空間幾何學習和解題中，很多同學由于空間思維能力不到位，導致相關知識難以理解。做關于球的習題時，可以通過類比圓幫助學生進行球的體積、表面積以及內接圖形等相關概念性質的類比。通過圓和球由平面向立體的過渡，借助圓考慮球問題，豐富解題空間。

2.借助典型變式，加深不等式理解記憶

同樣，借助類比可以對不等式相關內容進行分析和講解。尤其不等式等新知識的講解中，要關注老師對解題方法和策略的滲透。主動培養(yǎng)逆向思維和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。巧借變式幫助把握不同知識點多樣化的考查方向。不等式內容的考試中最常見的問題就是求極值，而最值的求解條件應滿足“一正，二定，三相等?！?/p>

解析，由于例2已知條件滿足不等式求最值的基本條件，可直接進行求解當且僅當時取最小值，x=1.

上述①②③式是例2的變式，未滿足不等式求最值的三個基本條件。因此，想要運用不等式的求解需要進行變形然后求解。變式①中可做如下變形可得得 y≤-2，當且僅當時取最大值，即x=-1.而變式②限定x的取值范圍，不滿足“三相等”的求解條件。變式③可首先對求解目標做一定變形，并利用不等式性質求解。

重視變式在不等式求解中的應用，從多角度思考，重視變式練習，借助變式這一類比形式培養(yǎng)并激發(fā)發(fā)散性思維。

高中數學教學和解題訓練中，類比推理思想和策略的應用十分廣泛。在解題教學中運用多種方法，將類比推理思想貫穿在不同的知識模塊，潛移默化中幫助養(yǎng)成健康的思維品質，把握類比的實質，并貫穿在整個自主學習中，提升高中數學學習實效。