非線性包裝件加速度響應(yīng)首次穿越問題分析

朱大鵬

(蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，蘭州 730070)

包裝件在流通過程中通常要受到跌落沖擊、隨機(jī)振動(dòng)、堆碼壓力等外載荷的作用，分析包裝件在各種載荷作用下的響應(yīng)及損壞情況，是運(yùn)輸包裝領(lǐng)域中研究的一個(gè)重要問題。由于包裝件在跌落時(shí)，在短時(shí)間內(nèi)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了較大的改變，很容易造成損壞，因此，研究者圍繞著包裝件的跌落問題，開展了一系列的研究。Wang等[1-2]將包裝件建模為二自由度系統(tǒng)，研究了線性和非線性包裝件在沖擊激勵(lì)作用下的響應(yīng)，得到了跌落破損邊界曲線，分析了頻率比、阻尼、無量綱速度對(duì)邊界曲線的影響。王軍等[3-6]采用數(shù)值分析的方法研究了包裝系統(tǒng)在半正弦沖擊激勵(lì)作用下，產(chǎn)品中關(guān)鍵部件的響應(yīng)，提出了三維沖擊譜的概念，分析了各參數(shù)對(duì)產(chǎn)品易損部件響應(yīng)加速度峰值的影響規(guī)律。王軍等[7-8]對(duì)多層堆碼包裝系統(tǒng)建模，分析了該系統(tǒng)在半正弦沖擊激勵(lì)下的組合沖擊譜和組合破損邊界曲線，研究了各參數(shù)對(duì)沖擊譜和破損邊界的影響。文獻(xiàn)[9]通過實(shí)驗(yàn)獲得了單次跌落沖擊對(duì)產(chǎn)品的損壞程度之間的關(guān)系，用于預(yù)測(cè)產(chǎn)品在多次沖擊作用下的損壞，提高了產(chǎn)品受到連續(xù)沖擊受損程度的預(yù)測(cè)精度。Daum[10]考慮了產(chǎn)品關(guān)鍵部件塑性破壞模式，提出了構(gòu)建產(chǎn)品疲勞沖擊譜的方法。高德等[11-12]在構(gòu)建非線性包裝系統(tǒng)模型時(shí)，考慮了包裝件內(nèi)產(chǎn)品的轉(zhuǎn)動(dòng)，分析了包裝件在受到?jīng)_擊時(shí)的響應(yīng)。陳安軍[13]采用變分迭代理論分析了非線性包裝件的跌落響應(yīng)問題。

除了沖擊載荷外，包裝件在流通過程中，長時(shí)間受到隨機(jī)振動(dòng)的作用。在隨機(jī)振動(dòng)載荷作用下，包裝件的加速度響應(yīng)有可能超出產(chǎn)品的脆值引起產(chǎn)品的損壞，該問題即為包裝件加速度響應(yīng)的首次穿越問題。研究包裝件的首次穿越問題，對(duì)于優(yōu)化包裝設(shè)計(jì)、提高包裝件在流通中的可靠度具有重要意義。結(jié)構(gòu)的首次穿越問題是結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究問題，但在運(yùn)輸包裝領(lǐng)域，對(duì)該問題的研究還比較欠缺。目前研究結(jié)構(gòu)響應(yīng)首次穿越的主要方法包括：一階可靠性和二階可靠性法[14]、重要抽樣法[15]、響應(yīng)面法[16]、截尾等效線性化方法[17]等。這些方法都是圍繞著設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行分析的，因此設(shè)計(jì)點(diǎn)的準(zhǔn)確求解對(duì)于分析首次穿越是至關(guān)重要的。但對(duì)于非線性系統(tǒng)的加速度響應(yīng)首次穿越問題，由于系統(tǒng)響應(yīng)無法直接求解，故其極限狀態(tài)方程也無法直接表達(dá)，因此設(shè)計(jì)點(diǎn)無法用分析法求得。在文獻(xiàn)[18]中，采用了將非線性系統(tǒng)等效線性化的方法求解系統(tǒng)設(shè)計(jì)點(diǎn)。文獻(xiàn)[19]基于系統(tǒng)的鏡像激勵(lì)可以很方便的獲得非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)，但該方法僅限于位移響應(yīng)的首次穿越。本文結(jié)合模型修正因子法(Model Correction Factor Method，MCFM)[20-21]，建立了非線性包裝件隨機(jī)振動(dòng)加速度響應(yīng)首次穿越問題的設(shè)計(jì)點(diǎn)求解方法，采用一階可靠性方法分析包裝件的失效概率，分析結(jié)果與模擬結(jié)果的對(duì)比表明，本文提出的方法具有良好的準(zhǔn)確性。

1 包裝件加速度響應(yīng)的首次穿越

(1)

圖1 單自由度包裝件簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified single degree of freedom package model

(2)

如圖2所示，極限狀態(tài)方程把向量空間u分成兩部分，g>0時(shí)，包裝件安全，g≤0時(shí)，包裝件發(fā)生首次穿越損壞。通常方程g在空間u中等效為超曲面，把該曲面上距離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的點(diǎn)定義為設(shè)計(jì)點(diǎn)u*，即

(3)

式中：‖·‖為向量的模。應(yīng)用一階可靠性方法(First Order Reliability Method, FORM)分析首次穿越概率時(shí)，用一個(gè)通過設(shè)計(jì)點(diǎn)u*的切平面近似逼近極限狀態(tài)曲面，此時(shí)包裝件首次穿越損壞概率可用式(2)估算

(4)

式中：函數(shù)Ф[·]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)，β為坐標(biāo)原點(diǎn)到設(shè)計(jì)點(diǎn)的距離，稱為可靠度指標(biāo)

(5)

式中：α(Gc,t)為極限狀態(tài)曲面在設(shè)計(jì)點(diǎn)u*處反單位法向量，如圖2所示。

圖2 應(yīng)用FORM分析包裝件可靠度Fig 2. Vibration reliability analysis using FORM

假定圖1所示的單自由度包裝件模型為線性的，即彈性系數(shù)k和阻尼系數(shù)c均為常數(shù)，則有

(6)

式中：z=b-x，應(yīng)用杜哈梅爾積分，產(chǎn)品m的加速度響應(yīng)為

(7)

(8)

(9)

式中：向量a(t)=[a1(t),a2(t), ...,an(t)]T，且

(10)

由式(9)，線性包裝件在隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)條件下的極限狀態(tài)方程為

g(u,Gc,t)=Gc-a(t)·u=0

(11)

很顯然，該方程是一個(gè)關(guān)于隨機(jī)變量u的線性方程，由圖2所示，可得求解設(shè)計(jì)點(diǎn)的解析式

(12)

對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)為

(13)

由以上的分析可知，對(duì)于線性包裝件，其加速度響應(yīng)可以用解析式表示，對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)方程是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量的線性方程，因此設(shè)計(jì)點(diǎn)和可靠度指標(biāo)可用解析式表達(dá)。但對(duì)于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)加速度響應(yīng)無法直接求解，對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)方程也無法用解析式表示，因此，無法用傳統(tǒng)的方法求解設(shè)計(jì)點(diǎn)和可靠度指標(biāo)。為解決該問題，本文應(yīng)用模型修正因子法，構(gòu)建了非線性包裝件設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解方法。

2 模型修正因子法

模型修正因子法本質(zhì)上是一種響應(yīng)面法，其基本思路是在關(guān)鍵點(diǎn)(本文為設(shè)計(jì)點(diǎn))附近的區(qū)域處構(gòu)建一個(gè)理想化極限狀態(tài)曲面近似逼近真實(shí)的極限狀態(tài)曲面，合理定義修正因子，使理想化的曲面逐步逼近真實(shí)的曲面，經(jīng)過迭代逼近后，由于理想化曲面的基本特性與真實(shí)曲面基本特性幾乎相同，故可用理想化曲面替代真實(shí)曲面分析系統(tǒng)可靠度問題。由于求解線性系統(tǒng)振動(dòng)可靠度問題的簡(jiǎn)便性，我們通常在u空間中利用超平面近似逼近真實(shí)的極限狀態(tài)曲面。

(14)

(15)

定義修正因子ν(u)為

(16)

根據(jù)式(16)我們可定義修正理想化模型，其對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)方程為

(17)

將式(16)代入式(17)，易得

(18)

這表明，修正理想化模型和真實(shí)模型完全相同。將修正因子在設(shè)計(jì)點(diǎn)u*處進(jìn)行泰勒展開

(19)

3 理想化模型的構(gòu)建與優(yōu)化

(20)

圖3 應(yīng)用理想化線性模型識(shí)別系統(tǒng)設(shè)計(jì)點(diǎn)Fig.3 Design point identification using idealized linear model

β≤βi

(21)

θopt(Gc)=arg min{βi(θ)}

(22)

式中：βi(θ)為應(yīng)用模型修正因子法求得的參數(shù)為θ的線性化系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)。通過式(22)的最優(yōu)化，可求得參數(shù)為θopt最優(yōu)理想化線性模型，該模型對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)即為非線性系統(tǒng)的真實(shí)設(shè)計(jì)點(diǎn)u*。

4 算例分析

假定一單自由度非線性包裝系統(tǒng)，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)方程式為

(23)

(24)

式中：ceq≈c，keq>k，因此本文只需優(yōu)化計(jì)算一個(gè)參數(shù)keq，令keq的初始值為k，逐步增加k值，在每個(gè)不同的k的條件下應(yīng)用模型修正因子法計(jì)算βi，βi達(dá)到最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的k即為最優(yōu)的keq。keq的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 keq的優(yōu)化分析結(jié)果Fig.4 Optimization of keq

從圖中可以看出，本例中，最優(yōu)keq=為955 700 N/m，對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)β=2.659 9，參數(shù)ν*=1.064 3。在獲得非線性包裝件的等效線性系統(tǒng)后，可應(yīng)用式(20)構(gòu)建系統(tǒng)的極限狀態(tài)方程，根據(jù)該方程應(yīng)用一次可靠度法分析包裝件的加速度響應(yīng)的首次穿越損壞，其中，可靠度指標(biāo)β用式(13)求得，向量a(t)應(yīng)用式(10)求得，h(t)用式(8)求得，令s(t)=σ，首次穿越損壞概率應(yīng)用式(4)求得，分析所得的包裝件加速度響應(yīng)的首次穿越損壞概率結(jié)果如圖5所示。為驗(yàn)證本文構(gòu)建的方法的準(zhǔn)確性，圖中給出了原始蒙特卡洛模擬(N=107)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其中，支座隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)應(yīng)用諧波信號(hào)疊加的方法進(jìn)行模擬。從圖中可以看出，應(yīng)用本文構(gòu)建的模型修正因子法可以較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)非線性包裝件的加速度首次穿越概率。圖5中給出了應(yīng)用等效線性化方法分析的首次穿越損壞概率曲線。結(jié)果表明，本文采用的模型修正因子法分析非線性包裝件的加速度首次穿越損壞概率較為準(zhǔn)確，而應(yīng)用等效線性化方法分析首次穿越損壞概率存在著一定的誤差。對(duì)非線性包裝件應(yīng)用等效線性化方法分析首次穿越損壞概率出現(xiàn)誤差的主要原因在于，非線性系統(tǒng)受到白噪聲激勵(lì)時(shí)，其加速度響應(yīng)呈非高斯分布，而等效線性系統(tǒng)的響應(yīng)無法反映這一特征。等效線性化方法的誤差大小取決于系統(tǒng)非線性程度的大小，該方法的誤差分析在文獻(xiàn)[23-24]中有詳細(xì)論述。

圖5 非線性包裝件加速度響應(yīng)首次穿越損壞概率Fig. 5 Acceleration response first passage failure probability of nonlinear package

5 結(jié) 論

本文研究單自由度非線性包裝件在高斯白噪聲隨機(jī)支座激勵(lì)條件下的加速度首次穿越問題。首先將支座激勵(lì)白噪聲在正態(tài)隨機(jī)空間中離散化表達(dá)，構(gòu)建了非線性包裝件設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解方法?？紤]到線性系統(tǒng)首次穿越問題的簡(jiǎn)便性，應(yīng)用模型修正因子法構(gòu)建了非線性系統(tǒng)的等效線性化系統(tǒng)的求解方法，針對(duì)方法中的一系列線性化極限狀態(tài)超平面不一定能在設(shè)計(jì)點(diǎn)與真實(shí)極限狀態(tài)曲面相切的問題，提出了采用最優(yōu)化方法分析了設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解方法。本文應(yīng)用了單自由度三次非線性包裝件實(shí)例驗(yàn)證了本文提出的分析方法的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，本文提出的方法可較好地預(yù)測(cè)包裝件的加速度首次穿越損壞概率。

分析包裝件在隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)條件下的首次穿越損壞概率對(duì)于優(yōu)化包裝件的設(shè)計(jì)、減少包裝件在流通過程中的損失等具有重要意義，本文僅考慮了包裝件的非線性，今后該領(lǐng)域的研究可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行深化：

(1)包裝件模型中應(yīng)考慮易損件，即包裝件應(yīng)構(gòu)建為雙自由度模型。

(2)應(yīng)考慮包裝件流通過程中隨機(jī)振動(dòng)的功率譜密度曲(Power Spectrum Density,PSD)線的具體特征，確保模擬的隨機(jī)激勵(lì)與真實(shí)流通環(huán)境相符。