流線型箱梁斷面的非線性顫振幅值特性研究

朱進(jìn)波， 鄭史雄， 唐 煜， 郭俊峰

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院 橋梁工程系，成都 610031；2.西南石油大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，成都 610500)

橋梁顫振是一種自激發(fā)散振動(dòng)，該振動(dòng)現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致橋梁整體毀滅性的破壞。當(dāng)前的顫振理論體系[1]已基本可以準(zhǔn)確預(yù)測橋梁的顫振臨界風(fēng)速。該風(fēng)速預(yù)測方法是建立在結(jié)構(gòu)微幅振動(dòng)的線性顫振理論框架[2-3]下，即橋梁顫振導(dǎo)數(shù)與斷面振幅無關(guān)，求得的顫振臨界風(fēng)速具有明確的數(shù)值意義。在該風(fēng)速后橋梁將直接作發(fā)散運(yùn)動(dòng)，在該體系之下并沒有研究顫振后狀態(tài)。

近年來隨著材料科學(xué)、結(jié)構(gòu)分析技術(shù)及施工方法的進(jìn)步，橋梁結(jié)構(gòu)逐步向大跨、輕柔化發(fā)展，懸索橋逐漸成為大跨度橋型的首選。而橋梁跨度的增長使得橋梁剛度和阻尼急劇下降，橋梁結(jié)構(gòu)對風(fēng)的敏感性增加，想要滿足顫振設(shè)防規(guī)定需要大幅增加建橋成本，可以預(yù)見風(fēng)對大跨度橋梁結(jié)構(gòu)[4-6]的作用將逐漸成為提高橋梁跨徑的主要制約因素之一。

基于風(fēng)洞試驗(yàn)研究，Scanlan等將顫振導(dǎo)數(shù)表示的非定常氣動(dòng)自激力引入振動(dòng)平衡方程中，摒棄了流固耦合的直接求解，建立了經(jīng)典的顫振框架模型，采用半逆解法進(jìn)行顫振求解。Wilde等[7-8]采用二自由度的狀態(tài)空間復(fù)模態(tài)特征值求解方法(Complex Eigenvalue Analysis, CEVA)，其基本思想是將二維顫振問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈴?fù)特征值問題，以某階模態(tài)下的阻尼比為零時(shí)，作為系統(tǒng)發(fā)散的依據(jù)，對應(yīng)的風(fēng)速為顫振臨界風(fēng)速?；谠摽蚣芟碌慕饩哂忻鞔_的數(shù)學(xué)意義，當(dāng)風(fēng)速超過這一臨界點(diǎn)橋梁斷面的振幅將指數(shù)級(jí)增加而出現(xiàn)發(fā)散，可實(shí)際現(xiàn)象中卻并非如此。朱樂東等[9]在風(fēng)洞試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，一些鈍體斷面顫振發(fā)生后并不會(huì)出現(xiàn)如線性理論預(yù)測的那樣，振幅按指數(shù)級(jí)迅速增長，而是由于自激力的非線性效應(yīng)穩(wěn)定在一定幅值狀態(tài)。學(xué)者們開始關(guān)注橋梁進(jìn)入顫振后的真實(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，顫振研究逐步走向精細(xì)化。

想要弄清橋梁顫振后的特征并非易事，徐旭等[10]建立一個(gè)關(guān)于純扭轉(zhuǎn)顫振的非線性氣動(dòng)力模型，研究橋梁顫振的非線性穩(wěn)定性問題；張朝貴[11]引入范德波爾方程來試圖解釋軟顫振現(xiàn)象；王騎等[12-13]將橋梁顫振形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫杂啥扰まD(zhuǎn)方程，分別描述了極限環(huán)與軟顫振現(xiàn)象，反映了阻尼比與氣動(dòng)力的非線性特性。盡管許多學(xué)者做了大量的研究工作，鑒于非線性問題的復(fù)雜性，對橋梁顫振后的特征狀態(tài)依然沒有定論。目前對于非線性自激力的探索主要集中在氣動(dòng)力隨振幅的非線性變化規(guī)律與氣動(dòng)本身的高次諧波特性兩個(gè)方面。

對于橋梁顫振后的振動(dòng)狀態(tài)，最為關(guān)心的便是橋梁振動(dòng)幅值與風(fēng)速的關(guān)系。張彥等[14-15]分別從數(shù)值模擬和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)方面對不同振幅下橋梁斷面自激力進(jìn)行研究。唐煜[16]基于傳統(tǒng)顫振耦合理論，發(fā)展出非線性二維兩自由度耦合顫振分析方法。

本文基于氣動(dòng)自激力隨振幅響應(yīng)變化這一思想，依托顫振理論框架和求解思路，提出更加規(guī)范、精細(xì)的考慮顫振幅值因素的二自由度復(fù)模態(tài)特征值求解方法?；诖朔椒?，提出非線性顫振幅值響應(yīng)搜索程序，一定程度上揭示了橋梁顫振后的特征狀態(tài)。

1 流線型箱梁斷面的顫振研究方法

隨著大跨度橋梁不斷的投入建設(shè)，為滿足其氣動(dòng)穩(wěn)定性需求，流線型箱梁斷面型式逐漸成為大跨懸索橋主梁斷面型式的首選。目前主要采用直接風(fēng)洞試驗(yàn)法和基于風(fēng)洞試驗(yàn)識(shí)別參數(shù)的理論分析法來檢測橋梁的顫振穩(wěn)定性能。如今伴隨著流體力學(xué)與計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展，數(shù)值風(fēng)洞識(shí)別氣動(dòng)參數(shù)的方法逐漸被接受與認(rèn)可，其純理論的計(jì)算方法有望代替物理風(fēng)洞試驗(yàn)方法。該方法可分為三個(gè)部分，即自激氣動(dòng)力模型、顫振導(dǎo)數(shù)數(shù)值識(shí)別和二維耦合顫振分析方法，全部過程都是數(shù)值計(jì)算。

選取Scanlan等的經(jīng)典顫振理論框架作為自激氣動(dòng)模型

(1)

(2)

基于此方法，本文以某大跨度懸索橋?yàn)檠芯繉ο?，研究其顫振幅值特性，該橋梁結(jié)構(gòu)基本參數(shù)如表1，流線型箱梁斷面尺寸如圖1所示。

圖1 主梁斷面圖Fig.1 Section diagram of the main beam

表1 橋梁結(jié)構(gòu)基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the bridge structure

2 氣動(dòng)參數(shù)識(shí)別

基于Fluent軟件，建立二維數(shù)值風(fēng)洞模型，通過著名的N-S方程實(shí)現(xiàn)對流體時(shí)間域和空間域的控制，采用SSTk-ω湍流模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬。應(yīng)用強(qiáng)迫振動(dòng)法[17]精確控制橋梁斷面運(yùn)動(dòng)，采用具備非線性彈簧效果的多變形子區(qū)域動(dòng)網(wǎng)格方法更新網(wǎng)格。

2.1 自激氣動(dòng)力分析

橋梁斷面按縮尺比1∶40建模，豎向振動(dòng)幅值選取區(qū)域?yàn)?.001B～0.14B(B=0.867 5 m)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值選取區(qū)域?yàn)?.1°～30°。選定一振動(dòng)幅值，分別對斷面賦予單頻單一自由度強(qiáng)迫振動(dòng)，每個(gè)振幅下的折算風(fēng)速選取區(qū)間為2～10，來流風(fēng)速取為20 m/s，計(jì)算出相應(yīng)的自激氣動(dòng)力，具體的工況設(shè)置如表2所示。

表2 工況設(shè)置Tab.2 Operation setting

通過對各折算風(fēng)速狀態(tài)下的自激氣動(dòng)力進(jìn)行頻譜分析，可以研究氣動(dòng)力隨幅值變化的氣動(dòng)規(guī)律。由于算例橋主梁的顫振臨界風(fēng)速約為66.3 m/s，振動(dòng)頻率約為0.285 Hz，相應(yīng)的折算風(fēng)速約為6.7左右，限于篇幅，本文以折算風(fēng)速為6的狀態(tài)為例，分析其氣動(dòng)頻譜特性。

首先列出流線型箱梁斷面0°攻角時(shí)在單頻豎向振動(dòng)下的部分氣動(dòng)力頻譜分析圖(去除靜力分量)。

由圖2和圖3可以看出，當(dāng)箱梁斷面做單頻單一豎向振動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的自激力頻譜中除了包含與振動(dòng)頻率同頻的基頻分量外，還會(huì)有些許頻率是斷面振動(dòng)頻率整數(shù)倍的高次諧波分量。在氣動(dòng)力成分占比中，基頻諧波成分明顯，盡管隨著振幅增大高次諧波占比從無到有，但是與基頻成分相比很小，幾乎可以忽略。

圖2 單頻豎向不同幅值振動(dòng)下的氣動(dòng)升力頻譜圖Fig.2 Aerodynamic lift spectrum under different vertical amplitude vibrations of the single frequency

圖3 單頻豎向不同幅值振動(dòng)下的氣動(dòng)扭矩頻譜圖Fig.3 Aerodynamic torsional spectrum under different vertical amplitude vibrations of the single frequency

接著列出流線型箱梁斷面0°攻角時(shí)在單頻扭轉(zhuǎn)振動(dòng)下的部分氣動(dòng)力頻譜分析圖。從圖4中可以看出，與單頻單一豎向振動(dòng)相同，單頻單一扭轉(zhuǎn)振動(dòng)下也會(huì)產(chǎn)生以基頻為主、整數(shù)倍頻摻雜的多頻氣動(dòng)力。當(dāng)振幅增大時(shí)，二次倍頻占比開始明顯，三次倍頻諧波及更高次諧波占比可以忽略。隨著幅值再次增大，更高次波成分逐漸顯露。

圖4 單頻扭轉(zhuǎn)不同幅值振動(dòng)下的氣動(dòng)升力頻譜圖Fig.4 Aerodynamic lift spectrum under different torsional amplitude vibrations of the single frequency

為分析高次諧波的成分，調(diào)整豎向坐標(biāo)為對數(shù)坐標(biāo)，給出升力幅值頻譜圖。如圖5所示當(dāng)振幅從2°-5°-18°時(shí)，三次諧波分量愈發(fā)明顯，其占比逐漸超越了二次諧波，三次諧波的重要性在大振幅振動(dòng)中顯現(xiàn)出來。這與王騎的試驗(yàn)結(jié)果是吻合的。對于產(chǎn)生的升力或者力矩，隨振幅的變化規(guī)律是同步的。

圖5 單頻扭轉(zhuǎn)不同幅值振動(dòng)下的氣動(dòng)升力頻譜圖(對數(shù)坐標(biāo))Fig.5 Aerodynamic lift spectrum under different torsional amplitude vibrations of the single frequency

綜上分析，在單頻單自由度振動(dòng)時(shí)，箱梁斷面會(huì)產(chǎn)生非線性氣動(dòng)力。隨著振幅的增大，倍頻氣動(dòng)力占比逐漸增大，其復(fù)雜的特性規(guī)律難以捕捉。同樣，氣動(dòng)力隨幅值的變化規(guī)律再也不能用“線性關(guān)系”簡單描述， 相應(yīng)的通過氣動(dòng)力識(shí)別的顫振導(dǎo)數(shù)則不再隨振幅微幅變動(dòng)。

2.2 非線性顫振導(dǎo)數(shù)

用最小二乘擬合[18]識(shí)別出隨折算風(fēng)速與振幅變化的非線性顫振導(dǎo)數(shù)，通過插值得到的三維曲面圖，見圖6。

圖6 顫振導(dǎo)數(shù)曲面Fig.6 Flutter derivative surface

那么當(dāng)實(shí)際風(fēng)速跨過傳統(tǒng)線性理論預(yù)測的顫振發(fā)散風(fēng)速時(shí)，振動(dòng)幅值指數(shù)倍增大，因斷面的氣動(dòng)參數(shù)的非線性變化，橋梁斷面的系統(tǒng)振動(dòng)阻尼可能由負(fù)轉(zhuǎn)正，振動(dòng)又趨于平穩(wěn)。

3 復(fù)模態(tài)特征值求解方法

為了簡化公式的形式且更直觀地說明，將自激力進(jìn)行符號(hào)表示簡化

式中，Hi，Ai(i=1,2,3,4)是有量綱的顫振導(dǎo)數(shù)，它們是因子與顫振導(dǎo)數(shù)合并的結(jié)果，同樣其也僅和折算風(fēng)速與振幅有關(guān)。代入式(1)和式(2)中

(3)

用矩陣記號(hào)，將式(3)改為

(4)

(5)

那么就轉(zhuǎn)變成著名的狀態(tài)方程，向量(x,y,h,α)T稱為狀態(tài)向量，因?yàn)樗芪ㄒ淮_定二自由度的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。式中每個(gè)子矩陣都是2×2矩陣，0表示零矩陣。

因?yàn)轭澱衽R界狀態(tài)時(shí)結(jié)構(gòu)處于等頻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此可以設(shè)

(6)

式中，ω應(yīng)為實(shí)數(shù)。將式(6)代入式(5)得

(7)

注意對任意的eiωt，式(7)都是滿足的，于是應(yīng)有

(8)

為了使式(8)有非零解，那么其系數(shù)行列式必須等于零。式(8)的系數(shù)行列式是一個(gè)關(guān)于ω的四階方程，稱為特征方程。該方程中有兩個(gè)未知數(shù)ω與U，如果不考慮顫振振幅因素的影響，不妨代入一組微振幅下的顫振導(dǎo)數(shù)，通過將試探的風(fēng)速值代入系數(shù)矩陣中，并調(diào)用復(fù)系數(shù)矩陣特征值算法，得到ω的四個(gè)根，一旦某一個(gè)根是實(shí)數(shù)，那么此ω為顫振臨界狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率，對應(yīng)的風(fēng)速為臨界風(fēng)速，如上所述，求解此特征方程的方法是一個(gè)逐步搜索的過程。

則系統(tǒng)在顫振臨界狀態(tài)之前的任意狀態(tài)、任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(9)

當(dāng)系統(tǒng)以某階復(fù)頻率做主振動(dòng)時(shí)(r=1 or 2)，振動(dòng)系統(tǒng)的周期表達(dá)式為

(10)

根據(jù)歐拉公式變換為

(11)

豎向與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相位角

(12)

豎向與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值比為

(13)

此處絕對值為模的概念。

值得注意的是，選取任意一組微幅振動(dòng)下的顫振導(dǎo)數(shù)代入計(jì)算后，在達(dá)到了顫振臨界狀態(tài)時(shí)，會(huì)得到式(13)中幅值比一值。由于考慮了顫振振幅響應(yīng)因素，應(yīng)滿足代入的顫振導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的幅值比與臨界狀態(tài)的幅值比相同。故之前代入的一組顫振導(dǎo)數(shù)只能稱作是一種試探，因此不斷調(diào)整試探振幅使得其滿足上一結(jié)果的幅值比，如此往復(fù)，直到代入的顫振導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的幅值比與求解的幅值比相同為止，即為顫振的最終狀態(tài)。上述方法稱為考慮顫振振幅因素的二自由度復(fù)模態(tài)特征值求解方法。其求解流程圖如圖7所示。

圖7 改進(jìn)的復(fù)模態(tài)特征值求解方法流程圖Fig.7 Improved flow chart of complex modal eigenvalue solution method

需要說明的是，由于無法預(yù)知顫振時(shí)起振的具體幅值，故而依舊只能選取微幅概念中的某一幅值，保持某一自由度振幅不變，不斷改變另一振幅來滿足彎扭幅值比的要求。本文研究對象為流線型箱梁斷面，并且其扭彎頻率比為2.13，很有可能發(fā)生顫振時(shí)為扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)機(jī)制。為研究方便，故而將扭轉(zhuǎn)振幅作為不變量。需要強(qiáng)調(diào)的是，對于求得的最終狀態(tài)對應(yīng)的振幅，無論假設(shè)豎向或扭轉(zhuǎn)幅值為不變量，選取另一變量的任意振幅值作為初始試探值，最終狀態(tài)的結(jié)果都是趨于一致的，即初值的改變只會(huì)影響搜索路徑。

4 顫振后狀態(tài)探索研究

4.1 顫振臨界風(fēng)速求解

假設(shè)顫振時(shí)扭轉(zhuǎn)振幅為0.1°，結(jié)合上述求得的顫振導(dǎo)數(shù)曲面圖，基于考慮顫振振幅因素的二自由度復(fù)模態(tài)特征值求解方法，得到顫振臨界風(fēng)速為66.34 m/s。為了使本文的方法更具有說服力，選用斷面結(jié)構(gòu)類似的南京四橋主梁斷面進(jìn)行驗(yàn)證。將唐煜研究中運(yùn)用同種方法求得的三維顫振導(dǎo)數(shù)代入計(jì)算，得到扭轉(zhuǎn)角1°微幅振動(dòng)下的顫振臨界風(fēng)速為70.4 m/s，這與文獻(xiàn)[19]中用直接風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)法測得的風(fēng)速70.8 m/s十分接近，除了反映顫振導(dǎo)數(shù)計(jì)算的合理性、基于風(fēng)洞試驗(yàn)識(shí)別參數(shù)的理論分析法適用性外，也充分說明了考慮顫振振幅因素的二自由度復(fù)模態(tài)特征值求解方法是準(zhǔn)確的。

4.2 顫振后的振動(dòng)狀態(tài)可能性假設(shè)

一旦來流風(fēng)速超過臨界風(fēng)速，系統(tǒng)的氣動(dòng)扭轉(zhuǎn)阻尼為負(fù)，橋梁斷面作發(fā)散運(yùn)動(dòng)，振幅隨之增大，相應(yīng)的氣動(dòng)自激力的高階成分逐漸顯現(xiàn)，氣動(dòng)參數(shù)的非線性特性愈發(fā)顯著。橋梁斷面周圍的氣動(dòng)環(huán)境隨著振幅變化而改變，那么就極有可能出現(xiàn)再次穩(wěn)定的現(xiàn)象。如風(fēng)洞試驗(yàn)中的軟顫振現(xiàn)象，就可以從某方面說明氣動(dòng)參數(shù)隨振幅的變化導(dǎo)致起振后斷面仍然陷入環(huán)振蕩現(xiàn)象。

合理的氣動(dòng)力與振動(dòng)方程搭接方法、合適的氣動(dòng)參數(shù)識(shí)別方法都使得建立非線性顫振框架模型困難重重。為了在現(xiàn)有的顫振框架下進(jìn)行顫振后狀態(tài)的有益探索，故而結(jié)合塔克馬橋風(fēng)毀工程實(shí)際事件、軟硬顫振風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，假設(shè)橋梁顫振的最終形態(tài)都為同一頻率的簡諧扭轉(zhuǎn)和簡諧豎向的耦合運(yùn)動(dòng)。那么在該假設(shè)下，對顫振后橋梁斷面振動(dòng)形態(tài)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)想：當(dāng)風(fēng)速達(dá)到顫振臨界風(fēng)速時(shí)，橋梁斷面作簡諧平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)；一旦越過臨界風(fēng)速，系統(tǒng)阻尼由零轉(zhuǎn)負(fù)，橋梁斷面做發(fā)散運(yùn)動(dòng)；隨著振動(dòng)幅值增大，橋梁斷面氣動(dòng)環(huán)境發(fā)生改變，在某一振動(dòng)幅值下，系統(tǒng)阻尼由負(fù)轉(zhuǎn)正之際，橋梁振動(dòng)形態(tài)又趨于穩(wěn)定；當(dāng)風(fēng)速繼續(xù)增長到某一值，系統(tǒng)阻尼由正轉(zhuǎn)負(fù)，在上一穩(wěn)定振幅下又會(huì)出現(xiàn)簡諧振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)；再次越過上一穩(wěn)定風(fēng)速，斷面又將做發(fā)散運(yùn)動(dòng)；當(dāng)斷面幅值不斷增長，系統(tǒng)阻尼再也不能由正轉(zhuǎn)負(fù)時(shí)，橋梁斷面也就一直發(fā)散振動(dòng)直至破壞。

盡管上述假設(shè)將顫振發(fā)生過程中的非線性行為描述弱化為簡諧環(huán)振動(dòng)現(xiàn)象，但是簡諧環(huán)振動(dòng)假設(shè)可以幫助我們認(rèn)知非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)的一些規(guī)律，挖掘出主要相關(guān)的氣動(dòng)因素。

4.3 顫振幅值響應(yīng)特性分析

根據(jù)上述設(shè)想，研究顫振后的振動(dòng)狀態(tài)，基于考慮顫振幅值因素的二自由度復(fù)模態(tài)特征值求解方法，給出非線性顫振幅值響應(yīng)搜索程序流程圖，如圖8所示。

圖8 非線性顫振幅值響應(yīng)搜索程序流程圖Fig.8 Flow chart of the search program for nonlinear flutter amplitude response

在顫振幅值響應(yīng)風(fēng)速搜索過程中分為整體風(fēng)速與內(nèi)部風(fēng)速，設(shè)置內(nèi)部風(fēng)速的目的是便于程序整體編譯，整個(gè)內(nèi)部風(fēng)速搜索可以視為一個(gè)子程序，整個(gè)風(fēng)速搜索過程需遵循以下步驟：

步驟1設(shè)定基本參量如初始風(fēng)速、初始頻率、起振微小扭轉(zhuǎn)與豎向振幅和最大限定扭轉(zhuǎn)角等，選定整體風(fēng)速初始值；

步驟2進(jìn)入內(nèi)部風(fēng)速搜索，微幅等距增長風(fēng)速值，迭代計(jì)算指定振幅下的系統(tǒng)頻率和阻尼，每階風(fēng)速后都需判定該階下的系統(tǒng)阻尼，若系統(tǒng)阻尼由正轉(zhuǎn)負(fù)且彎扭比合適，則停止內(nèi)部風(fēng)速搜索，每一個(gè)完整的子程序搜索過程的最終風(fēng)速作為本次的內(nèi)部風(fēng)速值，記錄相應(yīng)參數(shù)值；

步驟3轉(zhuǎn)入整體風(fēng)速搜索，若內(nèi)部風(fēng)速搜索值小于或等于整體風(fēng)速值，則認(rèn)為顫振發(fā)生，并記錄當(dāng)前風(fēng)速，否則增長整體風(fēng)速，轉(zhuǎn)入步驟2，若整體風(fēng)速達(dá)到限定最大風(fēng)速值則停止搜索；

步驟4一旦顫振發(fā)生，保持整體搜索風(fēng)速不變，由于此時(shí)的系統(tǒng)阻尼為負(fù)，斷面作發(fā)散振動(dòng)，等距微幅增長扭轉(zhuǎn)角，并結(jié)合上一扭轉(zhuǎn)角于顫振時(shí)的彎扭比計(jì)算出當(dāng)下的豎向振幅試探值，轉(zhuǎn)入內(nèi)部搜索子程序中，記錄相關(guān)參數(shù)，轉(zhuǎn)入整體風(fēng)速搜索，若扭轉(zhuǎn)角大于限定的扭轉(zhuǎn)角上限值則停止搜索；

步驟5當(dāng)內(nèi)部風(fēng)速搜索值小于或等于整體風(fēng)速值時(shí)，則繼續(xù)增大振幅轉(zhuǎn)入步驟4計(jì)算；

步驟6當(dāng)內(nèi)部風(fēng)速搜索值大于整體風(fēng)速值時(shí)，記錄此時(shí)的振幅參數(shù)，保持振幅不變，增長整體風(fēng)速，進(jìn)入內(nèi)部搜索程序，當(dāng)整體風(fēng)速不小于內(nèi)部風(fēng)速時(shí)，轉(zhuǎn)步驟3。

需要注意的是，對一個(gè)參數(shù)的計(jì)算和迭代求解都是在指定的振幅條件下進(jìn)行的。本文中增加了彎扭幅值比的概念，為了便于程序的整體編譯，設(shè)置了內(nèi)部風(fēng)速搜索。內(nèi)部風(fēng)速僅具有比較作用，當(dāng)內(nèi)部風(fēng)速大于整體風(fēng)速時(shí)，其意義為在當(dāng)前整體風(fēng)速下，橋梁斷面于指定幅值條件振動(dòng)下系統(tǒng)阻尼為正；當(dāng)內(nèi)部風(fēng)速小于整體風(fēng)速時(shí)，橋梁斷面的系統(tǒng)阻尼為負(fù)。故而運(yùn)行上述程序進(jìn)行求解，結(jié)果如圖9所示，其前段以紅色圈標(biāo)注的細(xì)部圖如圖10所示。

圖9 顫振振幅響應(yīng)總體圖Fig.9 Whole graph of flutter amplitude response

從圖10中可以看出，設(shè)定的起振扭轉(zhuǎn)角為0.1°，當(dāng)越過顫振臨界風(fēng)速66.34 m/s后，橋梁斷面的振幅響應(yīng)并不是直接發(fā)散的，而是隨著風(fēng)速的增長爬坡式的增大，扭轉(zhuǎn)角從0.1°，-0.6°，-0.9°，-1.5°，-1.8°，-2.1°，-2.4°，-2.7°緩緩增大。當(dāng)越過風(fēng)速66.42 m/s時(shí)，橋梁斷面振幅響應(yīng)出現(xiàn)了階躍性變化，扭轉(zhuǎn)角從2.7°陡增到19.6°，兩個(gè)極限穩(wěn)態(tài)間的風(fēng)速間隔約0.1 m/s，一旦越過風(fēng)速66.49 m/s，如圖9所示，顫振振幅響應(yīng)又陷入了爬坡式的增長，直到風(fēng)速越過75.61 m/s后，隨著振幅的增長，斷面再也達(dá)不到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖10 顫振振幅響應(yīng)局部圖Fig.10 Local graph of flutter amplitude response

圖11 顫振響應(yīng)彎扭幅值比Fig.11 Crankle amplitude ratio of flutter response

圖12 顫振響應(yīng)相位角Fig.12 Phase angle of flutter response

該橋型斷面與大多流線型斷面類似，都是以扭轉(zhuǎn)形態(tài)為主的顫振機(jī)制，在顫振振幅響應(yīng)搜索中，如圖11、圖12所示，起始的彎扭振幅比幾乎區(qū)別不大，當(dāng)越過風(fēng)速66.49 m/s時(shí)，彎扭比陡增至14.2，之后相位角呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的幅度比例增大，扭轉(zhuǎn)與豎向運(yùn)動(dòng)的相位角不斷縮小，橋梁斷面的運(yùn)動(dòng)形態(tài)逐漸向單一自由度逼近。

5 結(jié) 論

本文基于風(fēng)洞試驗(yàn)識(shí)別參數(shù)的理論分析法，計(jì)算了流線型斷面的三維顫振導(dǎo)數(shù)曲面、改進(jìn)了傳統(tǒng)的復(fù)模態(tài)特征值求解流程和建立了非線性顫振振幅響應(yīng)搜索程序。

(1)通過控制振動(dòng)幅值識(shí)別出不同振幅下的氣動(dòng)力，單頻單自由度振動(dòng)下橋梁斷面氣動(dòng)力會(huì)有非線性成分，隨著幅值增大，非線性成份比重?cái)U(kuò)大，單頻單一扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下尤其明顯。值得注意的是在扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下，當(dāng)振幅達(dá)到某一值時(shí)，三次諧波力占比超越了二次諧波力。

(2)通過最小二乘擬合識(shí)別出隨振幅與折算風(fēng)速變化的顫振導(dǎo)數(shù)，并通過插值繪制成三維曲面。對于流線型箱梁斷面而言，顫振導(dǎo)數(shù)H1,H4,A1,A4變化不大，而A2,H3則變化顯著，一定程度上反映了氣動(dòng)力隨振幅改變的非線性性質(zhì)。

(3)發(fā)展傳統(tǒng)的顫振理論，引入彎扭幅值比概念，擴(kuò)展出考慮顫振振幅因素的二自由度復(fù)模態(tài)特征值求解方法，并通過實(shí)橋算例證明了該方法的準(zhǔn)確性與適用性。

(4)編譯非線性顫振振幅響應(yīng)搜索程序，給出了微幅顫振后的狀態(tài)。流線型箱梁發(fā)生顫振后，振幅會(huì)出現(xiàn)階躍性增長，達(dá)到某一大幅值后，又基本處于振幅緩增的振動(dòng)狀態(tài)。

本文從顫振響應(yīng)振幅入手，試圖揭示顫振后的非線性動(dòng)力學(xué)行為，對顫振后狀態(tài)進(jìn)行了嘗試性的描述與分析。