電容式電磁驅(qū)動器非線性系統(tǒng)主共振分析

楊志安， 馮 浩

(1. 唐山學(xué)院和唐山市結(jié)構(gòu)與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000；2. 華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

電磁驅(qū)動器是一種重要的執(zhí)行器，相比于傳統(tǒng)驅(qū)動器，具有噪聲小、精度高、長壽命等優(yōu)點。已經(jīng)越來越廣泛的應(yīng)用到各個領(lǐng)域，如磁懸浮列車[1]、電磁驅(qū)動泵[2]、航母電磁彈射[3]，電磁激振器[4]、電磁傳感器[5]等。然而，電磁驅(qū)動器工作過程中的振動，尤其是非線性振動，嚴重影響其性能，為了改善振動影響，對其進行深入理論研究就顯得非常重要。

文獻[6]利用數(shù)值方法研究了考慮軌道非線性的多車體磁懸浮列車系統(tǒng)的動力學(xué)行為，給出了軌道對三車體磁懸浮列車系統(tǒng)與對單車體系統(tǒng)的動力響應(yīng)。文獻[7]以環(huán)形極板為研究對象，應(yīng)用多尺度法分析了該強非線性系統(tǒng)的主共振問題。文獻[8]應(yīng)用多尺度法得到了其模型在有界窄帶隨機激勵下的一次近似解，導(dǎo)出系統(tǒng)的Ito隨機微分方程，并分析揚聲器靜圈系統(tǒng)參數(shù)對主共振響應(yīng)曲線和均方值的影響。

在眾多的驅(qū)動器研究中，學(xué)者們集中研究的電磁驅(qū)動器系統(tǒng)的移動形式多為非線性移動。然而對于直線運動形式的研究卻非常少。由于直線運動行程便于測量與控制，本文改進設(shè)計一種新型電容式電磁驅(qū)動器，該驅(qū)動器是驅(qū)動電容兩極板之間介質(zhì)板: 通過改變激勵電壓值，使介質(zhì)板在兩極板之間做直線運動。之后研究簡諧激勵下的電磁驅(qū)動器的非線性振動系統(tǒng)，根據(jù)拉格朗日麥克斯韋方程，建立非線性動力學(xué)模型，采用多尺度法對系統(tǒng)的主共振進行求解，并應(yīng)用數(shù)值法驗證分析系統(tǒng)各參數(shù)對振幅和共振區(qū)域的影響。

1 電容式電磁驅(qū)動器非線性動力學(xué)方程

電磁驅(qū)動器原理是將電能轉(zhuǎn)換成機械能，是典型的機電耦合系統(tǒng)，可以將其簡化成如圖1所示的模型。

圖1 電磁驅(qū)動器簡圖Fig.1 Electromagnetic drive diagram

通過改變激勵電壓，電容極板電壓改變，通過極板上的靜電驅(qū)動介質(zhì)板直線運動。以電容介質(zhì)板某一平衡位置為原點，選擇介質(zhì)板位移x和電量q為廣義坐標。

1.1 作用于平行板電容器中介質(zhì)板上的水平電磁力Fx[9]

(1)

(2)

圖2 電磁力Fx模型Fig.2 Fx model of electromagnetic force

則施加于薄層的總電場力為

(3)

1.2 計算平行板電容器的電容C

變介質(zhì)電容器模型如圖3所示，L0，b0分別為極板的長度和寬度；d0為介質(zhì)板的厚度；x為介質(zhì)板運動的位移。當極板中介質(zhì)為空氣時電容為

(4)

式中:ε0，εr1分別為真空和空氣的介電常數(shù)。

圖3表示2個電容器的并聯(lián)，總電容為

(5)

圖3 變介質(zhì)電容器模型Fig.3 Variable dielectric capacitor model

1.3 非線性振動方程建立

計算系統(tǒng)動能T、勢能V、電場能We， 引入系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)L

(6)

損耗函數(shù)為

(7)

非保守廣義力

(8)

根據(jù)拉格朗日麥克斯韋方程[10]建立其非線性動力學(xué)方程

(9)

式中:m，d0分別為介質(zhì)質(zhì)量、厚度；k，k1分別為彈簧的線性和非線性剛度；L0，b0分別為電容極板的長寬；S為電容橫截面積；E為激勵電壓。

由式(9)第一式可知，該式是關(guān)于電量q和位移x的機電耦合方程，第二式也是關(guān)于電量q和位移x的機電耦合方程，兩個式子之間又通過電量q相耦合，將第一式中的q代入第二式中可得系統(tǒng)的振動方程。

2 簡諧激勵主共振分析

聯(lián)立式(9)中的兩式，將式(9)中第一式(q=EC)代入第二式，化簡得

(10)

其中，

式(10)形式上是杜芬方程，實際它是機電耦合的，其激勵與外加電壓、電容器的幾何尺寸和介質(zhì)板的特性有關(guān)，以下分析系統(tǒng)的主共振。

所謂主共振是指激勵頻率ω接近派生系統(tǒng)固有頻率ω0是產(chǎn)生的振動。如果系統(tǒng)是線性小阻尼系統(tǒng)，很小的激勵幅值F就能激發(fā)強烈的工作。因此，研究主共振時對阻尼項、外激勵幅值、非線性項都加以限制，在其前面冠以小參數(shù)ε，對式(10)進一步整理得

(11)

應(yīng)用多尺度法[11]研究一次近似解，設(shè)系統(tǒng)(11)具有如下形式的解

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(12)

將式(12)代入式(11)，并利用導(dǎo)數(shù)算子表達式，比較ε同次冪的系數(shù)，得到一組線性偏微分方程

(13)

(14)

式(13)的解為

(15)

式中：cc為前面所有項的共軛。

引入

?Akhil Gupta，“Blurred Bourdaries:The Discourse of Corruption，the Culture of Politics，and the Imagined State”，American Ethnologist，22(May 1995)．

(16)

分析系統(tǒng)主共振問題，也就是激勵頻率與固有頻率接近時發(fā)生的共振，故設(shè)ω≈ω0， 還需引入調(diào)諧參數(shù)σ，得

ω=ω0+εσ,σ=O(1)

(17)

式(17)是系統(tǒng)發(fā)生主共振的頻率條件。

將式(15)、式(17)代入式(14)可得消除長期項的條件

(18)

將式(16)代入式(18)，進行化簡分離其實部和虛部得

(19)

式中:φ=σT1-β。

式(19)上下兩式聯(lián)立可解出a,φ，可得式(11)的一次近似解

x(t)=a(T1)cos(ωT0+φ)+O(ε)

(20)

由穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)可知D1a=0,D1φ=0， 則式(19)變?yōu)?/p>

(21)

X1a6+X2a4+X3a2+X4=0

(22)

其中，

式(22)是關(guān)于a2的一元三次方程，根據(jù)確定性非線性振動理論，穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定的充要條件是

(23)

式(23)說明系統(tǒng)主共振穩(wěn)態(tài)解與調(diào)諧參數(shù)有關(guān)，說明對于系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程式(22)，在一定的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)可能存在三個穩(wěn)態(tài)解，這些穩(wěn)態(tài)解并不都是穩(wěn)定的。

考慮線性系統(tǒng)，即非線性剛度k1為0，由式(22)可得系統(tǒng)的線性幅頻響應(yīng)方程

X3a2+X4=0

(24)

3 數(shù)值模擬

參照HEV-20型號激振器給以下參數(shù)賦值:ω0=300 rad/s，m=2 kg，c=0.25 N·s/m，k1=200 N/m，E0=0.05 V，εr2=7，εr1=ε0=1，S=L×b0=0.2×0.05=5×10-3m2，b0=0.05 m，d0=0.01 m。

按照式(22)、式(23)計算系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線并分析其穩(wěn)定性。其中橫坐標為調(diào)諧參數(shù)?？v坐標為振幅。

圖4～圖8為電磁驅(qū)動器主共振的幅頻響應(yīng)曲線。

圖4為電磁激振器系統(tǒng)主共振隨阻尼系數(shù)c變化的幅頻響應(yīng)曲線，由圖4可以看出，隨著調(diào)諧值的連續(xù)變化，振幅沒有發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象。當增大系統(tǒng)阻尼系數(shù)時，系統(tǒng)受到的阻力增大，振幅減小，共振區(qū)域變化不明顯。

圖4 不同阻尼的幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 Amplitude frequency response curves of different damping

圖5為電磁驅(qū)動器系統(tǒng)主共振隨激勵電壓幅值E0變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖5可知，隨著調(diào)諧值的連續(xù)變化，振幅沒有發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象；隨著電壓激勵電壓幅值的增大，振幅和共振區(qū)域增大。

圖5 不同電壓值的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5 Amplitude frequency response curves of different voltage values

圖6為電磁驅(qū)動器系統(tǒng)主共振隨電容兩極板之間的距離d0變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖6可知，隨著調(diào)諧值的連續(xù)變化，振幅沒有發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象；隨著電容兩極板之間距離的增大，振幅和共振區(qū)域減小。

圖6 不同極板間距離的幅頻響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude frequency response curves of different plates

圖7為電磁驅(qū)動器系統(tǒng)主共振隨電容極板長度d0變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖7可知，隨著調(diào)諧值的連續(xù)變化，振幅沒有發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象；隨著電容極板長度的增大，振幅和共振區(qū)域增大。

圖7 不同極板長度的幅頻響應(yīng)曲線Fig.7 Amplitude frequency response curves of different plate lengths

圖8為電磁驅(qū)動器系統(tǒng)關(guān)于非線性剛度k1變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖8可知，當非線性剛度小于2×105時，線性系統(tǒng)(k1=0)與非線性系統(tǒng)曲線未發(fā)生明顯變化，兩條幅頻響應(yīng)曲線重合，此時可以忽略非線性項影響，用線性系統(tǒng)近似；但當非線性剛度大于2×106時，曲線發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象，此時不可以忽略非線性項影響。

圖8 不同非線性剛度的幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 Amplitude frequency response curves of different nonlinear stiffness

4 結(jié) 論

新型電容式電磁驅(qū)動器電介質(zhì)的直線運動，位移便于控制和測量，具有良好的實用價值。根據(jù)拉格朗日麥克斯韋方程對其建立的動力學(xué)模型，由線性項和非線性系數(shù)對比發(fā)現(xiàn)為弱非線性系統(tǒng)，與數(shù)值分析無“跳躍”現(xiàn)象對應(yīng)。應(yīng)用多尺度法分析得到了主共振的幅頻響應(yīng)方程，并用數(shù)值方法分析了調(diào)諧值和振幅隨各參數(shù)變化的規(guī)律。結(jié)果表明: 理論分析與數(shù)值計算一致，增大阻尼可以減小系統(tǒng)振幅，但對共振區(qū)域影響較?。辉龃蠹铍妷?，系統(tǒng)振幅和共振區(qū)域增大；增大電容兩極板間距，振幅和共振區(qū)域減小；增大電容極板長度，振幅和共振區(qū)域增大；非線性剛度小于2×105時，忽略非線性項影響，用線性系統(tǒng)近似，可略去穩(wěn)定性分析，非線性剛度大于2×106時，不可忽略非線性項，還需分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。