基于波分析法的L型結(jié)構(gòu)彎-扭耦合振動(dòng)研究

沈輕舟， 車馳東

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

結(jié)構(gòu)聲在典型船舶結(jié)構(gòu)中的傳遞規(guī)律對(duì)船舶聲學(xué)設(shè)計(jì)以及減振降噪有著重要的指導(dǎo)作用。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及軟件的發(fā)展，有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)、統(tǒng)計(jì)能量分析(Statistic Energy Analysis，SEA)以及邊界元(Boundary Element Method，BEM)逐步成為聲學(xué)計(jì)算的主要手段。劉延善等[1]將無網(wǎng)格FEM-BEM應(yīng)用在艙室空間低頻聲場計(jì)算中并取得了較高的精度；鄒春平等[2]結(jié)合有限元法與模態(tài)綜合法對(duì)高頻下大型船舶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)分析，并實(shí)現(xiàn)了較小的計(jì)算資源對(duì)大型結(jié)構(gòu)振動(dòng)的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)；溫華兵等[3]使用FE-SEA 混合法驗(yàn)證了空心阻振質(zhì)量的減振效果。但是，SEA對(duì)模態(tài)密度的要求使得其在低頻下有較大誤差，而FEM和BEM對(duì)網(wǎng)格尺寸及邊界條件的敏感也使得其計(jì)算量與誤差隨著頻率指數(shù)上升。另一方面，數(shù)值計(jì)算通常只計(jì)算結(jié)構(gòu)聲場與能量分布，不能直接對(duì)結(jié)構(gòu)聲傳遞進(jìn)行參數(shù)分析，因此在傳遞機(jī)理上，使用波分析法等解析方法更為有效。

Cremer等[4]在其著作《Structure-Borne Sound》中指出，結(jié)構(gòu)振動(dòng)可以看作沿不同方向傳遞的不同類型結(jié)構(gòu)波的互相疊加，且結(jié)構(gòu)波在傳遞過程中遇到任何阻抗突變都會(huì)發(fā)生反射與透射，同時(shí)伴隨波形轉(zhuǎn)換。國內(nèi)外學(xué)者在此基礎(chǔ)上展開了大量研究。

Kessissoglou[5]研究了外激勵(lì)下L型板內(nèi)的能量傳遞隨頻率的變化關(guān)系，在忽略平面內(nèi)振動(dòng)情況下得到能量透射系數(shù)隨著頻率與傳遞距離的上升而上升的結(jié)果； Grice等[6-7]則針對(duì)船舶典型結(jié)構(gòu)，利用波分析法建立了以梁為框架、將板單元等效為阻抗的模型并進(jìn)行了有限元驗(yàn)算，理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)極高的一致性證明了將板單元等效為阻抗的可行性；姚熊亮等[8]分析了彎曲波在各類組合板結(jié)構(gòu)中的傳遞規(guī)律，并給出了不同結(jié)構(gòu)、不同參數(shù)下的隔聲量公式，并深入研究了偏心阻振質(zhì)量在船體板上的阻振機(jī)理與隔聲特性，結(jié)果表明偏心阻振質(zhì)量有效抑制了聲輻射[9]；車馳東等[10]改變轉(zhuǎn)角處的角度與阻振質(zhì)量對(duì)彎曲波的傳遞規(guī)律進(jìn)行參數(shù)分析，得到了較好的阻振效果；Dijckmans[11]使用波分析法計(jì)算了SEA法在不同側(cè)墻節(jié)點(diǎn)處的耦合損失因子，并據(jù)此對(duì)不同結(jié)構(gòu)的隔聲效果進(jìn)行了分析。

綜合各類研究文獻(xiàn)可見，前人的研究主要集中與彎曲波與縱波的耦合上，對(duì)扭轉(zhuǎn)波的涉及相對(duì)較少。當(dāng)彎曲波入射到垂直直角時(shí)，會(huì)誘發(fā)透射與反射縱波；當(dāng)其入射至水平轉(zhuǎn)角時(shí)，誘發(fā)的則是扭轉(zhuǎn)波；后者在同一層甲板內(nèi)的管路振動(dòng)中更加常見。另一方面，無限結(jié)構(gòu)基本不形成駐波，不涉及模態(tài)問題，與實(shí)際結(jié)構(gòu)相差甚遠(yuǎn)，而有限結(jié)構(gòu)主要考慮模態(tài)響應(yīng)問題與振動(dòng)能量分布，兩者存在一定差異，且研究兩者相互關(guān)系的文獻(xiàn)較少。基于上述原因，本文將研究彎曲波入射誘發(fā)扭轉(zhuǎn)波情況下的能量傳遞規(guī)律，并使用半無限長結(jié)構(gòu)的傳遞系數(shù)去預(yù)報(bào)有限結(jié)構(gòu)的聲場。

1 理論分析

1.1 半無限長結(jié)構(gòu)分析

首先考慮兩根半無限長均質(zhì)梁構(gòu)成的L型轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)。以轉(zhuǎn)角連接點(diǎn)為原點(diǎn)，分別在兩根梁上建立局部坐標(biāo)系X1OY1，X2OY2，如圖1所示。

圖1 L型梁結(jié)構(gòu)示意圖(彎曲波入射)Fig.1 L-shaped structure(bending wave impinging)

根據(jù)Cremer等的研究，入射波沿x1傳遞至轉(zhuǎn)角處時(shí)，會(huì)激發(fā)反射波、透射波與近場波，并伴隨有波形轉(zhuǎn)換； 而對(duì)于某一激勵(lì)頻率ω，單位振幅彎曲波的位移表達(dá)式可表示為

(1)

式中:kb為該頻率下的彎曲波波數(shù)。

因此，兩梁中的合成振動(dòng)位移表達(dá)式可表示為

(1) 單位振幅彎曲波入射

(2)

(3)

(4)

(5)

(2) 單位振幅扭轉(zhuǎn)波入射

(6)

(7)

(8)

(9)

而轉(zhuǎn)角處邊界條件為

(1) 位移連續(xù)

(10)

(11)

(12)

(2) 力與力矩平衡

(13)

(14)

(15)

結(jié)合本構(gòu)關(guān)系， 將位移表達(dá)式(2)～式(5)、式(6)～式(9)分別代入邊界條件式(10)～式(15)中，可以得到彎曲波、扭轉(zhuǎn)波入射下，透反射系數(shù)的方程；將該方程無量綱化后，即可得到式(16)和式(17)

(16)

(17)

透反射系數(shù)通常為復(fù)數(shù)，為進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)聲能量傳遞之間的關(guān)系，可將其轉(zhuǎn)化為能量傳遞效率，如下所示:

(1) 彎曲波入射

彎曲波-彎曲波能量反射系數(shù)

(18)

彎曲波-彎曲波能量透射系數(shù)

(19)

彎曲波-扭轉(zhuǎn)波能量反射系數(shù)

(20)

彎曲波-扭轉(zhuǎn)波能量透射系數(shù)

(21)

(2) 扭轉(zhuǎn)波入射

扭轉(zhuǎn)波-彎曲波能量反射系數(shù)

(22)

扭轉(zhuǎn)波-彎曲波能量透射系數(shù)

(23)

扭轉(zhuǎn)波-扭轉(zhuǎn)波能量反射系數(shù)

(24)

扭轉(zhuǎn)波-扭轉(zhuǎn)波能量透射系數(shù)

(25)

式中:Zb為梁的彎曲波特征阻抗，其表達(dá)式為Zb=m′·cb；Zt為梁的扭轉(zhuǎn)波特征阻抗， 其表達(dá)式為Zt=J′·ct；m′與J′分別為單位長度的質(zhì)量與慣量。

而根據(jù)能量守恒定理，在無阻尼時(shí)很顯然有

(1) 彎曲波入射

ρBB+τBB+ρBT+τBT=1

(26)

(2) 扭轉(zhuǎn)波入射

ρTB+τTB+ρTT+τTT=1

(27)

1.2 有限長結(jié)構(gòu)分析

現(xiàn)通過上述半無限長的傳遞系數(shù)預(yù)報(bào)有限結(jié)構(gòu)聲場。設(shè)構(gòu)成轉(zhuǎn)角的兩根梁分別長l1,l2，且兩梁端部反射系數(shù)為rB1,rB2,rT1,rT2(假設(shè)端部無波形轉(zhuǎn)換)。

對(duì)于有限結(jié)構(gòu)，外激勵(lì)引起的入射波會(huì)在末端及轉(zhuǎn)角間不斷傳遞，因此沿某方向傳遞的結(jié)構(gòu)聲是一系列反射波和透射波的級(jí)數(shù)，而系統(tǒng)的振動(dòng)分布則等價(jià)于沿不同方向傳遞的波的矢量疊加；而對(duì)于一維簡直梁，即為沿x正方向的正行波及沿x負(fù)方向的逆行波以及近場波的組合，因此構(gòu)成轉(zhuǎn)角梁結(jié)構(gòu)的位移表達(dá)式為

(28)

(29)

(30)

(31)

式中:B為彎曲波振幅；T為扭轉(zhuǎn)波振幅； 上標(biāo)+為該波正行； 上標(biāo)-為該波逆行； 下標(biāo)1/2為梁1/2； 上標(biāo)j為近場波。

正逆行波的振幅可結(jié)合各節(jié)點(diǎn)處的邊界條件建立平衡方程解得；而由無量綱反射/透射系數(shù)的定義可知，這些正逆行波的振幅也可在節(jié)點(diǎn)處與無限結(jié)構(gòu)的反射/透射系數(shù)建立平衡方程解得，且相比于直接解析，其形式更加簡單，物理關(guān)系更加明確。其方程組如下所示

(1) 梁1端部

(32)

(33)

(34)

(2) 梁2端部

(35)

(36)

(37)

(3) 轉(zhuǎn)角處

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

結(jié)合梁2外端、梁1梁2連接處的平衡方程，最終可以得到控制方程為

[D]·{A}={F}

(44)

式中： {A}為各波波動(dòng)響應(yīng)向量； [D]為波動(dòng)剛度矩陣，它們的形式見附錄； {F}為外激勵(lì)項(xiàng)。

(1) 強(qiáng)迫振動(dòng)下的結(jié)構(gòu)聲場

當(dāng)有外激勵(lì)源時(shí)， {C}的表達(dá)式如式(45)所示

(45)

(2) 自由振動(dòng)下的固有頻率

系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，外激勵(lì)項(xiàng){F}的值為0，因此上式變?yōu)辇R次方程

[D]·{A}={0}

(46)

在固有頻率下波動(dòng)響應(yīng)向量{A}有非零解，而其充要條件為波動(dòng)剛度矩陣[M]的值為0，故固有頻率的解可等效為式(47)的解

|D|=0

(47)

這和通過解析法聯(lián)立邊界條件解得固有頻率是等效的。

2 數(shù)值計(jì)算

為研究無限結(jié)構(gòu)中的能量傳遞規(guī)律，現(xiàn)利用數(shù)值方法模擬能量在半無限結(jié)構(gòu)中的傳遞規(guī)律。設(shè)試驗(yàn)結(jié)構(gòu)為一半無限長L型304不銹鋼方管，其截面尺寸為20×20×0.8 mm，考慮到Euler-Bernoulli梁的理論假設(shè)限制[12]

(48)

故該結(jié)構(gòu)計(jì)算的頻域限制在10 000 Hz以下。數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 能量透射與反射效率(彎曲波入射)Fig.2 Energy efficiency(bending wave impinging)

圖3 能量透射與反射效率(扭轉(zhuǎn)波入射)Fig.3 Energy efficiency(torsional wave impinging)

由圖2和圖3可得出如下結(jié)論:

(1) 計(jì)算頻域內(nèi)所有能量系數(shù)加起來等于1，說明計(jì)算結(jié)果符合能量守恒定律；

(2) 彎曲波入射時(shí)，低頻能量轉(zhuǎn)換形式以彎曲波的互相反射與透射為主，高頻部分主要為彎曲波至扭轉(zhuǎn)波，總彎曲波能量隨頻率上升而下降；

(3) 扭轉(zhuǎn)波入射時(shí)，低頻能量轉(zhuǎn)換形式集中為扭轉(zhuǎn)波反射為扭轉(zhuǎn)波，高頻能量偏向于扭轉(zhuǎn)波透射為彎曲波，總彎曲波能量隨頻率上升而上升；

(4) 在計(jì)算頻域內(nèi)，兩種工況均出現(xiàn)總反射能量隨頻率上升而下降、總透射能量隨頻率上升而上升的趨勢(shì)。

能量傳遞系數(shù)除了隨頻率變化外，還受到梁的物性參數(shù)的影響；梁之間不同的剛度、密度均會(huì)使得傳遞系數(shù)發(fā)生偏移?？紤]到結(jié)構(gòu)二次聲輻射主要源自彎曲波，故僅對(duì)梁12不同密度、剛度比下的ρBB，τBB進(jìn)行計(jì)算。工況1為參照組，兩梁材料均為304不銹鋼，其他工況改變了梁2的密度、剛度，如表1所示(表中的剛度、密度比表征梁1與梁2參數(shù)之比)。

表1 不同工況的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of different condition

計(jì)算結(jié)果如圖4、圖5所示，其展示了彎曲波-彎曲波能量反射、透射系數(shù)在上述條件下的變化:

(1) 彎曲波-彎曲波能量反射系數(shù)隨著梁12的密度比、剛度比的增加呈上升趨勢(shì)；

(2) 彎曲波-彎曲波能量透射系數(shù)則隨著梁12的密度比、剛度比的降低呈下降趨勢(shì)，但是在高頻下(尤其是密度比)對(duì)系數(shù)的影響逐漸減少。

圖4 能量系數(shù)-密度比曲線Fig.4 Energy efficiency-density ratio

圖5 能量系數(shù)-剛度比曲線Fig.5 Energy efficiency-stiffness ratio

3 實(shí) 驗(yàn)

為驗(yàn)證利用無限結(jié)構(gòu)透反射系數(shù)求解有限結(jié)構(gòu)聲場的可行性，現(xiàn)利用一簡化的轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

測(cè)試對(duì)象是由兩根20×20×0.8 mm的方管構(gòu)成的L形轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)，一端固定在基座上，另一端自由。信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號(hào)并通過電磁激振器作用于自由端以提供入射波；激振頭與自由端連接處安裝有力傳感器用以換算入射波幅值。

被測(cè)結(jié)構(gòu)上布置有7個(gè)測(cè)點(diǎn)，每根梁4個(gè)(第4個(gè)測(cè)點(diǎn)兩梁共用，如圖6所示)，安裝于測(cè)點(diǎn)上的加速度傳感器記錄正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出正逆行波與近場波分量。需要說明的是，由于安裝原因，測(cè)點(diǎn)1距外端15 mm，測(cè)點(diǎn)4朝梁1側(cè)偏10 mm，測(cè)點(diǎn)7距固定端82 mm；測(cè)點(diǎn)2～測(cè)點(diǎn)7布置于梁的上方，而測(cè)點(diǎn)1由于上方已有激振器，為測(cè)量激振點(diǎn)的加速度只能布置于梁下方，其相位差與一般測(cè)點(diǎn)差180°。

出于規(guī)避不穩(wěn)定因素與提高信噪比的考慮，實(shí)測(cè)激勵(lì)分為寬頻激勵(lì)和單頻激勵(lì)兩種，寬頻激勵(lì)為30～1 000 Hz的正弦掃頻信號(hào)激勵(lì)以識(shí)別系統(tǒng)的固有頻率；單頻信號(hào)為若干頻率的正弦信號(hào)激勵(lì)(31.5 Hz，50 Hz，63 Hz，100 Hz，125 Hz，200 Hz，250 Hz，400 Hz，500 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz)，并得到各頻率下的加速度及速度響應(yīng)。

根據(jù)波動(dòng)方程，彎曲波有4個(gè)分量(正逆行波、正逆近場波幅值)，因此4個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)就可以解出彎曲波的各波幅值，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的振型。

理論分析了假設(shè)固定端和自由端為理想邊界，但實(shí)際工程中固定端必然是一個(gè)大阻抗邊界，并且安裝了激振器的自由端也帶有一定的阻抗，導(dǎo)致本實(shí)驗(yàn)中難以忽略其對(duì)邊界反射系數(shù)的影響。由于已得到反射與透射波幅分量，結(jié)合邊界反射系數(shù)的定義

(49)

可以直接用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正阻抗邊界的影響，因此對(duì)數(shù)值計(jì)算中的邊界進(jìn)行了修正以方便和實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較。

(1) 不同頻率下的振型分布(見圖7～圖9)。

圖6 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛶缀纬叽缗c測(cè)點(diǎn)布置位置(單位: mm)Fig.6 Test object and sensor placement(unit: mm)

圖7 100 Hz下數(shù)值解(理論/理論修正)與實(shí)驗(yàn)彎曲波場對(duì)比Fig.7 Acoustic field compare among numerical result and experiment under 100 Hz

圖8 250 Hz下數(shù)值解(理論/理論修正)與實(shí)驗(yàn)彎曲波場對(duì)比Fig.8 Acoustic field compare among numerical result and experiment under 250 Hz

圖9 400 Hz下數(shù)值解(理論/理論修正)與實(shí)驗(yàn)彎曲波場對(duì)比Fig.9 Acoustic field compare among numerical result and experiment under 400 Hz

圖7～圖9是不同頻率下梁1、梁2的振型圖，三根曲線分別代表實(shí)驗(yàn)值、理想數(shù)值解、經(jīng)過反射系數(shù)修正(阻抗邊界)的數(shù)值解。比較以上圖片可以得到以下結(jié)論:

①邊界阻抗會(huì)顯著地影響結(jié)構(gòu)聲場，梁1、梁2的阻抗邊界數(shù)值解均較理想邊界數(shù)值解更接近實(shí)驗(yàn)值，在相位上尤其明顯，因此有限結(jié)構(gòu)聲場預(yù)測(cè)中應(yīng)當(dāng)測(cè)量邊界傳遞系數(shù)以修正模型；

②梁1的數(shù)值解在激振端的幅值上與實(shí)驗(yàn)值存在明顯誤差，通過比較可以看出梁1激振端的近場波明顯高于理論解，這可能是激勵(lì)端的傳感器附加質(zhì)量較大導(dǎo)致，在這種情況下需要對(duì)激勵(lì)端的近場波幅值進(jìn)行進(jìn)一步修正。

(2) 同一測(cè)點(diǎn)振幅隨頻率的變化(圖10)。

圖10反映了掃頻下測(cè)點(diǎn)2、測(cè)點(diǎn)6的振幅隨頻率的變化，虛線代表阻抗邊界數(shù)值解的頻率關(guān)系，實(shí)線是實(shí)驗(yàn)值的頻率關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明阻抗邊界數(shù)值解的趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)值的趨勢(shì)基本相同，利用帶阻抗邊界修正的半無限傳遞系數(shù)模型可以預(yù)報(bào)有限結(jié)構(gòu)聲場。

圖10 兩梁測(cè)點(diǎn)振幅-頻率趨勢(shì)圖Fig.10 Amplitude-frequency trend diagram at the measure points

4 結(jié) 論

在波分析法的基礎(chǔ)上，研究了結(jié)構(gòu)波在彎-扭耦合振動(dòng)問題中的傳遞規(guī)律，并基于此提出一種基于半無限長結(jié)構(gòu)傳遞系數(shù)的有限結(jié)構(gòu)聲場預(yù)報(bào)方法，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與理論解的對(duì)比可以得到以下結(jié)論:

(1) 在工程應(yīng)用的頻域下，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)波在彎-扭耦合振動(dòng)中的傳遞存在規(guī)律——隨頻率上升，總反射能量下降而透射能量上升；同時(shí)波形轉(zhuǎn)換的趨勢(shì)也隨頻率上升而上升。

(2) 使用無限傳遞系數(shù)預(yù)報(bào)有限結(jié)構(gòu)聲場是可行的，但邊界阻抗會(huì)顯著地影響預(yù)報(bào)結(jié)果，而通過修正結(jié)構(gòu)波在邊界的傳遞系數(shù)則可有效地提高該方法的準(zhǔn)確度。

附錄：

[D]為12×12波動(dòng)剛度矩陣，考慮到近場波不參與能量傳遞，故忽略近場波后得到的8×8矩陣為

{A}為各波波動(dòng)響應(yīng)向量