搖擺自復(fù)位高墩高階效應(yīng)研究

張育智

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

采用延性方法設(shè)計橋墩時，通過在橋墩與承臺或(和)橋墩與主梁的連接部位進行塑性鉸設(shè)計，使橋墩在大地震時在上述位置形成塑性鉸，一方面塑性鉸的出現(xiàn)會降低結(jié)構(gòu)剛度，延長結(jié)構(gòu)周期，從而可以減小輸入到結(jié)構(gòu)中的地震動能量；另一方面塑性鉸的出現(xiàn)將消耗大量已經(jīng)輸入結(jié)構(gòu)的地震動能量，減小結(jié)構(gòu)整體的地震動響應(yīng)。雖然延性設(shè)計能夠?qū)崿F(xiàn)“大震不倒”的性能要求，但由于塑性鉸的形成，使結(jié)構(gòu)發(fā)生了永久性的殘余變形，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的損傷，這直接導(dǎo)致震后結(jié)構(gòu)功能的恢復(fù)非常困難。由于經(jīng)濟和安全原因，大量按照延性方法設(shè)計的結(jié)構(gòu)往往在震后被拆除而非修復(fù)，這在造成巨大經(jīng)濟損失的同時，給人民的震后生活帶來了極大不便。

隨著研究的逐步深入，研究者越來越清晰地意識到控制結(jié)構(gòu)地震殘余位移的重要性[1-5]。在20世紀90年代便有研究者提出了震后無損傷結(jié)構(gòu)設(shè)計方法[6]。該方法的核心思想是將結(jié)構(gòu)設(shè)計成具有搖擺自復(fù)位能力的結(jié)構(gòu)。對于橋墩來說，搖擺自復(fù)位橋墩是指: 將橋墩與承臺或(和)橋墩與主梁之間連續(xù)的鋼筋斷開，放松橋墩在上述部位受到的轉(zhuǎn)角約束，在發(fā)生大地震時，橋墩能夠在上述部位形成搖擺界面，利用橋墩的搖擺降低對橋墩抗彎能力的地震需求，使結(jié)構(gòu)在大地震中仍能處于彈性工作狀態(tài)，且在地震結(jié)束后，結(jié)構(gòu)能夠自動恢復(fù)至初始位置。震后無損傷結(jié)構(gòu)設(shè)計的目的是: 結(jié)構(gòu)的地震內(nèi)力并非隨地震動強度的增大而持續(xù)大幅增大，而是將結(jié)構(gòu)的地震內(nèi)力控制在一定范圍內(nèi)，這樣就可以最大程度地消除地震動不確定性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷的可能性，即使地震動強度比設(shè)計結(jié)構(gòu)時所采用的地震動強度高，結(jié)構(gòu)仍然不會在地震過程中發(fā)生損傷。

在地震過程中，根部形成塑性鉸的剪力墻可以視為搖擺結(jié)構(gòu)，在對搖擺剪力墻的研究過程中[7-10]，研究者發(fā)現(xiàn)利用非線性時程計算得到的根部剪力比按照一階模態(tài)分布的水平地震力作用下計算出的根部剪力大，前者約為后者的1.4～4倍；且結(jié)構(gòu)將在除根部以外的其他位置形成第2個塑性鉸，隨著研究的深入，研究者認識到這是由于搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)的高階效應(yīng)導(dǎo)致的——雖然1階模態(tài)效應(yīng)在結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺后便不會繼續(xù)增大，但高階模態(tài)效應(yīng)可以在結(jié)構(gòu)根部形成搖擺界面的邊界條件下繼續(xù)增大，這便是搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)中的高階效應(yīng)。

為了實現(xiàn)震后無損傷，必須對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)高階效應(yīng)進行控制。為此，首先需要判斷各階模態(tài)對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的貢獻，從而確定需要控制哪些階次的高階效應(yīng)。國內(nèi)對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)的研究起步較晚，對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)高階效應(yīng)的研究尚未見報道。國外對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)高階效應(yīng)的研究主要針對鋼框架結(jié)構(gòu)[11]，尚未見針對搖擺自復(fù)位高墩高階效應(yīng)的相關(guān)研究，由于高橋墩的動力性能與鋼框架有較大差別，有關(guān)鋼框架的結(jié)果并不能直接用于高橋墩。因此，開展針對搖擺自復(fù)位高墩高階效應(yīng)的研究非常必要。

1 高階模態(tài)貢獻的計算方法

Wiebe[12]采用振型參與系數(shù)、各階模態(tài)振型及加速度反應(yīng)譜構(gòu)造了反映各階模態(tài)貢獻的綜合指標，對搖擺自復(fù)位框架的高階振型貢獻隨著結(jié)構(gòu)根部抗彎剛度變化的規(guī)律進行了研究，但該方法并不適用于對某一特定搖擺結(jié)構(gòu)整個搖擺過程中各階模態(tài)振型貢獻的計算。Hasan等[13]利用模態(tài)分解法對四層搖擺自復(fù)位框架結(jié)構(gòu)中各階模態(tài)貢獻進行了研究，由于概念清晰，便于理解，因此本文采用模態(tài)分解法對搖擺自復(fù)位高墩的各階模態(tài)貢獻進行分析。

模態(tài)分解法的思路是利用在線性系統(tǒng)中成立的模態(tài)分析方法來計算非線性搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)動力響應(yīng)，因此模態(tài)分解法是一種近似方法。

(1) 各階模態(tài)內(nèi)力的計算。

結(jié)構(gòu)各階模態(tài)引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，包括剪力和彎矩，可以根據(jù)對結(jié)構(gòu)非線性時程計算得到的等效地震荷載進行模態(tài)分解而求得。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)[14]模態(tài)分析的相關(guān)知識，首先引入非線性多自由度結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)的等效地震靜力{fe,n(t)}

{fe,n(t)}={sn}·αn(t)

(1)

式中:αn(t)為與線性結(jié)構(gòu)中的偽加速度An(t)相對應(yīng)的非線性系統(tǒng)中第n階模態(tài)的偽加速度； {sn}為第n階模態(tài)等效地震荷載的空間分布向量

{sn}=Γn·[m]{φn}

(2)

式中：Γn為振型參與系數(shù)； [m]為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣； {φn}為結(jié)構(gòu)的第n階振型。

假定疊加原理對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)仍然適用，則結(jié)構(gòu)t時刻總的等效地震靜力{fe(t)}等于t時刻各階等效地震靜力之和，即

(3)

利用振型的正交性，將式(3)左右兩側(cè)左乘{φn}T經(jīng)整理得

(4)

式中：Mn為第n階模態(tài)的廣義質(zhì)量。

具體求解方法及步驟:

步驟1根據(jù)非線性時程計算的結(jié)構(gòu)剪力結(jié)果可以得到t時刻結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的等效地震靜力{fe(t)}，即由相鄰單元根部剪力差組成的列向量；

步驟2由式(4)可以得到第n階模態(tài)的偽加速度αn(t)；

步驟3由式(1)計算第n階模態(tài)的等效地震靜力列向量{fe,n(t)}；

步驟4由式(5)可求得t時刻第n階模態(tài)對應(yīng)的橋墩根部剪力Qn(t)

(5)

式中：fie,n(t)為t時刻i節(jié)點的等效地震靜力；m為節(jié)點數(shù)；

步驟5由式(6)可得t時刻第n階模態(tài)對應(yīng)的橋墩墩底彎矩Mn(t)。

(6)

式中：hi為i節(jié)點到墩底的高度。

(2) 各階模態(tài)位移的計算。

為計算各階模態(tài)位移，需要引入與第n階模態(tài)單自由線性系統(tǒng)位移響應(yīng)Dn(t)相對應(yīng)的第n階模態(tài)單自由度非線性系統(tǒng)等效位移響應(yīng)δn(t)。 則第n階模態(tài)的位移向量{un(t)}可以表示為

{un(t)}=Γn·{φn}·δn(t)

(7)

利用疊加原理，結(jié)構(gòu)總的位移向量可以表達為

(8)

利用振型的正交性，式(8)左右兩側(cè)左乘{φn}T， 經(jīng)整理可得第n階模態(tài)單自由度非線性系統(tǒng)的等效位移

(9)

在得到δn(t)之后， 根據(jù)式(7)便可以得到各個時刻各階模態(tài)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移。

2 高階模態(tài)貢獻的定量指標

在由上述模態(tài)分解法求出各階模態(tài)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)剪力、彎矩及位移之后，為了求解各階模態(tài)對這些結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻，必須給出描述各階模態(tài)貢獻的指標。以往采用的指標主要有3種。

(1) 第n階模態(tài)響應(yīng)絕對值最大值|rn(t)|max與總響應(yīng)絕對值最大值|rtot(t)|max之比ID1， 第n階模態(tài)貢獻計算公式見式(10)，各參數(shù)意義見圖1。

(10)

(2) 總響應(yīng)最大值對應(yīng)時刻tm第n階模態(tài)響應(yīng)值rn(t)t=tm與總響應(yīng)值rtot(t)t=tm之比ID2， 第n階模態(tài)貢獻計算公式見式(11)， 各參數(shù)意義見圖1。

(11)

(3) 第n階模態(tài)響應(yīng)時程曲線與時間軸圍成面積與總響應(yīng)時程曲線與時間軸圍成面積之比ID3， 第n階模態(tài)貢獻計算公式見式(12)。 其中tt是整個地震動持續(xù)時間。

(12)

上述ID1和ID2都只能反映某個時間點各階模態(tài)響應(yīng)與總響應(yīng)之間的比值關(guān)系，極易受到地震動隨機性的影響，不利于較完整和準確地描述各階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻。ID3將整個地震動過程作為一個整體進行考慮，未對結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺與未發(fā)生搖擺進行區(qū)分。而搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)在發(fā)生搖擺之后，其動力性能會發(fā)生變化，從而導(dǎo)致各階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻發(fā)生一定的變化，因此采用ID3評價搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻也存在不足。

圖1 搖擺點豎向位移，總響應(yīng)及第n階模態(tài)響應(yīng)時程示意圖Fig.1 Sketch of rocking point vertical displacement, total and the n th mode response

由于結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺后其動力性能會發(fā)生變化，且搖擺過程中結(jié)構(gòu)響應(yīng)值通常較大，為了反映搖擺結(jié)構(gòu)的這一特點，各階模態(tài)貢獻指標應(yīng)能反映結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺時段內(nèi)各階模態(tài)的貢獻。為此，本文作者提出ID4，即搖擺幅度最大的時間段內(nèi)(圖1中t1時段)，經(jīng)歸一化的各階模態(tài)響應(yīng)時程曲線與時間軸所圍面積與總響應(yīng)時程曲線與時間軸所圍面積的比值，見圖1中搖擺點最大豎向位移uv,max對應(yīng)的陰影面積，第n階模態(tài)貢獻計算公式見式(13)。

(13)

3 計算模型介紹

本文針對某圓端形鐵路橋搖擺自復(fù)位橋墩[15]進行計算分析。橋墩的幾何尺寸如圖2所示，空心墩身高56 m，實心墩身及擴大基礎(chǔ)均高2 m，橋墩外壁坡度為1∶40，內(nèi)壁坡度為1∶90。橋墩采用C30混凝土，上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為7 190 kN，以集中質(zhì)量形式施加在墩頂節(jié)點，橋墩擴大基礎(chǔ)底面，即搖擺界面，傳遞的豎向荷載為36 357 kN。本模型無耗能裝置及后張預(yù)應(yīng)力，依靠重力提供自復(fù)位的恢復(fù)力。采用OpenSEES對橋墩順橋向的地震動響應(yīng)進行非線性時程分析，橋墩采用彈性梁柱單元進行模擬，搖擺模型采用夏修身等[16]提出的兩彈簧模型，兩彈簧間距即為墩底擴大基礎(chǔ)順橋向尺寸10 m。彈簧單元剛度取為2.1×108kN/m，采用瑞利阻尼，取前2階模態(tài)的阻尼比均為5%。計算模型的示意圖見圖3。

圖2 橋墩尺寸圖(單位: mm)Fig.2 Pier dimensions (unit: mm)

圖3 有限元模型示意圖Fig.3 Sketch of finite element model

4 地震動輸入

為考慮地震動差異性的影響，從FEMA P695遠場地震動系列中選取了7條D類場地的地震波作為輸入，相關(guān)地震動記錄的信息見表1。為了考慮地震動強度的影響，分別將地震動的峰值加速度調(diào)幅至0.2g，0.4g和0.6g。

表1 地震動記錄信息Tab.1 Information for ground motion records

5 計算結(jié)果

5.1 模態(tài)分解法計算結(jié)果

由于墩底剪力對高階效應(yīng)比較敏感，因此以墩底剪力為例，圖4給出峰值加速度調(diào)幅至0.4g的N1地震動記錄為輸入時，結(jié)構(gòu)前4階模態(tài)與總響應(yīng)的對比情況。

根據(jù)圖4并結(jié)合表2給出的指標ID3和ID4計算得到的前4階模態(tài)對墩底剪力的貢獻百分比可見: 對于墩底剪力而言，前2階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻均較大，二者之和占總響應(yīng)的80%以上；第3階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻仍達8.8%，而第4階模態(tài)對墩底剪力的貢獻便顯著減小。

圖4 墩底剪力總響應(yīng)與前4階模態(tài)對比Fig.4 Comparison of base shear for total and first four modes’ response

表2 前4階模態(tài)對墩底剪力貢獻比較Tab.2 Contribution comparison of base shear for first four modes%

5.2 各階模態(tài)貢獻計算結(jié)果

第2節(jié)中的指標ID1和ID2只是對結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值出現(xiàn)瞬時結(jié)構(gòu)特性的反映，并不能充分反映各階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻，在本研究中未采用上述2種指標。指標ID3是整個地震動作用時間范圍內(nèi)各階模態(tài)對總響應(yīng)的貢獻的一種度量方法，但是未對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)搖擺與否加以區(qū)分，不能反映出此類結(jié)構(gòu)獨有的特征。因為ID3和ID4都是歸一化的指標便于比較，因此本節(jié)給出前3階模態(tài)2種指標計算結(jié)果的對比。

5.2.1 墩底剪力計算結(jié)果

表3給出了不同地震動強度條件下2種指標計算的前3階模態(tài)對墩底剪力貢獻的平均值及變異系數(shù)。

表3 不同模態(tài)對墩底剪力的貢獻對比Tab.3 Contribution comparison of base shear for different modes

由表3可得到以下規(guī)律:

(1) 隨著地震動強度的增大，第1階模態(tài)對墩底剪力的貢獻逐漸減小，而第2階和第3階模態(tài)對墩底剪力的貢獻逐漸增大，當?shù)卣饎臃逯导铀俣葹?.6g時，2種指標得到的第2階模態(tài)貢獻分別已達到第1階模態(tài)貢獻的61%和97%，由此可見，高階模態(tài)對墩底剪力貢獻顯著，在進行搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)抗剪設(shè)計時，必須充分考慮高階效應(yīng)的影響。

(2)ID3與ID4的差別隨著地震動強度的增大而增大。產(chǎn)生上述差異的原因是ID3和ID4分別是針對整個地震動時長和最大搖擺階段的評價，這種差異實際上反映出結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺后各階模態(tài)貢獻與未發(fā)生搖擺時有一定的差異，這是搖擺結(jié)構(gòu)特有的特性。當?shù)卣饎臃逯导铀俣葹?.6g時，對比ID3與ID4的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第2階模態(tài)的貢獻分別達到第1階模態(tài)貢獻的61%和97%，采用ID3將大大低估第2階模態(tài)的貢獻。由此可見，對于搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)，ID4比ID3更適合評價結(jié)構(gòu)響應(yīng)較大的搖擺階段高階效應(yīng)的貢獻。

(3)ID3的變異系數(shù)比ID4的小。這是因為隨著評價時長的縮短，計算結(jié)果越來越依賴于結(jié)構(gòu)搖擺階段的響應(yīng)，而搖擺階段的響應(yīng)受地震動隨機性的影響較大，因而當評價從整個地震動時長縮短到最大搖擺階段時，各階模態(tài)貢獻變異系數(shù)就會增大。這實際上反映出搖擺階段各階模態(tài)貢獻受地震動變異性影響較大，在實際分析時，應(yīng)該采用多條地震動計算進行計算，并利用計算結(jié)果的統(tǒng)計值進行評價。

5.2.2 墩底彎矩計算結(jié)果

表4給出了不同地震動強度條件下2種指標計算的前3階模態(tài)對墩底彎矩貢獻的平均值及變異系數(shù)。

由表4可見，與表3反映出的規(guī)律類似，隨著地震動強度的增大，第1階模態(tài)對墩底彎矩的貢獻逐漸減小，第2階和第3階的貢獻有所增加；ID4比ID3更能反映出各階模態(tài)貢獻隨地震動強度的變化規(guī)律。對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)而言，高階模態(tài)對墩底彎矩的貢獻要小于對墩底剪力的貢獻。

表4 不同模態(tài)對墩底彎矩的貢獻對比Tab.4 Comparison of base moment for different modes

5.2.3 墩頂水平位移計算結(jié)果

表5給出了不同地震動強度條件下2種指標計算得到的前3階模態(tài)對墩頂水平位移貢獻的平均值及變異系數(shù)。

表5 不同模態(tài)對墩頂位移的貢獻對比Tab.5 Comparison of pier top displacement for different modes

由表5可見，由于結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺后，墩頂水平位移主要都是由結(jié)構(gòu)繞搖擺點的剛體轉(zhuǎn)動(即搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)搖擺狀態(tài)下的第1階模態(tài))產(chǎn)生的，因此高階模態(tài)對搖擺自復(fù)位橋墩墩頂水平位移的貢獻很小，即使在地震動峰值加速度為0.6g的條件下，第1階模態(tài)的貢獻仍在90%左右。

6 結(jié) 論

(1) 應(yīng)該采用能夠反映結(jié)構(gòu)搖擺階段特性的指標ID4對搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)各階模態(tài)貢獻進行評價。

(2) 隨著地震動強度的加大， 1階模態(tài)的貢獻逐漸減小，而2階、3階等高階模態(tài)的貢獻逐漸增大，在結(jié)構(gòu)發(fā)生搖擺后，高階模態(tài)的貢獻比搖擺前大。

(3) 對于搖擺自復(fù)位高墩，墩底剪力對高階效應(yīng)最敏感，在分析時應(yīng)考慮前3階的影響；墩底彎矩對高階效應(yīng)較敏感，在分析時需考慮前2階模態(tài)的影響；墩頂水平位移對高階效應(yīng)最不敏感，在分析時可只考慮1階模態(tài)的影響。

(4) 搖擺自復(fù)位結(jié)構(gòu)高階效應(yīng)控制的目標是對第2、第3階模態(tài)的控制，且以第2階模態(tài)的控制為重點。

致謝

本研究是在中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金的資助下完成的，在此表示感謝！