基于Duffing-Holmes系統(tǒng)的材料非線性的量化檢測方法

柏 林， 唐 滔， 劉小峰， 韋代平

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

針對材料非線性檢測，有研究表明，非線性Lamb波的傳播會(huì)由于材料自身的非線性以及其結(jié)構(gòu)微裂紋的局部接觸而激發(fā)非線性Lamb波的非線性變化[1-2]，因此可利用高次諧波信號(hào)對材料性能進(jìn)行實(shí)時(shí)程度評價(jià)。大量試驗(yàn)證明，通過測量Lamb波非線性效應(yīng)可以有效反映材料結(jié)構(gòu)的微觀變化，以此實(shí)現(xiàn)早期損傷或性能退化的檢測[3-4]。但目前的研究成果中，針對非線性Lamb波的信號(hào)的特征增強(qiáng)以及抗噪能力的研究很少。并且在試驗(yàn)中，由于Lamb波自身的擴(kuò)散角以及頻散特性等，致使接收信號(hào)極易受噪聲污染從而失真。為了提高超聲波檢測技術(shù)的精度，采用非線性信號(hào)傳統(tǒng)的降噪方式，如Kalman濾波[5]，LMS自適應(yīng)濾波[6]，以及小波閾值降噪[7]等，都已經(jīng)難以滿足對微弱信號(hào)的檢測要求。鑒于非線性Lamb波對于材料特性檢測的優(yōu)勢性[8]但易受外界干擾，實(shí)現(xiàn)非線性Lamb波抗噪量化分析對對板構(gòu)件的早期性能退化識(shí)別具有重要意義。

由于杜芬混沌振子對外加擾動(dòng)具有初值敏感性及噪聲免疫性，在微弱信號(hào)的檢測中得到了廣泛的運(yùn)用。但目前研究都主要停留在混沌系統(tǒng)的對微弱信號(hào)的定性分析上，而針對非線性Lamb波的抗噪定量分析并未涉及。運(yùn)用杜芬振子對微弱非線性Lamb的定量研究也尚屬于發(fā)展階段。論文利用在不同幅值激勵(lì)下杜芬系統(tǒng)混沌程度的差異性，并通過Lyapunov指數(shù)對混沌特性進(jìn)行量化，建立激勵(lì)幅值與系統(tǒng)輸出的線性模型用于實(shí)現(xiàn)對噪聲干擾下的微弱信號(hào)量化分析。

1 非線性Lamb波傳播原理

當(dāng)Lamb波經(jīng)過發(fā)生換能器輸入材料中，材料在超聲波作用下內(nèi)部空間受到擾動(dòng)，在內(nèi)部微小裂紋以及材料的非完全彈性的共同作用下，激發(fā)出高階諧波信號(hào)。對于縱向傳遞的Lamb波，即u0=A1sin(ωt)，聯(lián)立一維波動(dòng)方程

(1)

式中：x為縱向傳播距離;c為縱向傳播波速;β′即為Lamb波非線性系數(shù)。當(dāng)只考慮波在傳遞過程中存在的頻散現(xiàn)象時(shí)，式(1)有唯一解為

u=A1sin(kx-ωt)+0.125β′(kA1)2xsin 2(kx-ωt)

(2)

式中:k為基波波數(shù);ω為基波圓頻率;A1為基波幅值?？梢钥闯鰧τ诙沃C波幅值A(chǔ)2，在波的傳遞過程中材料的非線性具有累積效應(yīng)，并與非線性系數(shù)β′存在線性關(guān)系

β′=(8A2)/(kA1)2x

(3)

在檢測距離x恒定的情況下，重構(gòu)非線性系數(shù)β

β=A2/(A1)2

(4)

在實(shí)際非線性Lamb波檢測過程中，二次諧波幅值與基波相比非常小，常常受到噪聲信號(hào)的干擾。因此，β指數(shù)抗噪能力不佳。

2 Duffing-Holmes系統(tǒng)與Lyapunov指數(shù)譜

為了實(shí)現(xiàn)杜芬系統(tǒng)在不改變系統(tǒng)參數(shù)的情況下，對任意頻率諧波檢測的普適性。本文采用改良后的Duffing-Holmes系統(tǒng)，利用待測頻率ω帶系統(tǒng)的時(shí)間尺度進(jìn)行放縮處理，其三維自治狀態(tài)方程為

(5)

式中:k為阻尼比;x3-x5為系統(tǒng)非線性恢復(fù)力;Fcos(ωt)為系統(tǒng)內(nèi)周期策動(dòng)力;ω即為待測頻率;F為內(nèi)策動(dòng)力幅值。(s(t)=Acos(ωt+φ)+n(t))外部系統(tǒng)擾動(dòng)，其中:Acos(ωt)為待檢信號(hào);n(t)為待檢信號(hào)中的噪聲成分。

Duffing-Holmes系統(tǒng)相軌跡具有如下特性：當(dāng)系統(tǒng)阻尼k固定，內(nèi)策動(dòng)力幅值F從0逐漸增加臨界點(diǎn)F0時(shí)，相軌跡狀態(tài)由周期內(nèi)軌運(yùn)動(dòng)過渡到倍周期分叉最后進(jìn)入混沌狀態(tài)。一旦F超過F0，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生突變，整體進(jìn)入大周期狀態(tài)，即發(fā)生正相變。針對式(5)，待測信號(hào)s(t)中存在與內(nèi)策動(dòng)力同頻諧波信號(hào)，雖然同頻諧波的合成并不影響頻率成分，但改變了系統(tǒng)的策動(dòng)力幅值與相位，觸發(fā)臨界系統(tǒng)正相變，即系統(tǒng)由混沌狀態(tài)向大周期狀態(tài)跳變。另一方面，當(dāng)輸入信號(hào)為噪聲信號(hào)或不含待測成分時(shí)，將不會(huì)對系統(tǒng)的周期策動(dòng)力F造成穩(wěn)態(tài)影響，Duffing系統(tǒng)基本免疫。

在混沌理論中，Lyapunov指數(shù)可以在一定范圍內(nèi)定量描述非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特征，并能在一定時(shí)間范圍內(nèi)對不便于觀察的微弱信號(hào)進(jìn)行幅值估計(jì)。其中，Lyapunov指數(shù)沿某一方向的正負(fù)與大小，分別表征系統(tǒng)在該方向上的相鄰軌跡的平均發(fā)散與收斂程度。當(dāng)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為正時(shí)，Duffing系統(tǒng)在相空間中相鄰軌跡成指數(shù)發(fā)散，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。

對于式(5)的三維Duffing自治系統(tǒng)方程的Lyapunov指數(shù)，如式(2)，此時(shí)系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

(6)

式中:s′(t)為系統(tǒng)外部擾動(dòng)關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù);ω為待測頻率。在系統(tǒng)初始階段，令初始值x0=y0=t0=0，并將式(5)表示為3維連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

(7)

此時(shí)，令Φ(t)為式(5)的基礎(chǔ)解空間，則該系統(tǒng)的線性變分方程可表示為

(8)

式中：J(t)為Duffing系統(tǒng)t時(shí)刻的3維Jacobian矩陣;I3為3×3的單位陣。利用4階Runge-Kutta法可分別計(jì)算變分方程在不同時(shí)刻的Jacobian矩陣。并對基礎(chǔ)解空間Y(t)進(jìn)行QR分解，即Φ(t)=Q(t)R(t)。在文獻(xiàn)[9]中指出，系統(tǒng)的變分方程式(7)對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)滿足

(9)

式中：Rii(t)為上三角矩陣R(t)的正對角項(xiàng)。

3 基于諧波逼近的信號(hào)幅值估計(jì)

臨界Duffing-Holmes系統(tǒng)具有參數(shù)敏感性以及噪聲免疫性[10]。對于混沌振子系統(tǒng)，系統(tǒng)擾動(dòng)s(t)可分為由系統(tǒng)頻率決定的慢變周期擾動(dòng)，以及由高頻信號(hào)決定的快變周期擾動(dòng)，已有研究表明慢變周期擾動(dòng)能使不穩(wěn)定的相軌跡進(jìn)入穩(wěn)定周期[11]，而快變信號(hào)僅能驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的局部振蕩。對于線性放縮后的杜芬系統(tǒng)，Acos(ωt+φ)為慢變周期成分，噪聲成分n(t)相對于系統(tǒng)頻率ω仍屬于快變周期成分。鑒于Duffing系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征——Lyapunov指數(shù)——與待測慢變周期成分幅值A(chǔ)具有一定的相關(guān)性，利用此間關(guān)聯(lián)對噪聲下的信號(hào)成分進(jìn)行幅值定量分析，具體步驟如下：

步驟1 根據(jù)Lamb波的采樣頻率fs及待測頻率ω，設(shè)置杜芬振子系統(tǒng)的縮放系數(shù)ω及分析步長dt=1/fs；

步驟2 根據(jù)系統(tǒng)分岔圖，確定混沌臨界閾值F0；

步驟3 由于接收到的Lamb波屬于瞬態(tài)信號(hào)，而杜芬系統(tǒng)一般用于穩(wěn)定諧波檢測，因此需要對采集到的Lamb波進(jìn)行周期延拓處理；

步驟4 為降低一次諧波對二次諧波檢測的影響，采用高通濾波方法濾除一次諧波，通過幅頻特性確定濾波器對二次諧波幅值影響近似忽略；

步驟5 將濾波后信號(hào)進(jìn)行γ=0.4-1.6的等比放縮，并作為系統(tǒng)擾動(dòng)信號(hào)輸入混沌系統(tǒng)。利用最小二乘擬合建立放縮系數(shù)γ與Lyapunov指數(shù)之間的線性方程模型

LE=a×γ+b

(10)

式中：γ即為參考信號(hào)幅值A(chǔ)0與待測幅值A(chǔ)x之比。

步驟6 為減小噪聲帶來的局部振動(dòng)的影響，通過小波軟閾值法提取噪聲信號(hào)，并與相同的采樣頻率下的參考諧波信號(hào)融合，其中，仿真諧波的幅值已知，即為式(10)中的參考幅值A(chǔ)0；

步驟7 測試參考信號(hào)在經(jīng)過相同演化時(shí)間后Lyapunov指數(shù)，并結(jié)合式(10)，求解待測幅值A(chǔ)x。

4 試驗(yàn)測試

本章通過試驗(yàn)驗(yàn)證前文提出的方法的可行性。在諧波幅值定量分析試驗(yàn)中，通過收集非線性Lamb波在非線性材料中傳播一定距離后的信號(hào)，測量其基波幅值與二次諧波幅值，以此獲得近似無噪的初始信號(hào)。

圖1 試驗(yàn)設(shè)備Fig.1 Experimental equipments

試驗(yàn)使用的非線性超聲測試系統(tǒng)為RAM-500 SNAP (RITEC Inc., Warwick, RI), 如圖1所示，具有檢測超聲衰減和波速的能力。相較于傳統(tǒng)線性檢測法，RAM-500具有更好的靈敏度。圖1中為本次試驗(yàn)對象1.5×620×2 500 mm的無損鋁板，鋁板平行放置在海綿塊上，無固定約束。在基準(zhǔn)線兩端分別布置壓電式發(fā)射換能器與PZT接收換能器。本次試驗(yàn)距離700 mm，激發(fā)信號(hào)200 kHz，試驗(yàn)周期數(shù)30，采樣頻率為10 MHz。由于換能器與鋁板之間存在空隙，試驗(yàn)通過甘油作為超聲耦合劑排除間隙空氣，以便Lamb波的傳遞。

調(diào)整Duffing-Holmes系統(tǒng)內(nèi)策動(dòng)力幅值F進(jìn)入臨界狀態(tài)，并設(shè)置式(5)中的系統(tǒng)參數(shù)k=0.5[12]，此時(shí)系統(tǒng)的臨界閾值F0=0.725[13]。分析試驗(yàn)采集信號(hào)，提取出采集到的Lamb波包作為初始信號(hào)，并對原始信號(hào)做零相位帶通濾波后得到如圖2，分析二次諧波與基波的時(shí)域關(guān)系。

圖2 諧波時(shí)域?qū)Ρ葓DFig.2 Comparisons of original wavepacket and extracted harmonic

根據(jù)圖2，在有限時(shí)域采樣長度N內(nèi)，由于頻散特性以及波在傳遞過程中的擴(kuò)散，二次諧波在時(shí)域空間中嚴(yán)重發(fā)散。根據(jù)信號(hào)的單邊幅值譜定義

(11)

對于瞬態(tài)信號(hào)，其對應(yīng)頻率的幅值由信號(hào)采樣長度N以及瞬態(tài)信號(hào)長度N1共同影響。但相比與基波長度N，二次諧波長度N1難以確定。為防止由于截?cái)鄷r(shí)長帶來的幅值譜差異，對待測信號(hào)統(tǒng)一補(bǔ)零到相同時(shí)窗長度后計(jì)算幅值譜。取接收到的Lamb波包信號(hào)進(jìn)行分析，如圖3(a)所示；為模擬試驗(yàn)干擾，在接收信號(hào)中加入標(biāo)準(zhǔn)差為1×10-3的白噪聲，即圖3(b)。

(a)原始信號(hào)

(b)加噪信號(hào)圖3 原始信號(hào)與加噪信號(hào)對比圖Fig.3 Comparison of the received signal and noised signal

從圖3(a)可知，接收到的Lamb波包中二次諧波非常微弱，與一次諧波幅值相差2個(gè)數(shù)量級(jí)。在試驗(yàn)中，即使存在微弱干擾，也會(huì)使得諧波幅值劇烈波動(dòng)。在圖3(b)中二次諧波幅值依然清晰可見，但根據(jù)表1可知，此時(shí)二次諧波幅值明顯失真，傳統(tǒng)非線性指數(shù)β在干擾情況下已失效。

采用本文方法首先對Lamb波包進(jìn)行整周期延拓濾波后，并乘以縮放系數(shù)γ=1后作為系統(tǒng)擾動(dòng)參數(shù)s(t)輸入系統(tǒng)。通過4～5階變步長Runge-Kutta法求解，得出系統(tǒng)的相軌跡圖與Lyapunov指數(shù)譜如圖4(a)所示。

表1 不同算法條件下的β指數(shù)對比Tab.1 Comparison of calculated β with different algorithms

在圖4(b)中，當(dāng)系統(tǒng)無擾動(dòng)輸入時(shí)，混沌系統(tǒng)存在奇怪吸引子。對于三維Duffing-Holmes自治系統(tǒng)，LEx，LEy和LEt分別表示系統(tǒng)沿x軸，y軸，時(shí)間軸t方向的Lyapunov指數(shù)。

(a)γ=1時(shí)杜芬系統(tǒng)輸出

(b) 無輸入時(shí)杜芬系統(tǒng)輸出圖4 系統(tǒng)輸出響應(yīng)對比Fig.4 Comparison of chaotic system outputs

此時(shí)沿某一方向相軌跡必發(fā)散，即圖中沿x軸方向LEx>0。在圖4(a)中，由于系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)中存在穩(wěn)定待測頻率成分，混沌系統(tǒng)出現(xiàn)普通吸引子——極限環(huán)，在Lyapunov指數(shù)譜中，有且僅存沿時(shí)間軸方向動(dòng)力學(xué)指數(shù)為0，其余指數(shù)皆小于0。經(jīng)過試驗(yàn)分析，隨著待測成分幅值A(chǔ)x增大，杜芬系統(tǒng)整體趨向穩(wěn)定速度加快，在相同演化時(shí)間內(nèi)與沿x軸方向Lyapunov指數(shù)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)趨勢。本文利用LEx分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。

調(diào)整擾動(dòng)信號(hào)的縮放系數(shù)γ∈[0.4,1.6]，在經(jīng)歷相同的演化時(shí)間后，記錄對應(yīng)的沿x軸方向的Lyapunov指數(shù)LEx，如表2所示。

表2 放縮系數(shù)γ與Lyapunov指數(shù)對應(yīng)關(guān)系Tab.2 The relation between the coefficient of contraction γ and the Lyapunov exponent

圖5中，利用最小二乘法對得到的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行一次線性擬合，得到放縮系數(shù)γ與LE之間的線性模型(擬合確定度R-square: 0.968 1)

LE=-0.004 52γ-0.078 1

(12)

圖5 γ與LE的一階線性擬合Fig.5 Linear fitting between γ and LE

在整個(gè)時(shí)域空間內(nèi)，混沌系統(tǒng)的整體趨勢主要受到待測頻率成分幅值影響，而噪聲成分僅造成局部的波動(dòng)。因此，對于擾動(dòng)信號(hào)的放縮，可以等價(jià)視為不同幅值的無噪諧波信號(hào)直接作用于混沌系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)將表現(xiàn)出于待測信號(hào)縮放系數(shù)之間的直接相關(guān)性，即式(12)，系統(tǒng)狀態(tài)差異通過Lyapunov指數(shù)進(jìn)行量化。由式(10)可知，當(dāng)系統(tǒng)線性模型確定，為定量分析噪聲下的準(zhǔn)確二次諧波幅值A(chǔ)x，先引入?yún)⒖夹盘?hào)(波數(shù)30，頻率0.4 MHz，采樣頻率10 MHz的正弦諧波信號(hào))，此時(shí)仿真信號(hào)并沒有考慮波的擴(kuò)散，將參考信號(hào)通過補(bǔ)零的方式延拓至與原始信號(hào)相同的采樣長度，分析此時(shí)幅值譜，如圖6所示。

圖6 同頻率基準(zhǔn)信號(hào)Fig.6 Reference signal of the same frequency

圖7中，在相同的采樣長度下，參考信號(hào)幅值為5.508×10-5V?？紤]噪聲帶來的局部振動(dòng)，對原始信號(hào)進(jìn)行小波軟閾值信噪分離提取噪聲成分，如圖7所示。

圖7 提取噪聲信號(hào)Fig.7 Extracted noise

將參考信號(hào)與噪聲成分結(jié)合延拓后作為系統(tǒng)擾動(dòng)輸入杜芬系統(tǒng)，經(jīng)過相同的演化時(shí)間后，沿X軸方向動(dòng)態(tài)指數(shù)LEx=-0.083 8，如圖8所示。聯(lián)合線性方程式(10)與式(12)，代入?yún)⒖挤礎(chǔ)0=5.508×10-5V。代入求解參考信號(hào)與真實(shí)信號(hào)之間的放縮系數(shù)γ=A0/Ax=1.26，即預(yù)測二次諧波幅值為Ax=4.371 4×10-5V。

圖8 參考信號(hào)的Lyapunov指數(shù)Fig.8 Lyapunov exponent of the reference signal

通過表1，當(dāng)加入微量的噪聲，此時(shí)基波幅值基本維持不變，但二次諧波參數(shù)劇烈波動(dòng)。通過小波閾值法可以看出，當(dāng)噪聲信號(hào)與待測信號(hào)出現(xiàn)在同一頻率上時(shí)，小波并不能實(shí)現(xiàn)很好的分離。Kalman濾波器在信噪分離階段，分離出的信號(hào)并不是最佳估計(jì)，信號(hào)失真嚴(yán)重。LMS自適應(yīng)濾波收斂速度較慢，信噪分離效果不佳。而此時(shí)混沌預(yù)測達(dá)到了較好的估計(jì)效果。

5 結(jié) 論

本文利用Duffing-Holmes振子與Lyapunov指數(shù)譜在噪聲干擾下，構(gòu)建待測信號(hào)幅值與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性之間的線性模型并對材料非線性進(jìn)行量化分析。從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，該方法利用杜芬系統(tǒng)對噪聲免疫的特性，實(shí)現(xiàn)在白噪聲干擾下的微弱信號(hào)幅值估計(jì)。從而避免了對帶噪信號(hào)抑噪而引入的失真，體現(xiàn)了該方法檢測微弱信號(hào)幅值的優(yōu)越性。