檢測(cè)剛度非線性對(duì)雙檢測(cè)微陀螺靈敏度穩(wěn)定性影響

郝淑英, 李會(huì)杰, 張辰卿, 張琪昌, 馮晶晶, 李 磊

(1.天津理工大學(xué) 機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384；2.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；3. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

微陀螺儀是一種微傳感器，用于測(cè)量物體相對(duì)慣性空間轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度或者角度，在各種制導(dǎo)航空彈藥、微小飛行器、穩(wěn)定平臺(tái)、機(jī)器人等軍事領(lǐng)域和汽車導(dǎo)航、消費(fèi)電子、移動(dòng)應(yīng)用等民用領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景[1]。在微機(jī)械陀螺的研究中，陀螺的靈敏度和分辨率的提高始終是人們追求的主要目標(biāo)[2]。微陀螺儀是基于線性振動(dòng)理論利用驅(qū)動(dòng)模塊與檢測(cè)模塊發(fā)生共振從而獲得最大的靈敏度為目標(biāo)設(shè)計(jì)的，但學(xué)者們?cè)谘芯窟^(guò)程中發(fā)現(xiàn)，微電子機(jī)械系統(tǒng)中存在著多種非線性因素，如所用特殊材料的非線性、剛度的非線性、靜電力的非線性以及擠壓氣隙阻力的非線性等，這些因素的存在往往會(huì)導(dǎo)致線性動(dòng)力學(xué)的設(shè)計(jì)不精確甚至失效。Braghin等[3]對(duì)支撐梁大變形范圍的測(cè)試結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)進(jìn)行了試驗(yàn)和數(shù)值模擬。研究表明，一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性集總參數(shù)模型足以描述陀螺儀，并證明微陀螺剛度非線性的存在。高嶸等[4]考慮微諧振器空氣阻尼力的非線性因素,得到考慮非線性阻尼力的平板振幅值非常接近試驗(yàn)值,驗(yàn)證了非線性阻尼力的存在；文永蓬等[5]指出非線性剛度會(huì)造成微陀螺在零角速度附近有較大的輸出，即出現(xiàn)明顯的零點(diǎn)漂移；剛度非線性特性還會(huì)影響閉環(huán)諧振電路的穩(wěn)定性，如果控制電路參數(shù)設(shè)置處理不好，會(huì)出現(xiàn)混沌、分岔等震蕩不穩(wěn)定現(xiàn)象[6-8]。尚慧琳等[9]指出在主共振和較大的載體角速度下，激勵(lì)頻率的變化容易引起微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)解、振幅跳躍現(xiàn)象和概周期響應(yīng)等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，并指出振幅跳躍現(xiàn)象是一種全局失穩(wěn)行為，使得微陀螺的測(cè)量穩(wěn)定性和精度遭到破壞。但上述研究?jī)H限于單驅(qū)動(dòng)單檢測(cè)微陀螺簡(jiǎn)稱單自由度微陀螺。單自由度微陀螺固有的缺陷是極窄的帶寬，頻率的任何波動(dòng)均會(huì)導(dǎo)致靈敏度極大的波動(dòng)，在改進(jìn)微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，提出了通過(guò)增加陀螺的機(jī)械自由度來(lái)提升陀螺帶寬和穩(wěn)定性[10-11]。朱奎寶等[12]設(shè)計(jì)一種新的三自由度諧振式MEMS陀螺結(jié)構(gòu),檢測(cè)方向?yàn)殡p自由度,有效解決了陀螺帶寬與檢測(cè)靈敏度間的矛盾問(wèn)題,提高了陀螺抗干擾的性能。郝燕玲等[13]研究了多自由度微陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其性能的影響，為多自由度陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取指明了方向。但在多自由度微陀螺的相關(guān)研究中通常在實(shí)際的檢測(cè)輸出的表達(dá)式中消去科氏力的影響，隱藏了科氏力變化對(duì)檢測(cè)輸出的影響，將雙檢測(cè)系統(tǒng)看作相對(duì)驅(qū)動(dòng)獨(dú)立存在的兩自由度系統(tǒng)，且對(duì)多自由度微陀螺非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究還未見(jiàn)報(bào)導(dǎo)，尤其由于剛度非線性造成的振幅跳躍、共振頻率的偏移對(duì)多自由度微陀螺靈敏度的穩(wěn)定性和帶寬的影響很少有報(bào)道。

本文以單驅(qū)動(dòng)雙檢測(cè)三自由度微陀螺為研究對(duì)象，文中采用解析和數(shù)值仿真結(jié)合的方法來(lái)研究檢測(cè)一剛度非線性對(duì)微陀螺檢測(cè)方向的幅頻曲線、共振頻率和微陀螺性能的穩(wěn)定性的影響規(guī)律。首先采用復(fù)指數(shù)法求解雙檢測(cè)微陀螺的線性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并分別繪制考慮和忽略科氏力對(duì)檢測(cè)輸出的影響的幅頻曲線，進(jìn)而對(duì)比這兩種情況來(lái)分析科氏力對(duì)靈敏度的穩(wěn)定性和檢測(cè)帶寬的影響。其次，利用多尺度法獲得剛度非線性動(dòng)力學(xué)方程周期解的解析形式，繼而針對(duì)檢測(cè)一剛度非線性對(duì)微陀螺檢測(cè)幅頻曲線造成的復(fù)雜非線性現(xiàn)象如何影響微陀螺靈敏度的穩(wěn)定性和帶寬展開(kāi)具體分析。

1 單驅(qū)動(dòng)雙檢測(cè)微陀螺的工作原理

圖1 單驅(qū)動(dòng)雙檢測(cè)微陀螺動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of single-drive double-sense micro-gyroscope

建立該微陀螺動(dòng)力學(xué)方程

(1a)

式中：x,mx,Cx,kx,yi,myi,Cyi,kyi分別為微陀螺驅(qū)動(dòng)方向，檢測(cè)方向第i自由度的位移、質(zhì)量、阻尼系數(shù)、彈性梁彈性系數(shù)，i=(1,2)，Ωz為微陀螺輸入角速度;F0為靜電驅(qū)動(dòng)力;ω0為激勵(lì)頻率。

(1b)

式(1a)穩(wěn)態(tài)解為x=Axsin(ω0t-φ)，ωx為驅(qū)動(dòng)方向的固有圓頻率，其中

(2)

2 模型的線性剛度分析

2.1 檢測(cè)方向的模態(tài)頻率

式(1)中微陀螺檢測(cè)方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中:M為微陀螺檢測(cè)方向的質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣。

2.2 采用復(fù)指數(shù)法求解方程的解

(3)

求解式(3)可得檢測(cè)方向第一、第二自由度的幅頻方程

(4)

當(dāng)不考慮科氏力對(duì)檢測(cè)一、二的響應(yīng)的影響時(shí)，對(duì)式(4)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得此時(shí)檢測(cè)一、二的幅頻方程

(5)

式中：ac=2AxΩzω0和fc1=2my1ΩzAxω0，fc2=2my2ΩzAxω0分別為檢測(cè)一和檢測(cè)二科氏力的加速度和幅值。

式中：微陀螺參數(shù)見(jiàn)表1；幅頻響應(yīng)曲線如圖2所示。

表1 微陀螺參數(shù)Tab.1 Micro gyro structure parameters

圖2 檢測(cè)方向線性剛度下的幅頻曲線Fig.2 Amplitude frequency curve of sense detection under linear stiffness

目前大多數(shù)的分析均忽略了科氏力變化對(duì)檢測(cè)輸出的影響，即在實(shí)際檢測(cè)輸出表達(dá)式中消去科氏力因素的影響，將雙檢測(cè)系統(tǒng)看作相對(duì)驅(qū)動(dòng)獨(dú)立存在的兩自由度系統(tǒng)[15]，其檢測(cè)響應(yīng)只能得到與兩個(gè)檢測(cè)模態(tài)頻率相對(duì)應(yīng)的結(jié)果。根據(jù)式(5)，文中繪制了這種處理時(shí)本文模型檢測(cè)二的幅頻曲線，如圖2(c)，從圖中可知只有第1和第3兩個(gè)峰值，且兩個(gè)峰值之間為平坦區(qū)域，學(xué)者們據(jù)此將帶寬定義為1和3兩個(gè)峰值頻率之差的0.54倍，然而，通過(guò)本文分析可以直接觀察到，圖2(b)中的第2個(gè)峰值直接影響到該帶寬范圍內(nèi)檢測(cè)靈敏度的穩(wěn)定性，即在這一帶寬范圍內(nèi)不能獲得穩(wěn)定的靈敏度，在驅(qū)動(dòng)頻率附近區(qū)域微陀螺靈敏度隨科氏力幅值的變化而變化。

由以上的分析可知，對(duì)于單驅(qū)動(dòng)雙檢測(cè)微陀螺，驅(qū)動(dòng)窄的帶寬會(huì)對(duì)檢測(cè)的帶寬產(chǎn)生影響，只有穩(wěn)定的驅(qū)動(dòng)輸出才能使檢測(cè)獲得穩(wěn)定的靈敏度及更好的帶寬，雙驅(qū)動(dòng)雙檢測(cè)微陀螺可有效地解決這一問(wèn)題。

3 模型的剛度立方非線性分析

當(dāng)考慮檢測(cè)方向第一自由度的剛度非線性時(shí)，建立非線性動(dòng)力學(xué)方程，ks是檢測(cè)方向第一自由度的剛度非線性系數(shù)，其動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

則式(6)化簡(jiǎn)為

(7)

基于剛度的弱非線性假設(shè)，本文考慮小幅振動(dòng)情況，忽略高頻簡(jiǎn)諧響應(yīng)，設(shè)式(7)第一式的穩(wěn)定解的形式為y1=B1cos(ω0t-φ1)+ε(0)。令ρ=2ΩzAx,Ωz為輸入角速度，令Ωz=1 rad/s。則

(8)

其中，

把式(8)代入式(7)第一式得

(9)

考慮到高維非線性問(wèn)題的復(fù)雜性，這里忽略檢測(cè)二的非線性僅考慮共振情況下檢測(cè)一的剛度非線性對(duì)檢測(cè)一及檢測(cè)二輸出的穩(wěn)定性及微陀螺靈敏度的影響。在這里我們提出一種有效的方法來(lái)處理方程的耦合項(xiàng)，將式(9)中包含B1的耦合激勵(lì)項(xiàng)經(jīng)過(guò)變換化成系統(tǒng)的剛度項(xiàng)和阻尼項(xiàng)的組合形式，由于本文考慮的是攝動(dòng)法下的一階近似解，所以耦合激勵(lì)項(xiàng)的解耦不會(huì)引入非線性阻尼項(xiàng)，數(shù)值解和解析解的吻合也說(shuō)明了解耦不會(huì)引入非線性阻尼項(xiàng)。由此化簡(jiǎn)為

(10)

(11)

(12)

則式(11)為

(13)

比較式(13)ε同次冪后得到一組線性偏微分方程

(14)

式(14)第一式的解為y10=E(T1)exp(iω2T0)+cc，cc為y10中表達(dá)式的復(fù)共軛，其中

(15)

將式(15)代入式(14)的第二式并消除永年項(xiàng)有

(16)

設(shè)φ1(T1)=σT1-θ(T1)，分離式(16)的實(shí)部虛部并化簡(jiǎn)得

(17)

為求其定常解，令式(17)右端為零，并展開(kāi)求得：sinφ1，cosφ1的表達(dá)式，又sin(φ1)2+cos(φ1)2=1，消去φ1，可以得到檢測(cè)方向第一自由度的幅頻響應(yīng)方程為

(18)

其中，

由于，

(20)

式(18)和式(20)即為檢測(cè)方向第一、二自由度的幅頻響應(yīng)方程，結(jié)合數(shù)值掃頻，利用Mathematics數(shù)學(xué)仿真軟件畫出檢測(cè)方向兩個(gè)自由度的幅頻響應(yīng)曲線，分別如圖3、圖4所示。由于系統(tǒng)檢測(cè)1方向的彈性力為

圖3 剛度非線性對(duì)檢測(cè)一幅頻曲線的影響Fig.3 Effect of stiffness nonlinearity on the sense 1 amplitude-frequency curve

由圖3(a)和圖(b)可知，在剛度非線性系數(shù)ks較小時(shí)，相對(duì)線性幅頻曲線，非線性曲線只是發(fā)生了微小的偏移，和線性結(jié)果幾乎一致，圖3(c)～圖(f)表明隨著剛度非線性系數(shù)ks的加大，幅頻曲線非線性程度明顯增加，峰值逐漸增大，幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域(虛線)，側(cè)彎、跳躍現(xiàn)象，其中虛線部分代表近似周期解的失穩(wěn)區(qū)域，很明顯，失穩(wěn)區(qū)域是幅頻特性曲線上多解情況的中間解支，即幅頻特性曲線上兩個(gè)垂直切線點(diǎn)之間的虛線部分，此區(qū)域上有兩個(gè)漸近穩(wěn)定解和一個(gè)不穩(wěn)定解，由于在數(shù)值解中只能實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，所以，在數(shù)值掃頻分析中，對(duì)漸近穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的跟蹤只能按圖3(f)中箭頭所示的路徑進(jìn)行，從而產(chǎn)生圖示的跳躍現(xiàn)象，即當(dāng)激勵(lì)頻率由低向高變化時(shí)檢測(cè)1的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由3直接向下跳躍至4，若頻率是由高向低變化則檢測(cè)一的響應(yīng)將由6向上跳躍至2。

圖4為檢測(cè)二的幅頻響應(yīng)曲線，由圖4可知檢測(cè)二幅頻曲線的變化規(guī)律與檢測(cè)一類似。圖4省略了剛度非線性忽略不計(jì)的情況。

當(dāng)剛度非線性系數(shù)達(dá)到1018數(shù)量級(jí)時(shí)(非線性彈性力是線性彈性力的1.9%)，此時(shí)剛度非線性的影響開(kāi)始顯現(xiàn)。在圖4(a)～圖4(d)中非線性剛度系數(shù)的量級(jí)分別增加了0.3,0.2和0.1個(gè)數(shù)量級(jí)，比較圖4(a)～圖4(d)可知，隨著非線性強(qiáng)度增加系統(tǒng)對(duì)非線性越來(lái)越敏感，圖4(d)(非線性彈性力是線性彈性力的3.9%)的共振頻率的偏移量及共振時(shí)的幅值相對(duì)于圖4(c)都顯著增加，解跳躍的幅值明顯加大，多解的頻域范圍明顯加寬。

剛度非線性系數(shù)為1018.6N/m3時(shí)，對(duì)比線性結(jié)果，峰值處的靈敏度增加了40.53%，但峰值處還存在另一遠(yuǎn)低于峰值的穩(wěn)態(tài)解，非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)分之一是其解存在對(duì)初值的依賴性，即微陀螺檢測(cè)到的信號(hào)是哪個(gè)穩(wěn)態(tài)解取決于激勵(lì)頻率是增大的走勢(shì)還是減小的走勢(shì)。由此可知當(dāng)剛度非線性達(dá)到一定程度時(shí)會(huì)導(dǎo)致微陀螺靈敏度失穩(wěn)發(fā)生大幅跳躍，失穩(wěn)的頻域范圍隨剛度非線性的增加而加寬，共振頻率的偏移也導(dǎo)致其線性系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的靈敏度及帶寬無(wú)法實(shí)現(xiàn)，由此導(dǎo)致線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的失效。因此，在微陀螺的設(shè)計(jì)中應(yīng)對(duì)所設(shè)計(jì)的微梁的剛度非線性程度有充分的認(rèn)識(shí)，并對(duì)其在該剛度非線性下的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，方能避免線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的失效。

圖4 剛度非線性對(duì)檢測(cè)二幅頻響應(yīng)曲線的影響Fig.4 Effect of stiffness nonlinearity on the sense 2 amplitude-frequency curve

在驅(qū)動(dòng)方向模態(tài)頻率處檢測(cè)一、二屬于非共振情況，圖5和圖6給出了較大的剛度非線性系數(shù)的數(shù)值解和線性解析解的幅頻曲線，從圖中可知，非線性數(shù)值解和線性解析結(jié)果幾乎一致，因此檢測(cè)一剛度非線性的存在并不影響微陀螺檢測(cè)二方向在驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率處的響應(yīng)。

圖5 檢測(cè)一在驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率附近的幅頻曲線Fig.5 Sense 1 amplitude-frequencycurvenear drive modal frequency

圖6 檢測(cè)二在驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率附近的幅頻曲線Fig.6 Sense 2 amplitude-frequencycurve near drive modal frequency

由圖7和圖8知，在檢測(cè)二的模態(tài)頻率處檢測(cè)一、二幅頻曲線受剛度非線性影響不大，可以忽略不計(jì)。

顯然圖4、圖6及圖8的組合可反映檢測(cè)一剛度非線性下檢測(cè)二整體的輸出響應(yīng)曲線的主要特征，該曲線為最終的檢測(cè)信號(hào)，若將圖2(b)定義的區(qū)帶A處做為微陀螺的帶寬，顯然檢測(cè)一的剛度非線性較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致微陀螺在較寬的頻率范圍內(nèi)靈敏度失穩(wěn)，且其靈敏度與線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)值相差甚遠(yuǎn)。由圖4(d)可知當(dāng)檢測(cè)一非線性彈性力是線性彈性力的3.9%時(shí)(檢測(cè)一剛度非線性系數(shù)為1018.6N/m3)，剛度非線性已對(duì)微陀螺靈敏度的穩(wěn)定時(shí)構(gòu)成嚴(yán)重影響。

圖7 檢測(cè)一在檢測(cè)二模態(tài)頻率附近的幅頻曲線Fig.7 Sense 1 amplitude-frequencycurve near sense 2 modal frequency

圖8 檢測(cè)二在其模態(tài)頻率附近的幅頻曲線Fig.8 Sense 2 amplitude-frequencycurve near its modal frequency

同理可知檢測(cè)二的剛度非線性只會(huì)導(dǎo)致在檢測(cè)二模態(tài)頻率處出現(xiàn)硬化特性，并不影響區(qū)帶A的檢測(cè)輸出信號(hào)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)一、檢測(cè)二均存在較大的剛度非線性時(shí)，檢測(cè)二的幅頻曲線在檢測(cè)一、二模態(tài)頻率及驅(qū)動(dòng)頻率處都會(huì)發(fā)生硬化現(xiàn)象，并且由于高維非線性問(wèn)題的復(fù)雜性，其對(duì)靈敏度穩(wěn)定性和帶寬的影響將更復(fù)雜(后期將開(kāi)展相關(guān)的研究工作)，因此應(yīng)盡力降低剛度非線性才能保證微陀螺獲得高帶寬和穩(wěn)定的靈敏度，大變形引起的幾何非線性是產(chǎn)生剛度非線性的主要原因，可以通過(guò)改變彈性微梁的結(jié)構(gòu)或尺寸的優(yōu)化來(lái)降低由大變形引起的幾何非線性以減弱彈性微梁的剛度非線性。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)一種單驅(qū)動(dòng)雙檢測(cè)三自由度的微陀螺，在考慮科氏力對(duì)檢測(cè)輸出影響的前提下對(duì)這該復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的線性及非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)論是否考慮微陀螺的非線性因素，單驅(qū)動(dòng)微陀螺窄的驅(qū)動(dòng)帶寬都會(huì)對(duì)微陀螺檢測(cè)帶寬及微陀螺靈敏度的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響；檢測(cè)一剛度非線性導(dǎo)致檢測(cè)一、二幅頻曲線均在檢測(cè)一模態(tài)頻率處出現(xiàn)惡劣的振幅跳躍現(xiàn)象，嚴(yán)重造成檢測(cè)一和驅(qū)動(dòng)模態(tài)頻率范圍之間的靈敏度失穩(wěn)，即微陀螺性能的穩(wěn)定性遭到破壞；微陀螺靈敏度的穩(wěn)定性及失穩(wěn)的帶寬范圍對(duì)剛度非線性十分敏感，當(dāng)剛度非線性達(dá)到某一值時(shí)其微小的增長(zhǎng)都會(huì)嚴(yán)重影響微陀螺的靈敏度的穩(wěn)定性并使失穩(wěn)的帶寬范圍顯著增加，如此會(huì)導(dǎo)致線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的失效。當(dāng)驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)一、二均存在較大的剛度非線性時(shí)，檢測(cè)二的幅頻曲線在檢測(cè)一、二模態(tài)頻率及驅(qū)動(dòng)頻率處將都會(huì)發(fā)生硬化現(xiàn)象，并且由于高維非線性問(wèn)題的復(fù)雜性，其對(duì)靈敏度穩(wěn)定性和帶寬的影響將更復(fù)雜，因此應(yīng)盡力降低剛度非線性才能保證微陀螺獲得高帶寬和穩(wěn)定的靈敏度。