一類(lèi)靜電驅(qū)動(dòng)雙邊電容型微諧振器振動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性研究

尚慧琳， 胡立力， 文永蓬

(1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418；2. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620)

靜電微諧振器是微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro Mechanical System, MEMS)的重要器件,是目前發(fā)展最快的MEMS產(chǎn)品之一，是以諧振原理實(shí)現(xiàn)功能的典型微器件[1]。然而，靜電微諧振器在應(yīng)用中存在著多種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，不僅包括宏觀機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中常見(jiàn)的振動(dòng)跳躍、概周期振動(dòng)、多倍周期振動(dòng)和混沌等，還包括靜電驅(qū)動(dòng)微器件所特有的吸合不穩(wěn)定[2]。隨著MEMS的廣泛應(yīng)用，微諧振器的穩(wěn)定性和可靠性對(duì)其振動(dòng)系統(tǒng)和動(dòng)力學(xué)特性的研究提出了更高的要求。因此，研究靜電驅(qū)動(dòng)微諧振器的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性及其機(jī)制對(duì)于靜電微慣性傳感器的研發(fā)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，國(guó)內(nèi)外大量數(shù)值和試驗(yàn)研究結(jié)果表明靜電微諧振器振動(dòng)系統(tǒng)普遍存在諧振失穩(wěn)行為(如振動(dòng)跳躍現(xiàn)象[3-4]、概周期振動(dòng)[5]和倍周期振動(dòng)[6]等)、發(fā)散失穩(wěn)行為(如吸合現(xiàn)象)和全局失穩(wěn)行為(如混沌現(xiàn)象[7-9]和吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象)。其中，吸合現(xiàn)象是近年來(lái)MEMS領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[10]；與之相關(guān)的吸合不穩(wěn)定，即一定的設(shè)計(jì)參數(shù)條件下初始條件的微小變化就導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)從原本的不吸合變?yōu)槲系默F(xiàn)象，會(huì)大大降低微器件的安全性，正逐漸引起國(guó)內(nèi)外研究者的研究興趣[11-13]。Luo等發(fā)現(xiàn)在一類(lèi)雙邊電容型微諧振器振動(dòng)系統(tǒng)中交流電壓頻率的變化會(huì)引起混沌。Ruzziconi等在另一類(lèi)靜電微諧振器振動(dòng)系統(tǒng)中交流電壓頻率的變化引起的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象和振動(dòng)跳躍。Zhang等發(fā)現(xiàn)壓膜阻尼非線性引起的多倍周期振動(dòng)、概周期振動(dòng)和混沌。對(duì)于以上復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的研究，數(shù)值仿真占主要比重，其中對(duì)于吸合不穩(wěn)定和振動(dòng)跳躍是通過(guò)初始狀態(tài)的微調(diào)引起穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的突變來(lái)模擬現(xiàn)象的，該量化研究方法由Lenci等和Ruzziconi等分別提出，利用振動(dòng)系統(tǒng)的安全域侵蝕程度和各穩(wěn)態(tài)解的吸引域分形程度來(lái)描述這兩類(lèi)破壞系統(tǒng)的動(dòng)完整性的動(dòng)力學(xué)行為。尚慧琳等[14]在此基礎(chǔ)上以一類(lèi)靜電驅(qū)動(dòng)單邊電容型微諧振傳感器為研究對(duì)象，基于安全域思想研究了系統(tǒng)直流偏置電壓和交流激勵(lì)電壓幅值引起的結(jié)構(gòu)吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象。盡管這些復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的存在性和其對(duì)于微器件性能的影響已受到MEMS設(shè)計(jì)者和研究者的關(guān)注，其機(jī)制仍未得到廣泛地理解。

基于上述原因，本文對(duì)一類(lèi)典型的雙邊電容型微諧振器的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析，通過(guò)了解其靜態(tài)分岔、局部分岔和全局分岔動(dòng)力學(xué)特性，研究該系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的機(jī)制，從而為誘發(fā)、控制和避免靜電驅(qū)動(dòng)微器件結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)提供一定的理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 無(wú)量綱化系統(tǒng)

考慮一類(lèi)兩側(cè)平行板電容、在直流偏置電壓和交流電壓驅(qū)動(dòng)下靜電驅(qū)動(dòng)的微傳感器振動(dòng)模型[15-16],如圖1所示。考慮線性剛度、非線性剛度、線性阻尼和非線性激勵(lì)，建立振動(dòng)方程

(1)

式中：x為微結(jié)構(gòu)的位移；m為微結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量；c,k1,k2分別為系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)、線性剛度和非線性剛度；A0為平行板初始靜止時(shí)的電容；d為極板初始間距；Vb,VAC分別為直流偏置電壓和交流電壓的值，且VAC?Vb；Ω為交流電壓的頻率。

圖1 一類(lèi)靜電驅(qū)動(dòng)兩側(cè)平行板電容微傳感器振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型Fig.1 Diagram of the dynamical system of a typical a micromechanical resonator with electrostatic forces on both sides

為了方便表述，對(duì)微傳感器振動(dòng)系統(tǒng)式(1)引入以下無(wú)量綱變量

(2)

則可知|u|≤1得到以下無(wú)量綱化模型

(3)

下文的研究將圍繞式(1)的無(wú)量綱化系統(tǒng)式(3)開(kāi)展。對(duì)式(3)重新標(biāo)度參數(shù)，即

(4)

則有

(5)

1.2 無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)分析

重新標(biāo)度過(guò)的無(wú)量綱化系統(tǒng)式(5)的無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)為

(6)

這是一個(gè)哈密頓系統(tǒng)，其哈密頓量為

(7)

設(shè)零平衡點(diǎn)處勢(shì)能為0，則相應(yīng)的勢(shì)能函數(shù)可表示為

(8)

根據(jù)式(6)～式(8)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)，有無(wú)勢(shì)阱，以及勢(shì)阱的具體位置和形態(tài)均取決于參數(shù)α和β。由于無(wú)量綱化參數(shù)α與驅(qū)動(dòng)電壓無(wú)關(guān)，而β是直流偏置電壓的函數(shù)，因此系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)與交流電壓無(wú)關(guān)，卻與直流偏置電壓有直接關(guān)系。

定理1 如果參數(shù)滿(mǎn)足

(9)

則式(6)只有一個(gè)零平衡點(diǎn)，為鞍點(diǎn)。

證明：令

(10)

(11)

G′(u)=0無(wú)解, 當(dāng)u∈(-1, 1)始終有G′(u)>0。考慮G(u)的單調(diào)性，G(u)=0無(wú)解, 式(6)沒(méi)有非零解。

當(dāng)

(12)

(13)

這說(shuō)明當(dāng)u∈(-1, 1)時(shí)G(u)始終大于零，G(u)=0在該區(qū)域無(wú)解。

因此，當(dāng)式(11)或式(12)滿(mǎn)足時(shí)，即式(9)滿(mǎn)足，則式(6)只有一個(gè)零平衡點(diǎn)，由于其對(duì)應(yīng)的特征方程

l2-(4b-1)=0

具有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，因此零平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)。證畢。

由此可見(jiàn)，當(dāng)β充分大的時(shí)候，系統(tǒng)無(wú)非零平衡點(diǎn)和勢(shì)阱，系統(tǒng)將不可避免地出現(xiàn)無(wú)界振動(dòng)，這意味著圖1的動(dòng)極板將直接吸合到定極板上，即發(fā)生靜態(tài)吸合。而微結(jié)構(gòu)間的吸合現(xiàn)象則會(huì)導(dǎo)致靜電微諧振器件的失效，這是微結(jié)構(gòu)中值得關(guān)注的重要現(xiàn)象。由于質(zhì)量m、剛度k1,k2、極板初始間距d和平行板初始靜止時(shí)的電容A0等設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)于微諧振器是給定的，將不等式(9)還原成微結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)式(1)的物理參數(shù)，得到

(14)

給定參數(shù)α，改變?chǔ)拢瑹o(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)式(6)的勢(shì)能分布情況如圖2所示。根據(jù)圖2中勢(shì)能曲線的極點(diǎn)分布可知，β=0.25時(shí)系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)，其中兩個(gè)非零平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，而零平衡點(diǎn)為中心，因此具有單勢(shì)阱和異宿軌道；β=0.338時(shí)系統(tǒng)有5個(gè)平衡點(diǎn)，其中O(0,0)，S1(-0.768 996,0)，S2(0.768 996,0)這3個(gè)平衡點(diǎn)均不穩(wěn)定，而中間兩個(gè)非零平衡點(diǎn)C1(-0.196 339,0)和C2(0.196 339,0)為中心，因此系統(tǒng)具有雙勢(shì)阱、同宿和異宿軌道，其中根據(jù)其哈密頓量式(7), 同宿軌道可近似表示為

外面的異宿軌道可表示為

(15)

式中：us=0.768 996為鞍點(diǎn)S2的橫坐標(biāo)，相應(yīng)的無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)相軌線如圖3所示；當(dāng)β增大到0.6時(shí)，定理1條件滿(mǎn)足，系統(tǒng)只有一個(gè)零平衡點(diǎn)，體現(xiàn)為鞍點(diǎn)。

圖2 在α=12,β取不同數(shù)值下的勢(shì)能圖Fig.2 The potential energy in the phase portrait underα=12 and different values of β

圖3 當(dāng)(α,β)=(12,0.338)時(shí)相軌線分布Fig.3 Trajectories in the phase portrait when (α,β)=(12,0.338)

以上3種情況當(dāng)中，β=0.338這種情況最為復(fù)雜，這也是雙側(cè)極板電容微諧振器比較常見(jiàn)的設(shè)計(jì)參數(shù)取值，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)取值如表1所示，由于無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)存在多勢(shì)阱的情況，仍會(huì)出現(xiàn)部分初始條件導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)的吸合；而另一部分則不會(huì)引起微結(jié)構(gòu)吸合，該部分的集合則可稱(chēng)為安全域。安全域的分形侵蝕意味著微結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定。以下本文重點(diǎn)討論該參數(shù)條件下微結(jié)構(gòu)包括吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象在內(nèi)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為及其機(jī)制。

表1 式(1)的物理參數(shù)值Tab.1 Values of physical parameters of the equation (1)

2 多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)分析

對(duì)于微結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)式(1)及其無(wú)量綱化系統(tǒng)式(5)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)交流電壓VAC為0時(shí)，根據(jù)Jacobi矩陣求解特征值可知，非零平衡點(diǎn)(±0.196 339,0)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，這是系統(tǒng)最初的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。當(dāng)驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值開(kāi)始升高時(shí)，該非零平衡點(diǎn)失穩(wěn)，開(kāi)始出現(xiàn)周期振動(dòng)，以下將對(duì)周期振動(dòng)特性進(jìn)行具體分析。

(16)

對(duì)式(16)將分母泰勒展開(kāi),省略ε和u三次方以上高階項(xiàng)，簡(jiǎn)化得到

(17)

為了運(yùn)用多尺度方法，對(duì)參數(shù)和時(shí)間重新標(biāo)度

(18)

代入式(17)，對(duì)比三階系數(shù)

(19a)

(19b)

(19c)

(20)

代入式(19c)，得到

(21)

(22)

和

(23)

圖4 當(dāng)ω=0.5時(shí)無(wú)量綱化系統(tǒng)式(3)周期解支分布Fig.4 Brunches of periodic solutions ofthe dimensionless system (3) when ω=0.5

圖5 當(dāng)ω=0.5時(shí)無(wú)量綱化系統(tǒng)式(3)的多穩(wěn)態(tài)解Fig.5 Multistability of the dimensionless system (3)when ω=0.5

3 混沌和吸合不穩(wěn)定

圖6 初始條件時(shí)無(wú)量綱化系統(tǒng)式(3)響應(yīng)隨VAC的分岔Fig.6 The bifurcation of the oscillation ofthe dimensionless system (3) with VACunder the initial condition 0)

圖7 當(dāng)VAC=0.2 V, ω=0.5時(shí)無(wú)量綱化系統(tǒng)式(3)的相圖和龐加萊截面圖Fig.7 The phase map and Poincare map ofthe dimensionless system (3)when VAC=0.2 V and ω=0.5

由于考慮系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為，因此設(shè)定系統(tǒng)振動(dòng)在105個(gè)參數(shù)激勵(lì)周期內(nèi)均滿(mǎn)足|u|<1，則認(rèn)為相應(yīng)的初始條件下系統(tǒng)不發(fā)生吸合現(xiàn)象，該初始點(diǎn)在初始平面中用黑色標(biāo)記；否則則發(fā)散失穩(wěn)，用白色標(biāo)記。取初始點(diǎn)的個(gè)數(shù)為200×200。激勵(lì)周期的數(shù)值積分步長(zhǎng)為10-4。式(3)的安全域隨交流電壓幅值的變化規(guī)律如圖8所示。由圖8可知，隨著交流電壓幅值的增大，系統(tǒng)的安全域逐漸出現(xiàn)分形侵蝕，對(duì)應(yīng)微結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定，當(dāng)驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值增大到1 V時(shí)，整個(gè)初始平面不存在安全區(qū)域，即所有初始條件均會(huì)導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)吸合，這意味著微結(jié)構(gòu)又回歸靜態(tài)吸合。同時(shí)，結(jié)合圖6～圖8，可以觀察到發(fā)生吸合不穩(wěn)定和混沌運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值并不相同：系統(tǒng)在驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值為0.2 V時(shí)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，此時(shí)安全域邊界并未發(fā)生分形侵蝕，這說(shuō)明吸合不穩(wěn)定和混沌現(xiàn)象并不同步發(fā)生。Haghighi等已將本系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)歸因于同宿軌道的破裂，并分析了同宿分岔的臨界條件。吸合不穩(wěn)定與混沌現(xiàn)象的不同步意味著吸合不穩(wěn)定這類(lèi)全局動(dòng)力學(xué)問(wèn)題并不能同樣歸因于同宿分岔，反而對(duì)比圖3中的無(wú)擾動(dòng)系統(tǒng)的異宿軌道和圖8(a)中驅(qū)動(dòng)交流電壓為0的安全域可發(fā)現(xiàn)二者高度吻合。以下對(duì)標(biāo)度過(guò)的無(wú)量綱化系統(tǒng)式(5)運(yùn)用Melnikov方法來(lái)預(yù)測(cè)異宿分岔的必要條件，并加以對(duì)比。由于異宿軌線式(15)與近似同宿軌道不同，并不是時(shí)間T的顯函數(shù)可，根據(jù)式(15)將時(shí)間T表示為u的函數(shù)

(24)

忽略式(5)中ε三次方以上高階項(xiàng)，將其它含ε的項(xiàng)當(dāng)作攝動(dòng)項(xiàng)，得到系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)

其中，

(25)

圖8 ω=0.5時(shí)無(wú)量綱化系統(tǒng)式(3)安全域隨驅(qū)動(dòng)交流電壓的演變Fig.8 The evolution of safe basin ofthe dimensionless system (3)with the amplitude of AC voltage when ω=0.5

4 結(jié) 論

本文考慮一個(gè)雙邊電容靜電驅(qū)動(dòng)微諧振器結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)，應(yīng)用分岔理論和數(shù)值模擬方法分析了驅(qū)動(dòng)電壓引起的靜態(tài)吸合、振動(dòng)跳躍、多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)、混沌和吸合不穩(wěn)定等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，為靜電驅(qū)動(dòng)微諧振器的設(shè)計(jì)中如何避免復(fù)雜響應(yīng)提供參考。主要得到以下結(jié)論：

(1)直流偏置電壓的增大容易直接導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)的靜態(tài)吸合，為抑制該現(xiàn)象，直流偏置電壓應(yīng)低于文中給出的直流電壓靜態(tài)吸合閾值。

(2)在較小的直流偏置電壓下，交流電壓幅值的增大會(huì)陸續(xù)引起微結(jié)構(gòu)的振動(dòng)跳躍現(xiàn)象和多倍周期振動(dòng)現(xiàn)象，混沌、吸合不穩(wěn)定和最終的吸合；為了避免振動(dòng)跳躍現(xiàn)象和吸合現(xiàn)象的發(fā)生，選取的系統(tǒng)初始條件應(yīng)靠近兩個(gè)非零平衡點(diǎn)(即交流電壓為零時(shí)的兩個(gè)點(diǎn)吸引子)，且保持較低的交流電壓幅值；而當(dāng)交流電壓幅值增大到一定程度，無(wú)論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何選取，微結(jié)構(gòu)都不可避免地發(fā)生吸合現(xiàn)象。

(3)混沌和吸合不穩(wěn)定這兩類(lèi)破壞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)完整性的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象并不同步發(fā)生，盡管二者均可歸因?yàn)橄到y(tǒng)的全局分岔，但機(jī)理并不相同。